Înțelegerea numerelor, în special a numerelor naturale, este una dintre cele mai vechi „abilități” matematice. Multe civilizații, chiar și cele moderne, au atribuit numerelor anumite proprietăți mistice datorită importanței lor enorme în descrierea naturii. Deși știința și matematica modernă nu confirmă aceste proprietăți „magice”, importanța teoriei numerelor este incontestabilă.
Din punct de vedere istoric, au apărut mai întâi o varietate de numere naturale, apoi li s-au adăugat destul de repede fracții și numere iraționale pozitive. Numerele zero și negative au fost introduse după aceste submulțimi ale mulțimii numerelor reale. Ultimul set, mulțimea numerelor complexe, a apărut abia odată cu dezvoltarea științei moderne.
În matematica modernă, numerele nu sunt introduse în ordine istorică, deși destul de aproape de ea.
Numere naturale $\mathbb(N)$
Setul de numere naturale este adesea notat ca $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ și este adesea completat cu zero pentru a denota $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definește operațiile de adunare (+) și înmulțire ($\cdot$) cu următoarele proprietăți pentru orice $a,b,c\în \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ multimea $\mathbb(N)$ este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutativitate
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativitate
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitate
5. $a\cdot 1=a$ este un element neutru pentru înmulțire
Deoarece mulțimea $\mathbb(N)$ conține un element neutru pentru înmulțire, dar nu pentru adunare, adăugarea unui zero la această mulțime asigură că include un element neutru pentru adunare.
Pe lângă aceste două operații, relațiile „mai puțin decât” ($
1. $a b$ tricotomie
2. dacă $a\leq b$ și $b\leq a$, atunci $a=b$ antisimetrie
3. dacă $a\leq b$ și $b\leq c$, atunci $a\leq c$ este tranzitiv
4. dacă $a\leq b$ atunci $a+c\leq b+c$
5. dacă $a\leq b$ atunci $a\cdot c\leq b\cdot c$
Numerele întregi $\mathbb(Z)$
Exemple de numere întregi:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rezolvarea ecuației $a+x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale cunoscute, iar $x$ este un număr natural necunoscut, necesită introducerea unei noi operații - scăderea(-). Dacă există un număr natural $x$ care satisface această ecuație, atunci $x=b-a$. Cu toate acestea, această ecuație particulară nu are neapărat o soluție pentru mulțimea $\mathbb(N)$, așa că considerațiile practice necesită extinderea setului de numere naturale pentru a include soluții la o astfel de ecuație. Aceasta duce la introducerea unui set de numere întregi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Deoarece $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, este logic să presupunem că operațiile introduse anterior $+$ și $\cdot$ și relațiile $ 1. $0+a=a+0=a$ există un element neutru pentru adăugare
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ există un număr opus $-a$ pentru $a$
Proprietatea 5.:
5. dacă $0\leq a$ și $0\leq b$, atunci $0\leq a\cdot b$
Mulțimea $\mathbb(Z)$ este de asemenea închisă sub operația de scădere, adică $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Numere raționale $\mathbb(Q)$
Exemple de numere raționale:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Acum luați în considerare ecuații de forma $a\cdot x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi cunoscute, iar $x$ este o necunoscută. Pentru ca soluția să fie posibilă, este necesar să se introducă operația de împărțire ($:$), iar soluția ia forma $x=b:a$, adică $x=\frac(b)(a)$ . Din nou apare problema că $x$ nu aparține întotdeauna lui $\mathbb(Z)$, așa că mulțimea numerelor întregi trebuie extinsă. Aceasta introduce mulțimea numerelor raționale $\mathbb(Q)$ cu elemente $\frac(p)(q)$, unde $p\in \mathbb(Z)$ și $q\in \mathbb(N)$. Mulțimea $\mathbb(Z)$ este o submulțime în care fiecare element $q=1$, deci $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ și operațiile de adunare și înmulțire se extind la această mulțime conform următoarele reguli, care păstrează toate proprietățile de mai sus pe mulțimea $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Împărțirea se introduce după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Pe mulțimea $\mathbb(Q)$, ecuația $a\cdot x=b$ are o soluție unică pentru fiecare $a\neq 0$ (diviziunea la zero este nedefinită). Aceasta înseamnă că există un element invers $\frac(1)(a)$ sau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\există \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Ordinea mulțimii $\mathbb(Q)$ poate fi extinsă după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1)
Mulțimea $\mathbb(Q)$ are o proprietate importantă: între oricare două numere raționale există infinite alte numere raționale, prin urmare, nu există două numere raționale adiacente, spre deosebire de mulțimile de numere naturale și întregi.
