Filter mit endlicher Impulsantwort (nicht rekursiver Filter, FIR-Filter, FIR-Filter) ist eine Art von linearen elektronischen Filtern, charakteristisches Merkmal die zeitlich begrenzt ist durch seine impulsive Reaktion(ab einem bestimmten Zeitpunkt wird es genau gleich Null). Ein solches Filter wird aufgrund des Fehlens auch als nicht rekursiv bezeichnet Feedback. Der Nenner der Übertragungsfunktion eines solchen Filters ist eine bestimmte Konstante. Nicht rekursive Filter. Bei Nullwerten der Koeffizienten a m verwandelt sich Gleichung (2.1.2) in die Gleichung der linearen diskreten Faltung der Funktion x(k) mit dem Operator b n:
Mit ihnen lässt sich ohne zusätzlichen Aufwand eine lineare Phase und damit eine konstante Gruppenlaufzeit realisieren. Ebenso kann die zur Übereinstimmung mit einem Toleranzschema erforderliche Reihenfolge nicht bestimmt werden. Dies führt zu einem „Try and Fail“-Ansatz, bei dem der Entwurfsprozess rekursiv durchgeführt wird. Bei jedem Durchlauf wird die Reihenfolge inkrementiert und überprüft, ob das Toleranzmuster eingehalten wird. Nach Abschluss wird die Rekursion beendet. Es sind auch keine Transformationen bekannt, wodurch ein Tiefpass zu einem anderen Filtertyp geht, z.
y(k) = bn x(k-n). (2.1.3)
Die Werte der Faltungs-Ausgangsabtastwerte (2.1.3) für jedes Argument k werden durch die aktuellen und "vergangenen" Werte der Eingangsabtastwerte bestimmt. Ein solches Filter wird als nicht rekursives digitales Filter (NCF) bezeichnet. Das Summationsintervall über n wird das "Fenster" des Filters genannt. Das Filterfenster umfasst N+1 Samples, der Filter ist einseitig kausal, d.h. ursächlich durch die aktuellen und "vergangenen" Werte des Eingangssignals bestimmt, und das Ausgangssignal kann dem Eingangssignal nicht voraus sein. Der kausale Filter kann physikalisch in Echtzeit implementiert werden. Gabel Jedes Designproblem muss behoben werden. Berechnen Sie Lowscores, Highscores, Passbands und Passbandfilter. Dies kann jedoch einige Zeit dauern, da der Entwurfsprozess rekursiv wiederholt wird, bis die richtige Reihenfolge gefunden ist. Die Fenstermethode berechnet die Impulsantwort. Dazu werden Funktionen verwendet, für die die Koeffizienten direkt berechnet werden können. Auf diese Weise kann jedoch nur eine lineare Phase realisiert werden. Die Länge der berechneten Impulsantwort ist begrenzt. Wenn die Impulsantwort deaktiviert ist, wird sie durch ein rechteckiges Fenster begrenzt. Dies führt zu einem Überschwingen an den Rändern des Filters. Diese Überschwinger werden mit zunehmendem Abstand zur Flanke kleiner. Durch Erhöhen der Ordnung wird die Amplitude des Überschwingens nicht verringert. Bei der Verarbeitung von Daten auf einem Computer wird die Kausalitätsbeschränkung aufgehoben. Die Programmentsorgung des Filters kann sowohl "vergangene" als auch "zukünftige" Werte der Eingabefolge von Abtastwerten relativ zum aktuellen Berechnungspunkt k enthalten, während Gleichung (2.1.3) wie folgt aussieht: y(k) = bn x(k-n). (2.1.4) Wenn N" = N, wird das Filter als zweiseitig symmetrisch bezeichnet. Symmetrische Filter ändern im Gegensatz zu einseitigen Filtern nicht die Phase des verarbeiteten Signals. Verwendung einer anderen Fensterfunktion, die die Impulsantwort nicht abschaltet, aber die Koeffizienten an den Kanten dennoch auf Null reduziert. Somit wird das Überschwingen erheblich reduziert. Diese wird durch eine weniger steile Flanke erkauft. In den Funktionen werden einige Fensterfunktionen angezeigt. Die folgenden Abbildungen zeigen die Frequenzbereiche von Filtern verschiedener Ordnung. Es ist zu erkennen, dass mit zunehmender Ordnung die Ausreißer nicht verschwinden, sondern sich nur noch in einem kleineren Bereich um die Flanke herum konzentrieren. Das Hanning-Fenster reduziert das Überschwingen. Klar, aber die Flanke ist weniger steil. Da die Antwort von NCF auf einen einzelnen Eingangsimpuls (wie auch auf jedes beliebige Eingangssignal) immer endlich und durch die Größe des Filterfensters begrenzt ist, werden solche Filter auch als Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) bezeichnet. Die Technik zum Durchführen des Filterns unterscheidet sich nicht von der Technik zum Durchführen einer herkömmlichen diskreten Faltung von zwei Datenarrays. Der Vorteil hierbei ist, dass beliebige Frequenzen und Phasen implementiert werden können. Die Reihenfolge der Filter ist von untergeordneter Bedeutung. Die hier berechneten Koeffizienten bilden nur eine Annäherung an die tatsächliche Impulsantwort. Allerdings steigt die benötigte Rechenzeit dramatisch an. Es gibt auch das Problem des Überschwingens an den Rändern des Filters. Mit Fensterfunktionen können diese Transienten auf Kosten einer weniger steilen Flanke reduziert werden. Das Remez-Verfahren erzeugt Filterkoeffizienten, die als Gleichfrequenzfilter bekannt sind. Filter, die gemäß diesem Verfahren konstruiert sind, sind optimal im Hinblick auf einen optimalen Abschluss des Durchlassbands und ein Durchlassband-Toleranzschema. Dies führt zu einer gleichmäßigen Welligkeit sowohl im Durchlassband als auch im Verzögerungsband. Außerdem erfordern diese Filter oft eine niedrigere Ordnung, um mit dem Toleranzmuster übereinzustimmen, als die obigen Entwurfsverfahren. Die Aufgabe: Lernen Sie die Grundlagen von Schaltungen über FIR-Filter. Vorkalkulation durchführen, Fragen zur Selbstprüfung schriftlich beantworten. Führen