Numere iraționale $\mathbb(I)$
Exemple de numere iraționale:
$\sqrt(2) \aproximativ 1,41422135...$
$\pi\aproximativ 3,1415926535...$
Deoarece între oricare două numere raționale există infinit de alte numere raționale, este ușor să concluzionați în mod eronat că mulțimea numerelor raționale este atât de densă încât nu este nevoie să o extindeți mai mult. Până și Pitagora a făcut o asemenea greșeală la vremea lui. Cu toate acestea, contemporanii săi au infirmat deja această concluzie când au studiat soluțiile ecuației $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pe mulțimea numerelor raționale. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, este necesar să introduceți conceptul de rădăcină pătrată, iar apoi soluția acestei ecuații are forma $x=\sqrt(2)$. O ecuație precum $x^2=a$, unde $a$ este un număr rațional cunoscut și $x$ este unul necunoscut, nu are întotdeauna o soluție pentru mulțimea numerelor raționale și, din nou, apare necesitatea extinderii a stabilit. Apare un set de numere iraționale, iar numere precum $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... aparțin acestei mulțimi.
Numere reale $\mathbb(R)$
Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale. Deoarece $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, este din nou logic să presupunem că operațiile și relațiile aritmetice introduse își păstrează proprietățile pe noua mulțime. Dovada formală a acestui lucru este foarte dificilă, astfel încât proprietățile menționate mai sus ale operațiilor și relațiilor aritmetice pe mulțimea numerelor reale sunt introduse ca axiome. În algebră, un astfel de obiect se numește câmp, deci se spune că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat.
Pentru ca definiția mulțimii numerelor reale să fie completă, este necesar să se introducă o axiomă suplimentară care să distingă mulțimile $\mathbb(Q)$ și $\mathbb(R)$. Să presupunem că $S$ este o submulțime nevidă a mulțimii de numere reale. Un element $b\in \mathbb(R)$ se numește limita superioară a unei mulțimi $S$ dacă $\forall x\in S$ deține $x\leq b$. Apoi spunem că mulțimea $S$ este mărginită mai sus. Cea mai mică limită superioară a mulțimii $S$ se numește supremum și se notează $\sup S$. Conceptele de limită inferioară, set mărginit mai jos și infinit $\inf S$ sunt introduse în mod similar. Acum axioma lipsă este formulată după cum urmează:
Orice submulțime nevidă și mărginită superioară a mulțimii de numere reale are un supremum.
De asemenea, se poate dovedi că câmpul numerelor reale definite în modul de mai sus este unic.
Numere complexe$\mathbb(C)$
Exemple de numere complexe:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ unde $i = \sqrt(-1)$ sau $i^2 = -1$
Mulțimea numerelor complexe reprezintă toate perechile ordonate de numere reale, adică $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, pe care operațiile de adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Există mai multe forme de scriere a numerelor complexe, dintre care cea mai comună este $z=a+ib$, unde $(a,b)$ este o pereche de numere reale, iar numărul $i=(0,1)$ se numește unitatea imaginară.