Sie eine Vorkalkulation durch. Bauen Sie Schaltung 1 zusammen, die eine Schaltspannungsquelle und ein dreiteiliges FIR-Filter enthält. Konstruieren Sie den Frequenzgang eines Vierstab-FIR-Filters. (Formel H(z) ändern) Der Nachteil ist der hohe Rechenaufwand. Diese Entwurfsmethode bietet jedoch mehr Flexibilität. Mit zunehmender Ordnung wird die Welligkeit kleiner. Diese Entwurfsmethode erstellt nur eine Fensterfunktion und übergibt sie an die aufrufende Prozedur. Die Anzahl der Fensterfunktionskoeffizienten ist die übergebene Ordnung plus eins. Mehr als 200 Fensterfunktionen sind bekannt. Die am häufigsten verwendeten Fensterfunktionen werden von unserem Treiber angeboten. Die folgende Abbildung zeigt die verschiedenen Funktionen des Fensters. Je nach Aufgabenstellung und Randbedingungen muss der Anwender entscheiden, welcher Filtertyp eingesetzt werden soll. Konstruieren Sie den Frequenzgang eines fünfbarrigen FIR-Filters. (Formel H(z) ändern) Vergleichen Sie die in der vorläufigen Berechnung erhaltenen Grafiken mit den im Micro-Cap-Programm erhaltenen Grafiken. Machen Sie eine Schlussfolgerung. Vorauszahlung: Experiment: Lassen Sie uns Schaltung 1 zusammenbauen, die eine Schaltspannungsquelle und ein dreiteiliges FIR-Filter enthält. Dazu müssen die Vor- und Nachteile der beiden Filterarten miteinander verglichen werden. Die folgende Tabelle soll Ihnen dabei helfen. Zusammenfassung Die Verwendung von Filtern ist von größter Bedeutung, da sie in Funksystemen neben vielen anderen Anwendungen zur Entfernung von Interferenzen, unerwünschtem Rauschen, Bandbreitenbegrenzung, Signalabstimmung, Equalizern, digitaler Signalverarbeitung, Verbesserung der Systemleistungsqualität, Konditionierung und analogen Signalübertragung verwendet werden . Daher ist es wichtig, den Betrieb und die Eigenschaften von Filtern richtig zu verstehen, ein Problem, das in diesem Dokument behandelt wird. Wir werden zunächst klassische lineare Filter, charakterisiert durch ihren Amplitudengang, und dann lineare Filter, charakterisiert durch ihren Frequenzgang, zusammen mit ihren Übertragungsfunktionen, Gütefaktor und Designkriterien analysieren, um später die Möglichkeiten des Einsatzes von nichtlinearen Filtern basierend auf einzuführen nichtlineare Schwingkreise wie Chua, Lorenz und Chen. Konstruieren Sie den Frequenzgang eines dreigliedrigen FIR-Filters. Konstruieren Sie den Frequenzgang eines Vierstab-FIR-Filters. Konstruieren Sie den Frequenzgang eines dreigliedrigen FIR-Filters. Stichworte: lineares Filter, nichtlineares Filter, Oszillatoren, Qualitätsfaktor, Übertragungsfunktion. Kurzreferat Die Verwendung von Filtern ist wichtig, da sie im Radio zum Entfernen von Interferenzen und unerwünschtem Rauschen, zur Bandbreitenbegrenzung, zum Abstimmen von Signalen, zur Entzerrung, zur digitalen Signalverarbeitung, zur Verbesserung der Systemleistungsqualität, zur Konditionierung und zur analogen Signalübertragung sowie für viele andere Anwendungen verwendet werden. Daher ist es wichtig, den Filter und seine Eigenschaften zu verstehen, die in diesem Artikel beschrieben werden. Stichworte: lineare Filter, nichtlineare Filter, Oszillatoren, Qualitätsfaktor, Übertragungsfunktion. Ein Filter kann als jedes Gerät definiert werden, das das Signal, das es durchläuft, auf irgendeine Weise modifiziert. Es gibt verschiedene Klassifizierungen von Filtern. Wenn das Signal eine elektrische Größe ist, spricht man von einem elektrischen Filter, und wir werden uns mit diesem Artikel befassen. Ausgabe: In dieser Laborarbeit wurden unter Verwendung des Micro-Cap-Programms die Hauptzeit- und Frequenzcharakteristiken von Filtern mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) erhalten. Für Schaltung 1, die eine Schaltspannungsquelle, ein FIR-Filter, enthält, wurde der Frequenzgang des Filters mit einer anderen Anzahl von Verbindungen erhalten. Die experimentell erhaltenen Kurven erwiesen sich als gleich den Kurven, die in der vorläufigen Berechnung erhalten wurden. Eine andere Klassifizierung sind lineare und nichtlineare Filter. Nichtlineare Filter haben viele Verwendungsmöglichkeiten, insbesondere zum Entfernen von unregelmäßigem Rauschen. Beispielsweise wird ein Umgebungsfilter verwendet, um Rauschspitzen zu eliminieren, die nur einen kleinen Prozentsatz von Samples betreffen, möglicherweise für sehr große Zahlen. Tatsächlich verwenden alle Funkempfänger nichtlineare Filter, um Signale im Audiofrequenzbereich von Kilohertz in Gigahertz umzuwandeln; und die gesamte digitale Signalverarbeitung verwendet typischerweise nichtlineare Filter, um analoge Signale in binäre umzuwandeln. Zum Anfang Digitale Filter (Vorlesung)
Je nach Art der Impulsantwort werden digitale Filter in zwei große Klassen eingeteilt: ·
Nichtlineare Filter sind jedoch schwieriger zu verwenden und zu entwerfen als lineare Filter, da sie nicht die leistungsstärksten mathematischen Signalanalysewerkzeuge verwenden können. Daher werden häufig lineare Filter verwendet, um Rauschen und Verzerrungen zu eliminieren, die durch nichtlineare Prozesse erzeugt werden, einfach weil ein geeigneter nichtlinearer Filter zu komplex zu entwerfen und zu bauen wäre. Aus diesem Grund ist es notwendig, ein tieferes Verständnis des Verhaltens linearer Filter, ihrer Funktionen, Anwendungen und Eigenschaften zu erlangen und somit von diesen Grundlagen für den Entwurf nichtlinearer Filter auszugehen.
FIR-Filter sind gekennzeichnet durch den Ausdruck:
· Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR - Filter, rekursive Filter) verwenden einen oder mehrere ihrer Ausgänge als Eingang, bilden also eine Rückkopplung. Die Haupteigenschaft solcher Filter besteht darin, dass ihre Impulsantwort im Zeitbereich eine unendliche Länge hat und die Übertragungsfunktion eine gebrochen rationale Form hat.
Insbesondere wenn das Rauschen den Eingang im Frequenzbereich nicht überlagert, kann es durch lineare Bandpassfilter vollständig getrennt werden. Andererseits erfordert fast jede andere Art von Rauschen eine Art nichtlinearen Filter, um die Signalwiederherstellung zu maximieren.
In Abschnitt 2 werden wir die Eigenschaften sehen, die ein lineares Filter definieren, seinen Amplitudengang, seinen Frequenzgang, die Übertragungsfunktion verschiedener Konfigurationen und schließlich werden wir wichtige Aspekte wie Gütefaktor und Designkriterien analysieren.
IIR-Filter sind gekennzeichnet durch den Ausdruck:
Der Unterschied zwischen FIR-Filtern und IIR-Filtern besteht darin, dass bei FIR-Filtern die Ausgangsantwort von den Eingangssignalen abhängt, während bei IIR-Filtern die Ausgangsantwort vom aktuellen Wert abhängt.
impulsive Reaktion ist die Antwort der Schaltung auf ein einzelnes Signal.
E einzelnes Signal ist wie folgt definiert:
In Abschnitt 3 werden wir sehen, dass nichtlineare Filter hauptsächlich auf dem Chua-System basieren, das ein chaotisches System ist, aus dem filterartiges Verhalten erhalten werden kann, und das zweite von einem komplexeren Lorentz-System als dem Chua-System abgeleitet wird . Ein Filter gilt als linear, wenn das Prinzip der Überlagerung angewendet werden kann.
Wir können lineare Filter basierend auf ihrer Übertragungsfunktion nach ihrem Verhalten in Amplitude und Frequenz klassifizieren. Wenn der Eingang zu einem bestimmten Zeitpunkt Null ist, wird der Ausgang einen Moment später als die durch das Filter aktivierten Verzögerungen Null sein. Mit dieser Art von Filter interessieren Sie sich besonders für Audioanwendungen.
- Sie können nur in diskreter Zeit realisiert werden.
- Sie können als gewichtete Summe von Eingaben mit einer bestimmten Verzögerung beschrieben werden.
- Somit wird es nur eine Reaktion auf die Endzeit geben.
Auf diese Weise, ein einzelnes Signal an nur einem Punkt ist gleich eins - am Ursprungspunkt.
Inhaftiert e einzelnes Signal ist wie folgt definiert:
Also der Häftling ein einzelnes Signal verzögertk Abtastperioden.
Daher wird dieses Filter unter Verwendung von Differentialgleichungen implementiert, die eine Berechnung von rekursiven Ausgangsabtastwerten ermöglichen. Diese Filter haben eine Ausgabe, selbst wenn die Eingabe Null ist, solange die Anfangsbedingungen nicht Null sind. Es lässt Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz passieren, während es Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz deutlich reduziert, es hat eine ideale Kennlinie, die durch die in der Abbildung gezeigte Kurve veranschaulicht wird. Dies ist eine Kombination aus einem Tiefpassfilter und einem Hochpassfilter, der Bereich zwischen den beiden Grenzfrequenzen wird als Passband bezeichnet. Durch die Kombination eines Tiefpassfilters und eines Hochpassfilters wird der Bereich außerhalb des Durchlassbands als Durchlassband bezeichnet, das sowohl hohe als auch niedrige Frequenzen passieren lässt, aber jedes Signal dämpft, das eine Frequenz zwischen den beiden Grenzfrequenzen hat.
- Die Filterenergie nimmt mit der Zeit ab, wird aber nicht Null.
- Daher setzt sich die Impulsantwort unbegrenzt fort.
- Es hat eine ideale Charakteristik, die durch die Kurve in der Figur gezeigt wird.
- Dadurch werden alle Frequenzen, die ihre Phase ändern können, durchgelassen.