Este ușor de arătat că $i^2=-1$. Extinderea multimii $\mathbb(R)$ la multimea $\mathbb(C)$ ne permite sa determinam radacina patrata a numerelor negative, care a fost motivul introducerii multimii numerelor complexe. De asemenea, este ușor să arătăm că o submulțime a mulțimii $\mathbb(C)$, dată de $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, satisface toate axiomele pentru numerele reale, prin urmare $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, sau $R\subset\mathbb(C)$.
Structura algebrică a mulțimii $\mathbb(C)$ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire are următoarele proprietăți:
1. comutativitatea adunării și înmulțirii
2. asociativitatea adunării și înmulțirii
3. $0+i0$ - element neutru pentru adunare
4. $1+i0$ - element neutru pentru înmulțire
5. Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea
6. Există un singur invers atât pentru adunare, cât și pentru înmulțire.
Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc asa? Unde se folosesc si ce sunt? Puțini oameni pot răspunde la aceste întrebări fără să se gândească. Dar, de fapt, răspunsurile la ele sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare
Esența și denumirea
Numerele iraționale sunt numere infinite neperiodice.Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că pentru a rezolva probleme noi care apar, conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întreg, naturale și rațional nu mai erau suficiente. De exemplu, pentru a calcula ce cantitate este pătratul lui 2, trebuie să utilizați zecimale infinite neperiodice. În plus, multe ecuații simple nu au nicio soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.
Această mulțime este desemnată cu I. Și, după cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, al cărei numărător va fi un număr întreg, iar numitorul va fi
Pentru prima dată, într-un fel sau altul, matematicienii indieni au întâlnit acest fenomen în secolul al VII-lea când s-a descoperit că rădăcinile pătrate ale unor cantități nu pot fi indicate în mod explicit. Și prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippasus Pitagora, care a făcut acest lucru în timp ce studia un triunghi dreptunghic isoscel. Alți oameni de știință care au trăit înaintea erei noastre au adus o contribuție serioasă la studiul acestui set. Introducerea conceptului de numere iraționale a presupus o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care sunt atât de importante.
originea numelui
Dacă raportul tradus din latină este „fracție”, „raport”, atunci prefixul „ir”
dă acestui cuvânt sensul opus. Astfel, denumirea mulțimii acestor numere indică faptul că acestea nu pot fi corelate cu un întreg sau cu o fracție și au un loc separat. Acest lucru rezultă din esența lor.
Locul în clasamentul general
Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, aparțin grupului numerelor reale sau reale, care la rândul lor aparțin numerelor complexe. Nu există submulțimi, dar există varietăți algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.
Proprietăți
Deoarece numerele iraționale fac parte din mulțimea numerelor reale, li se aplică toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (se mai numesc și legi algebrice de bază).
a + b = b + a (comutativitate);
(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);
a + (-a) = 0 (existența numărului opus);
ab = ba (legea comutativă);
(ab)c = a(bc) (distributivitate);
a(b+c) = ab + ac (legea distribuției);
a x 1/a = 1 (existența unui număr reciproc);
Comparația se realizează, de asemenea, în conformitate cu legile și principiile generale:
Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitatea relației) și. etc.
Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind aritmetica de bază. Nu există reguli speciale pentru asta.
În plus, axioma lui Arhimede se aplică numerelor iraționale. Afirmă că pentru oricare două mărimi a și b, este adevărat că dacă luați a ca termen de suficient de multe ori, puteți depăși b.
Utilizare
În ciuda faptului că nu le întâlniți foarte des în viața de zi cu zi, numerele iraționale nu pot fi numărate. Există un număr mare de ele, dar sunt aproape invizibile. Numerele iraționale sunt peste tot în jurul nostru. Exemple care sunt familiare tuturor sunt numărul pi, egal cu 3,1415926..., sau e, care este în esență baza logaritmului natural, 2,718281828... În algebră, trigonometrie și geometrie, acestea trebuie utilizate constant. Apropo, faimoasa semnificație a „raportului de aur”, adică raportul dintre părțile mai mari și partea mai mică și invers, de asemenea
aparține acestui set. De asemenea, cel mai puțin cunoscut „argint”.