Signale und Spektren
Dualität (Dualität) der Darstellung von Signalen.
Alle Signale können in der Zeit- oder Frequenzebene dargestellt werden.
Außerdem gibt es mehrere Frequenzebenen.
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Zeitliche Ebene. Dieser Filtertyp kann mit einem Kondensator und einem Widerstand aufgebaut werden, wie in der Abbildung gezeigt. Die Übertragungsfunktion dieser Tiefpassfilterschaltung. Dies wird erreicht, indem die Position des Kondensators und des Widerstands umgekehrt wird, wie in der Abbildung gezeigt. Die Übertragungsfunktion dieser passiven Filterschaltung ist hochpassiv. Es gibt mehrere Schaltungen, die als "Bandpass"-Filter klassifiziert werden. Betrachten Sie die einfache Schaltung in Abb. 7, bei der der Ausgang über einen Widerstand erfolgt. Die Übertragungsfunktion dieser Schaltung ist leicht zu finden, was ist. Die Verwendung eines aktiven Elements wie eines Operationsverstärkers im Filterdesign überwiegt bei weitem die Nachteile passiver Filter. Ebenso können diese Schaltungen durch die strategische Platzierung von Kondensatoren ein spulenähnliches Verhalten aufweisen. |
Transformationen. |
Frequenzebene. |
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Um das Signal in der Zeitebene anzuzeigen, gibt es ein Gerät:
Stellen Sie sich vor, hier gibt es ein ausreichend langes Sinussignal (in 1 Sekunde eine 1000-mal wiederholte Sinuswelle):
Nehmen wir ein Signal mit einer doppelt so großen Frequenz:
Lassen Sie uns diese Signale hinzufügen. Wir bekommen keine Sinuskurve, sondern ein verzerrtes Signal:
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Transformationen von der Zeitebene in die Frequenzebene werden unter Verwendung von Fourier-Transformationen durchgeführt. |
Um das Signal in der Frequenzebene anzuzeigen, gibt es ein Gerät:
Die Frequenz ist zyklisch oder kreisförmig ( F ). Die Frequenzebene zeigt die Kerbe:
Der Kerbwert ist proportional zur Amplitude der Sinuskurve und der Frequenz: f1 = Für das zweite Signal zeigt der Frequenzbereich eine andere Kerbe:
Im Zeitbereich des Summensignals erscheinen 2 Kerben:
|
Beide Darstellungen des Signals sind gleichwertig und verwenden entweder die erste oder die andere Darstellung, je nachdem, was bequemer ist.
Transformationen von der Zeitebene in die Frequenzebene können auf verschiedene Weise erfolgen. Zum Beispiel: Verwendung von Laplace-Transformationen oder Verwendung von Fourier-Transformationen.
Drei Formen des Schreibens von Fourier-Reihen.
Es gibt drei Möglichkeiten, Fourier-Reihen zu schreiben:
· Sinus ist die Kosinusform.
· Echte Gestalt.
· komplexe Form.
1.) In Sinus-Cosinus-Form Die Fourier-Reihe hat die Form:
Mehrere Frequenzen in der Formel enthalten kω 1 werden gerufen Obertöne; Harmonische werden entsprechend dem Index nummeriert k; Frequenz ω k =kω 1 angerufen k te Harmonische des Signals.
Dieser Ausdruck besagt Folgendes: dass jede periodische Funktion als Summe von Harmonischen dargestellt werden kann, wobei:
Woher
T ist die Wiederholungsperiode dieser Funktion;
ω - Kreisfrequenz.
, wo
T- aktuelle Uhrzeit;
T- Zeitraum.
Bei der Fourier-Entwicklung ist das Wichtigste die Periodizität. Aufgrund dessen tritt eine Frequenzabtastung auf, eine bestimmte Menge an Obertönen beginnt.
Um die Möglichkeit einer trigonometrischen Entwicklung für eine gegebene periodische Funktion zu etablieren, muss man von einem bestimmten Satz von Koeffizienten ausgehen. Eine Technik zu ihrer Bestimmung wurde in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts von Euler und unabhängig von ihm zu Beginn des 19. Jahrhunderts von Fourier erfunden.
Drei Euler-Formeln zur Bestimmung der Koeffizienten:
; 
; 
Eulers Formeln brauchen keinen Beweis. Diese Formeln sind exakt für unendlich viele Harmonische. Die Fourier-Reihe ist eine abgeschnittene Reihe, weil Es gibt keine unendliche Anzahl von Obertönen. Der Koeffizient der abgeschnittenen Reihe wird mit den gleichen Formeln wie für die vollständige Reihe berechnet. In diesem Fall ist der mittlere quadratische Fehler minimal.
Die Leistung der Harmonischen nimmt mit zunehmender Anzahl ab. Wenn Sie einige harmonische Komponenten hinzufügen/verwerfen, ist eine Neuberechnung der verbleibenden Terme (andere Harmonische) nicht erforderlich.
Fast alle Funktionen sind gerade oder ungerade:
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GLEICHE FUNKTION |
KOMISCHE FUNKTION |
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Gekennzeichnet durch die Gleichung: Zum Beispiel die Funktion Kos:
wobei: t = −t Eine gerade Funktion ist symmetrisch bzgl y-Achse. Wenn die Funktion gerade ist, dann sind alle Sinus Chancen b k wird gleich Null sein und in der Formel der Fourier-Reihe wird es nur geben Kosinus Bedingungen. |
Gekennzeichnet durch die Gleichung: Zum Beispiel die Funktion Sünde:
Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Zentrum. Wenn die Funktion ungerade ist, dann alle Kosinuskoeffizienten ein k wird gleich Null sein und in der Formel der Fourier-Reihe wird es nur geben Sinus Bedingungen. |
2.) echte Gestalt Aufzeichnungen der Fourier-Reihe.
Ein gewisser Nachteil der Sinus-Cosinus-Form der Fourier-Reihe ist der für jeden Wert des Summationsindex k(d.h. für jede Harmonische mit Frequenz kω 1) Die Formel enthält zwei Terme - Sinus und Cosinus. Unter Verwendung der Formeln für trigonometrische Transformationen kann die Summe dieser beiden Terme in einen Kosinus derselben Frequenz mit einer anderen Amplitude und einer gewissen Anfangsphase transformiert werden:
, wo
;
Wenn S(T) ist eine gerade Funktion, die Phasen φ kann nur die Werte 0 und annehmen π , und wenn S(T) eine ungerade Funktion ist, dann die möglichen Werte für die Phase φ gleich + π /2.
3.) komplexe Form Aufzeichnungen der Fourier-Reihe.
Diese Form der Darstellung der Fourier-Reihe ist vielleicht die am weitesten verbreitete in der Funktechnik. Sie ergibt sich aus der reellen Form, indem man den Kosinus als Halbsumme komplexer Exponenten darstellt (eine solche Darstellung folgt aus der Euler-Formel e jθ = Cosθ + jSinθ):
Wenden wir diese Transformation auf die reelle Form der Fourier-Reihe an, erhalten wir die Summen komplexer Exponenten mit positiven und negativen Exponenten:
Und jetzt interpretieren wir die Exponenten mit einem Minuszeichen im Indikator als Mitglieder einer Reihe mit negativen Zahlen. Im Rahmen des gleichen allgemeinen Ansatzes der konstante Begriff ein 0 /2 wird Mitglied der Serie mit einer Nullnummer. Das Ergebnis ist eine komplexe Form der Fourier-Reihe:
Die Formel zur Berechnung der Koeffizienten Ck Die Fourierreihe:
Wenn S(T) ist ein eben Funktion, Reihenkoeffizienten Ck wird sauber sein Real, und wenn S(T) - Funktion seltsam, erweisen sich die Koeffizienten der Reihe als rein imaginär.
Die Menge der harmonischen Amplituden der Fourier-Reihe wird oft genannt Amplitudenspektrum, und die Gesamtheit ihrer Phasen ist Phasenspektrum.
Das Amplitudenspektrum ist der Realteil der Koeffizienten Ck Die Fourierreihe:
Betreff( Ck) ist das Amplitudenspektrum.
Spektrum von Rechtecksignalen.
Stellen Sie sich ein Signal in Form einer Folge von Rechteckimpulsen mit Amplitude vor EIN, Dauer τ und Wiederholungsperiode T. Der Beginn des Countdowns wird in der Mitte des Pulses angenommen.
Dieses Signal ist eine gerade Funktion, daher ist es für seine Darstellung bequemer, die Sinus-Kosinus-Form der Fourier-Reihe zu verwenden - sie enthält nur Kosinus-Terme ein k, gleicht:
Aus der Formel ist ersichtlich, dass die Dauer der Impulse und die Periode ihrer Wiederholung nicht separat, sondern ausschließlich im Verhältnis darin enthalten sind. Dieser Parameter - das Verhältnis der Periode zur Dauer der Impulse - wird aufgerufen Auslastungsgrad Folgen von Impulsen und werden mit dem Buchstaben bezeichnet: g : g = T/τ. Wir führen diesen Parameter in die erhaltene Formel für die Koeffizienten der Fourier-Reihe ein und bringen dann die Formel in die Form Sin ( x ) / x :
Notiz: In der ausländischen Literatur wird anstelle des Arbeitszyklus der Kehrwert verwendet, der als Arbeitszyklus (Duty Cycle) bezeichnet wird und gleich τ / T.
Mit dieser Schreibweise wird deutlich, was der Wert des konstanten Gliedes der Reihe ist: seit at x→ 0Sünde( x)/x→1, dann
Jetzt können wir die eigentliche Darstellung der Folge von Rechteckimpulsen in Form einer Fourier-Reihe aufschreiben:
Die Amplituden der harmonischen Terme der Reihe hängen von der harmonischen Zahl gemäß dem Sin-Gesetz ab ( x)/x.
Sin-Funktionsgraph ( x)/x hat Blütencharakter. In Bezug auf die Breite dieser Blütenblätter sollte betont werden, dass für Diagramme von diskreten Spektren periodischer Signale zwei Optionen zur Einstufung der horizontalen Achse möglich sind - in Anzahl von Harmonischen und in Frequenzen.
In der Abbildung entspricht die Teilung der Achse der Anzahl der Harmonischen, und die Frequenzparameter des Spektrums sind in der Grafik mit Maßlinien aufgetragen.
Die Breite der Blütenblätter, gemessen in der Anzahl der Harmonischen, ist also gleich dem Arbeitszyklus der Sequenz (mit k = ng wir haben Sünde (π k /g) = 0 wenn n≠ 0). Dies impliziert eine wichtige Eigenschaft des Spektrums einer Folge von Rechteckimpulsen – es fehlen (hat Amplituden von null) Harmonische mit Zahlen, die Vielfache des Tastverhältnisses sind.
Der Frequenzabstand zwischen benachbarten Harmonischen ist gleich der Impulswiederholungsrate - 2 π /T. Die Breite der Spektrumkeulen, gemessen in Frequenzeinheiten, beträgt 2 π /τ , d.h. ist umgekehrt proportional zur Pulsdauer. Dies ist eine Manifestation des allgemeinen Gesetzes - je kürzer das Signal, desto breiter sein Spektrum.