Pe linia numerică ele sunt situate foarte dens, astfel încât între oricare două mărimi clasificate drept raționale, cu siguranță va apărea una irațională.
Există încă o mulțime de probleme nerezolvate asociate cu acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să studieze cele mai semnificative exemple pentru a determina dacă aparțin unui grup sau altuia. De exemplu, se crede că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în notația sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt încă în desfășurare cu privire la acesta. Măsura iraționalității este o valoare care arată cât de bine poate fi aproximat un anumit număr prin numere raționale.
Algebric și transcendental
După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite în mod convențional în algebrice și transcendentale. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți mulțimea C.
Această desemnare ascunde numere complexe, care includ numere reale sau reale.
Deci, algebricul este o valoare care este rădăcina unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie deoarece este o soluție a ecuației x 2 - 2 = 0.
Toate celelalte numere reale care nu îndeplinesc această condiție se numesc transcendentale. Această varietate include cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.
Interesant este că nici una, nici alta nu au fost dezvoltate inițial de matematicieni în această calitate; iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, punând capăt unei dezbateri de 2.500 de ani despre problema pătrarii cercului. Încă nu a fost studiat pe deplin, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul destul de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aproximative.
Pentru e (numărul lui Euler sau Napier), dovada transcendenței sale a fost găsită în 1873. Este folosit în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.
Alte exemple includ valorile sinusului, cosinusului și tangentei pentru orice valoare algebrică diferită de zero.
1.Dovezile sunt exemple de raționament deductiv și sunt diferite de argumentele inductive sau empirice. O dovadă trebuie să demonstreze că afirmația care se dovedește este întotdeauna adevărată, uneori prin enumerarea tuturor cazurilor posibile și arătând că afirmația este valabilă în fiecare dintre ele. O dovadă se poate baza pe fenomene sau cazuri evidente sau general acceptate cunoscute sub numele de axiome. Spre deosebire de aceasta, iraționalitatea „rădăcinii pătrate a doi” este dovedită.
2. Intervenția topologiei aici se explică prin însăși natura lucrurilor, ceea ce înseamnă că nu există o modalitate pur algebrică de a demonstra iraționalitatea, în special bazată pe numere raționale.Iată un exemplu, alegerea este a ta: 1 + 1/ 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 sau 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Dacă acceptați 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, care este considerată abordarea „algebrică”, atunci nu este deloc dificil să arătați că există n/m ∈ ℚ, care pe o secvență infinită este un număr irațional și finit, ceea ce sugerează că numerele iraționale sunt închiderea câmpului ℚ, dar aceasta se referă la o singularitate topologică.
Deci, pentru numerele Fibonacci, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Aceasta arată doar că există un homomorfism continuu ℚ → I, și se poate demonstra riguros că existența unui astfel de izomorfism nu este o consecință logică a axiomelor algebrice.
Exemplu:
\(4\) este un număr rațional, deoarece poate fi scris ca \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) este de asemenea rațional, deoarece poate fi scris sub forma \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)...\) - și acesta este un număr rațional: poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) este rațional, deoarece poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(2)\) . Într-adevăr, putem efectua un lanț de transformări \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)
Număr irațional este un număr care nu poate fi scris ca fracție cu numărător și numitor întreg.
Este imposibil pentru că este fără sfârşit fracții și chiar neperiodice. Prin urmare, nu există numere întregi care, atunci când sunt împărțite între ele, ar da un număr irațional.
Exemplu:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) este un număr irațional;
\(π≈3,1415926… \) este un număr irațional;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) este un număr irațional.
Exemplu
(Misiunea de la OGE). Înțelesul căruia dintre expresii este un număr rațional?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).
Soluţie:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – rădăcina lui \(14\) nu poate fi luată, ceea ce înseamnă De asemenea, este imposibil să reprezinte un număr ca o fracție cu numere întregi, prin urmare numărul este irațional.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nu au mai rămas rădăcini, numărul poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție, de exemplu \(\frac(-5)(1)\), ceea ce înseamnă că este rațional.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – rădăcina nu poate fi extrasă - numărul este irațional.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) este de asemenea iraţional.