Ausgabe : Für jedes Signal sind seine Entwicklungen in einer Fourier-Reihe bekannt. Wissen τ Und T Wir können berechnen, wie viele Oberschwingungen benötigt werden, um Leistung zu übertragen.
Methoden zur Analyse linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten.
Aufgabe in der Formulierung:
Es gibt ein lineares System (unabhängig von der Signalamplitude):
Für dieses System ist es notwendig, eine Differentialgleichung aufzustellen.
Dies ist eine typische Aufgabenstellung in der Elektrotechnik. Es gibt eine leistungsfähige Möglichkeit, dieses Problem im Zeitbereich zu lösen.
Im Allgemeinen:
Die Ordnung der Gleichung hängt von der Anzahl der reaktiven Elemente ab.
Es kann als Gleichungssystem ersten Grades geschrieben werden.
Beispiel :
UR =IR
UC =
Ich = C
UR + UC = X(t)
RC+UC =X(T)
UC- ist ein Y aussteigen, also: RC+U BEENDEN =X(T)
Die weitere Lösung reduziert sich darauf, zuerst eine homogene und dann eine inhomogene Gleichung zu lösen.
Diese Entscheidung wird etwas vereinfacht, wenn von der Zeitebene auf eine andere Ebene der komplexen Variablen übertragen wird. Die Übersetzung von der Zeitebene in die komplexe Ebene wird durch direkte Laplace-Transformation durchgeführt.
RCY" + Y = x(T)
Die Differenzgleichung wird berechnet.
Direkte Laplace-Transformation.
Laplace-Transformation - Integraltransformation in Bezug auf eine Funktion S(P) komplexe Variable ( Bild) mit der Funktion S(x) reelle Variable ( Original).
Laplace-Transformationen spielen eine sehr wichtige Rolle bei der Untersuchung von Systemen, die durch lineare Differentialgleichungen beschrieben werden. Mit der direkten Laplace-Transformation können Sie von Differentialgleichungen zu algebraischen übergehen, sie in algebraischer Form lösen und dann die inverse Transformation verwenden, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Ein ähnliches Ergebnis wird erzielt, wenn lineare Differenzgleichungen unter Verwendung des Z-Transformationsgeräts gelöst werden.
Die direkte Laplace-Transformation erfolgt nach der Formel: 
, wo ist eine komplexe Variable, wo σ
- Dämpfung.
Beispiel :
Die Antwort des Systems auf die eingegebene Deltafunktion wird aufgerufen Impuls charakteristisch Systeme.
Die Antwort des Systems auf die an die Eingabe angelegte Einheitssprungfunktion wird aufgerufen vorübergehende Reaktion.
Die zeitliche Ableitung einer Funktion ist die Multiplikation dieser Funktion mit P:
Und das Zeitintegral einer Funktion ist die Division dieser Funktion durch P:
Dementsprechend der Ausdruck: RCY" + Y = x(T) wird so geschrieben: RCPY + Y = x(P)
Relativ auflösen Y, wir bekommen: Y (RCP + 1)= x(P)
Der Übertragungskoeffizient dieser Gleichung ist: 
In der komplexen Variablenebene ist dies:
Hier XP– wurde als Testgerätfunktion übernommen. Das ist also die Impulsantwort P- Bereiche.
Es gibt keine Variablen im Zähler. Die Wurzeln des Zählers heißen NullenÜbertragungsfunktionen.
An Nullpunkten ist die Übertragungsfunktion gleich Null, und an Polpunkten geht die Übertragungsfunktion gegen unendlich.
Die komplexe Frequenz in der Ebene der komplexen Variablen ist der einfachste Weg, die Stabilität eines Systems zu testen. Das System wird aufgerufen nachhaltig, wenn bei Eingangssignal Null das Ausgangssignal unter beliebigen Anfangsbedingungen abklingt. Ein lineares System ist genau dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion in der linken komplexen Halbebene liegen.
Fourier-Transformation.
Die Fourier-Transformation ordnet ein zeitlich gegebenes Signal seiner Spektralfunktion zu. Das macht den Übergang aus Zeitbereich in Frequenz.
Die Fourier-Transformation liefert die Grundlage zum Erhalten der Frequenz- und Phaseneigenschaften (wir wollen die Hüllkurve des Spektrums erhalten). Die Fourier-Transformation ist ein Spezialfall der Laplace-Transformation mit σ = 0.
Zum Beispiel:
Lassen Sie uns die Frequenz- und Phaseneigenschaften für die oben betrachtete einfache Kette erhalten, in der der Übertragungskoeffizient:
Die Fourier-Transformation unterscheidet sich von der Laplace-Transformation dadurch, dass sie hat: P = jω unser Ausdruck sieht also so aus:
Der Frequenzgang ist die Abhängigkeit des Verstärkungsmoduls von der Frequenz.
Multipliziere Zähler und Nenner dieses Bruchs mit einer komplexen Zahl (1- jωRC) (unter der Annahme, dass sich der Wert des Bruchs davon nicht ändert):
Daher wird der Modul des Übertragungskoeffizienten durch den Ausdruck bestimmt:
Bei Null ist der Modul des Übertragungskoeffizienten gleich eins, und wenn die Frequenz zunimmt, beginnt er zu fallen:
Mit zwei Werten sieht der PFC so aus:
Um also ein beliebiges System zu analysieren, ist es notwendig, alle Merkmale zu erstellen.
Diskrete Laplace-Transformation.
Alles früher betrachtete - betraf stetige Funktionen. Wenn in eine stetige Funktion statt T Ersatz kT und ersetzen Sie die Summe anstelle des Integrals, dann gibt es eine Laplace-Transformation.
Die Laplace-Transformation wird auf dem Gebiet der Computersteuerungssysteme verwendet. Die diskrete Laplace-Transformation kann auf Gitterfunktionen angewendet werden.Eine Gitterfunktion ist eine Funktion, deren Werte nur zu diskreten Zeiten bestimmt werdenkT, wobei k eine ganze Zahl ist, und T- Testphase.
Die diskrete Laplace-Transformation ermöglicht es, den Übertragungskoeffizienten aufzuschreiben. Unterscheiden D -Umwandlung u Z -Wandlung.
D – Transformation :
Z - Umwandlung:
Eine Z-Transformation transformiert eine Halbebene in eine andere Z-Ebene. Z-Transformation ist die Laplace-Transformation der Gitterfunktion, die durch eine Änderung von Variablen erzeugt wird:
Multiplizieren mit Z –1 ist eine Verschiebung um eine Abtastperiode.
Nehmen wir den ursprünglichen Ausdruck, mit dem wir begonnen haben:
Daraus ergibt sich das Rechenverfahren wie folgt:
Gemäß den Eigenschaften der z-Transformation entspricht die Verzögerung einer diskreten Sequenz um einen Taktzyklus der Multiplikation ihrer z-Transformation mit z − 1. Daher werden die Speicherelemente, die eine solche Verzögerung implementieren, im Blockdiagramm als „ z −1”.
Die Anzahl der verwendeten vorherigen Messwerte wird aufgerufen Filterreihenfolge.
Eine Anzahl vorhergehender Abtastwerte des Eingangssignals wird in Speicherzellen gespeichert, die eine diskrete Verzögerungsleitung bilden. Diese Abtastwerte werden mit den Koeffizienten bk multipliziert und summiert, um den Ausgangsabtastwert y(n) zu bilden.
Da die Berechnungen keine früheren Messwerte verwenden Wochenende Signal, gibt es keine Rückkopplungen in der Schaltung. Daher werden diese Filter aufgerufen nicht rekursiv. Wenn ein einzelner Impuls an den Eingang angelegt wird, bewegt er sich entlang der Verzögerungsleitung und wird mit den Koeffizienten multipliziertB 0 , B 1 , B 2 ... und gehe zum Ausgang des Geräts (schließlich sind alle anderen Eingangssignale des Addierers gleich Null). Offensichtlich enthält die Verzögerungsleitung in einem realen Gerät eine endliche Anzahl von Elementen, also auch die Impulsantwort eines nicht rekursiven Filters ultimative nach Dauer. Dies führte zu einem anderen Namen für solche Filter - Filter mit endliche Impulsantwort(FIR-Filter).
Blockdiagramm der FIR-Filtersoftware:
Programm:
ORDFIL EQU 40; Filter vierzigster Ordnung.
PUFFER M, ORDFIL; Überprüfung der Möglichkeit, einen Ringpuffer zu erstellen.
COEFFS :DS b 0, b 1, b 3
DSb4, b5, b6
…………………
DS b 37, _VVOD EQU Y : FFC 0; Eingabeports definieren.
PORT_VIVOD EQU Y: FFC 1; Ausgangsports definieren.
ORGP: 0; Organisation des P-Speichers.
ZURÜCKSETZEN :JMP START ; unbedingter Sprung zum Label START .
P:100; das Programm beginnt bei der hundertsten Zelle.
START : BUF BEWEGEN _X , R 0; in R 0 wird die Startadresse X eingetragen.
MOVE # ORDFIL ─1, M 0
MOVE # COEFFS , R 4; Organisation eines Zykluspuffers für Koeffizienten. im Y-Speicher.
MOVE # M 0, M 4 ; weil die länge passen muss, dann peres. von M 0 bis M 4.
CLRA; Setzen Sie die Batterie zurück.
REP #ORDFIL ; Wiederholen Sie den Kettenvorgang.
BEWEGE A , X : (R 4) +; Verwenden Sie Autoinkrement und setzen Sie alle Pufferzellen zurück.
LOOP : MOVEP Y : PORT _VVOD , X ─ (R 0) b 0).
REP #ORDFIL ─1; rep. Kettenbetrieb (39 mal smart ohne Rundung)
MAC X 0, Y 0, A X :(R 0)+, X 0Y :(R 4)+, Y 0 ; Vorbereitung der nächsten Oper.
MACRX0,Y0,A
MOVEP A, Y: PORT_VIVOD; Byteweise Übertragung von Inhalten. Batterie.
JMP-SCHLEIFE ; unbedingter Sprung zum LOOP-Label.
Die Reihenfolge des Entwerfens digitaler Filter.
Die Reihenfolge beim Entwerfen digitaler Filter hängt hauptsächlich mit dem Filtertyp entlang der Frequenzganglinie zusammen. Eines der in der Praxis häufig auftretenden Probleme ist die Schaffung von Filtern, die Signale in einem bestimmten Frequenzband durchlassen und die restlichen Frequenzen verzögern. Es gibt vier Arten:
1.) Tiefpassfilter (LPF; englischer Begriff - Tiefpassfilter ), die Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz durchlassenω 0.
2.) Hochpassfilter (HPF; englische Bezeichnung - Hochpassfilter ), Durchlassfrequenzen, die größer als eine Grenzfrequenz sindω 0.