Fracțiune m/n o vom considera ireductibilă (la urma urmei, o fracție reductibilă poate fi întotdeauna redusă la o formă ireductibilă). Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem m^2=2n^2. De aici concluzionăm că m^2, iar după aceasta numărul m- chiar. acestea. m = 2k. De aceea m^2 = 4k^2 și deci 4 k^2 =2n^2 sau 2 k^2 = n^2. Dar apoi se dovedește că n este, de asemenea, un număr par, dar acest lucru nu poate fi, deoarece fracția m/n ireductibil. Apare o contradicție. Rămâne de concluzionat: presupunerea noastră este incorectă și numărul rațional m/n, egal cu √2, nu există.”
Asta e toată dovada lor.
O evaluare critică a dovezilor grecilor antici
Dar…. Să privim oarecum critic această dovadă a grecilor antici. Și dacă sunteți mai atent la matematica simplă, atunci puteți vedea următoarele în ea:
1) În numărul rațional adoptat de greci m/n numere mȘi n- întreg, dar necunoscut(fie ei chiar, fie ei ciudat). Asa si este! Și pentru a stabili cumva orice dependență între ele, este necesar să se determine cu exactitate scopul lor;
2) Când vechii au decis că numărul m– chiar, atunci în egalitatea pe care au acceptat-o m = 2k ei (intenționat sau din ignoranță!) nu au caracterizat chiar „corect” numărul „ k " Dar iată numărul k- Acest întreg(Întreg!) și destul celebru un număr care definește destul de clar ceea ce s-a găsit chiar număr m. Și nu fi așa găsite numere" k„anticii nu puteau în viitor” utilizare" și numărul m ;
3) Și când de la egalitate 2 k^2 = n^2 vechii au primit numărul n^2 este par și în același timp n– chiar, atunci ar trebui nu te grabi cu concluzia despre " contradicţia care a apărut„, dar este mai bine să vă asigurați de maxim precizie acceptat de ei" alegere» numere « n ».
Cum ar putea face asta? Da, simplu!
Uite: din egalitate au obținut 2 k^2 = n^2 s-ar putea obține cu ușurință următoarea egalitate k√2 = n. Și nu este nimic condamnabil aici - la urma urmei, au obținut din egalitate m/n=√2 este o altă egalitate adecvată m^2=2n^2 ! Și nimeni nu i-a contrazis!
Dar în noua egalitate k√2 = n pentru INTEGRI evidente kȘi n este clar că din ea Mereu obțineți numărul √2 - raţional . Mereu! Pentru că conține numere kȘi n- celebre INTEGRAȚII!
Dar pentru ca din egalitatea lor 2 k^2 = n^2 și, pe cale de consecință, din k√2 = n obțineți numărul √2 – iraţional (ca asta " a dorit„vechii greci!), atunci este necesar să avem în ei, cel mai puţin , număr " k" la fel de nu intregi (!!!) numere. Și tocmai asta NU aveau grecii antici!
De aici CONCLUZIA: dovada de mai sus a iraționalității numărului √2, făcută de grecii antici acum 2400 de ani, este sincer incorect și incorect din punct de vedere matematic, ca să nu spun grosolan - este pur și simplu fals .
În mica broșură F-6 prezentată mai sus (vezi fotografia de mai sus), lansată la Krasnodar (Rusia) în 2015, cu un tiraj total de 15.000 de exemplare. (evident cu investiție de sponsorizare) se dă o nouă dovadă, extrem de corectă din punct de vedere al matematicii și extrem de corectă ] a iraționalității numărului √2, ceea ce s-ar fi putut întâmpla cu mult timp în urmă dacă nu ar fi fost greu" profesor n" la studiul antichităţilor istoriei.