3.) Bandpassfilter (PF; der englische Begriff ist Bandpassfilter ), Durchgangsfrequenzen in einem bestimmten Bereichω 1…. ω 2 (Sie können auch durch eine mittlere Häufigkeit charakterisiert werdenω 0 = (ω 1 + ω 2 ω = ω 2 – ω 1 ).
4.) Notchfilter (andere mögliche Bezeichnungen sind Notchfilter, Notchfilter, Bandsperrfilter; englischer Begriff - Band - Stoppfilter ) vorbei zum Ausgang alle Frequenz, außer in einem bestimmten Bereich liegen ω 1…. ω 2 (Sie können auch durch eine mittlere Häufigkeit charakterisiert werdenω 0 = (ω 1 + ω 2 )/2 und Bandbreite Δ ω = ω 2 – ω 1 ).
Die ideale Form des Frequenzgangs dieser vier Filtertypen:
Eine solche ideale (rechteckige) Frequenzgangform ist jedoch physikalisch nicht realisierbar. Daher wurde in der Theorie analoger Filter eine Reihe von Verfahren entwickelt Annäherungen rechteckiger Frequenzgang.
Nachdem Sie den Tiefpassfilter berechnet haben, können Sie seine Grenzfrequenz mit einfachen Transformationen ändern und ihn mit bestimmten Parametern in einen Hochpassfilter, Bandpass oder Kerbfilter verwandeln. Daher beginnt die Berechnung des analogen Filters mit der Berechnung des sogenannten Prototyp-Filter, das ist ein Niederfrequenzfilter mit einer Grenzfrequenz von 1 rad/s.
1.) Butterworth-Filter:
Butterworth-Prototyp-Filterpassfunktion ( Butterworth-Filter ) hat keine Nullstellen und seine Pole sind gleichmäßig verteiltS-Ebene in der linken Hälfte eines Kreises mit Einheitsradius.Beim Butterworth-Filter wird die Grenzfrequenz durch den Pegel 1/ bestimmt. Der Butterworth-Filter sorgt dafür möglichst flach Spitze im Durchlassbereich. |
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2.) Tschebyscheff-Filter erster Art:
Die Übertragungsfunktion des Tschebyscheff-Filters erster Art ( Tschebyscheff-Typ-I-Filter ) hat ebenfalls keine Nullstellen, und seine Pole liegen in der linken Hälfte der Ellipse aufS-Flugzeug. Bei einem Tschebyscheff-Filter erster Art wird die Grenzfrequenz durch die Höhe der Welligkeit im Durchlassbereich bestimmt.Im Vergleich zu einem Butterworth-Filter der gleichen Ordnung liefert das Tschebyscheff-Filter einen steileren Frequenzgangabfall im Übergangsbereich vom Durchlassbereich zum Sperrbereich. |
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3.) Tschebyscheff-Filter zweiter Art:
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Die Übertragungsfunktion des Tschebyscheff-Filters zweiter Art ( Tschebyscheff-Filter Typ II ) hat im Gegensatz zu den vorherigen Fällen sowohl Nullen als auch Pole. Tschebyscheff-Filter der zweiten Art werden auch inverse Tschebyscheff-Filter genannt ( inverser Tschebyscheff-Filter ). Die Grenzfrequenz des Tschebyscheff-Filters zweiter Art ist nicht das Ende des Durchlassbereichs, sondern Stoppband beginnen. Die Filterverstärkung bei der Nullfrequenz ist gleich 1, bei der Grenzfrequenz - bis zum gegebenen Welligkeitspegel im Sperrbereich. Bei ω → ∞ Die Verstärkung ist gleich Null, wenn die Filterordnung ungerade und die Welligkeit gleich gerade ist. Bei ω = 0 Der Frequenzgang des Tschebyscheff-Filters zweiter Art ist maximal flach. |
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4.) Elliptische Filter:
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Elliptische Filter (Cauer-Filter; englische Begriffe - elliptischer Filter, Cauer-Filter ) kombinieren gewissermaßen die Eigenschaften von Chebyshev-Filtern der ersten und zweiten Art, da der Frequenzgang eines elliptischen Filters sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich Welligkeiten mit einem bestimmten Wert aufweist. Dadurch ist es möglich, die maximal mögliche (bei fester Filterordnung) Steigung der Steigung des Frequenzgangs bereitzustellen, d.h. Übergangsbereich zwischen Pass- und Stoppband. Die Übertragungsfunktion eines elliptischen Filters hat sowohl Pole als auch Nullstellen. Nullstellen sind wie bei einem Tschebyscheff-Filter zweiter Art rein imaginär und bilden komplex konjugierte Paare. Die Anzahl der Nullstellen der Übertragungsfunktion ist gleich der maximalen geraden Zahl, die die Ordnung des Filters nicht überschreitet. |
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MATLAB-Funktionen zur Berechnung von Butterworth, Tschebyscheff-Filtern erster und zweiter Art sowie elliptischer Filter können Sie sowohl analoge als auch diskrete Filter berechnen. Die Filterberechnungsfunktionen erfordern die Angabe der Filterordnung und ihrer Grenzfrequenz als Eingabeparameter.
Die Reihenfolge des Filters hängt ab von:
- von der zulässigen Welligkeit im Durchlassbereich
- über die Größe der Unsicherheitszone. (Je kleiner die Unsicherheitszone, desto steiler der Abfall des Frequenzgangs).
Zum Bei FIR-Filtern beträgt die Ordnung mehrere Zehner oder Hunderter, und bei IIR-Filtern übersteigt die Ordnung einige wenige Einheiten nicht.
Die Piktogramme ermöglichen es, alle Koeffizienten zu sehen. Das Design des Filters erfolgt in einem Fenster.