3.5. Legile conservării și schimbării energiei
3.5.1. Legea Schimbării energie mecanică totală
O modificare a energiei mecanice totale a unui sistem de corpuri are loc atunci când munca este efectuată de forțe care acționează atât între corpurile sistemului, cât și din corpurile externe.
Modificarea energiei mecanice ∆E a unui sistem de corpuri este determinată de prin legea modificării energiei mecanice totale:
∆E \u003d E 2 - E 1 \u003d A ext + A tr (rezist),
unde E 1 este energia mecanică totală a stării inițiale a sistemului; E 2 - energia mecanică totală a stării finale a sistemului; A extern - munca efectuată asupra corpurilor sistemului de către forțele externe; A tr (rezist) - munca efectuată de forțele de frecare (rezistență) care acționează în interiorul sistemului.
Exemplul 30. La o anumită înălțime, un corp în repaus are o energie potențială egală cu 56 J. În momentul în care cade pe Pământ, corpul are o energie cinetică egală cu 44 J. Determinați lucrul forțelor de rezistență ale aerului.
Soluţie. Figura prezintă două poziții ale corpului: la o anumită înălțime (prima) și în momentul căderii pe Pământ (a doua). Nivelul zero al energiei potențiale este ales pe suprafața Pământului.
Energia mecanică totală a unui corp în raport cu suprafața Pământului este determinată de suma energiei potențiale și cinetice:
- la o oarecare înălțime
E 1 \u003d W p 1 + W k 1;
- până când lovește pământul
E 2 \u003d W p 2 + W k 2,
unde W p 1 = 56 J este energia potențială a corpului la o anumită înălțime; W k 1 = 0 - energia cinetică a unui corp care se odihnește la o anumită înălțime; W p 2 = 0 J - energia potențială a corpului în momentul căderii pe Pământ; W k 2 \u003d 44 J - energia cinetică a corpului în momentul în care acesta cade pe Pământ.
Găsim munca forțelor de rezistență a aerului din legea schimbării energiei mecanice totale a corpului:
unde E 1 = W p 1 este energia mecanică totală a corpului la o anumită înălțime; E 2 \u003d W k 2 - energia mecanică totală a corpului în momentul în care acesta cade pe Pământ; A ext \u003d 0 - munca forțelor externe (forțele externe sunt absente); O rezistență - munca forțelor de rezistență a aerului.
Lucrul dorit al forțelor de rezistență a aerului este astfel determinat de expresie
A rezist = W k 2 − W p 1 .
Hai sa facem calculul:
O rezistență \u003d 44 - 56 \u003d -12 J.
Munca forțelor de rezistență a aerului este o valoare negativă.
Exemplul 31. Două arcuri cu factori de rigiditate de 1,0 kN/m și 2,0 kN/m sunt conectate în paralel. Ce lucru trebuie făcut pentru a întinde sistemul cu arc cu 20 cm?
Soluţie. Figura prezintă două arcuri cu viteze diferite de arc conectate în paralel.
Forța externă F → , întinderea arcurilor, depinde de mărimea deformației arcului compozit, prin urmare, calculul muncii forței specificate folosind formula de calcul a muncii unei forțe constante este ilegal.
Pentru a calcula lucrul, folosim legea modificării energiei mecanice totale a sistemului:
E 2 − E 1 = A ext + A rezist,
unde E 1 este energia mecanică totală a arcului compozit în stare neformată; E 2 - energia mecanică totală a arcului deformat; A extern - lucrare a forței externe (valoarea dorită); A rezist = 0 - lucrul forțelor de rezistență.
Energia mecanică totală a unui arc compozit este energia potențială a deformarii acestuia:
- pentru primavara neformata
E 1 \u003d W p 1 \u003d 0,
- pentru primavara prelungita
E 2 \u003d W p 2 \u003d k total (Δ l) 2 2,
unde k total - rigiditatea totală a arcului compozit; ∆l - mărimea întinderii arcului.
Rigiditatea totală a două arcuri conectate în paralel este suma
k total \u003d k 1 + k 2,
unde k 1 - coeficientul de rigiditate al primului arc; k 2 - coeficientul de rigiditate al celui de-al doilea arc.
Găsim munca forței externe din legea schimbării în energia mecanică totală a corpului:
A ext \u003d E 2 - E 1,
înlocuind în această expresie formulele care determină E 1 și E 2, precum și expresia pentru coeficientul de rigiditate totală al arcului compozit:
A ext \u003d k total (Δ l) 2 2 − 0 \u003d (k 1 + k 2) (Δ l) 2 2.
Hai sa facem calculul:
O extensie \u003d (1,0 + 2,0) ⋅ 10 3 ⋅ (20 ⋅ 10 − 2) 2 2 \u003d 60 J.
Exemplul 32. Un glonț cu o masă de 10,0 g care zboară cu o viteză de 800 m/s lovește un perete. Modulul forței de rezistență la mișcarea unui glonț în perete este constant și se ridică la 8,00 kN. Stabiliți cât de departe va pătrunde glonțul în perete.
Soluţie. Figura prezintă două poziții ale glonțului: când se apropie de perete (prima) și în momentul în care glonțul se oprește (se blochează) în perete (al doilea).
Energia mecanică totală a unui glonț este energia cinetică a mișcării sale:
- când un glonț lovește un perete
E 1 \u003d W k 1 \u003d m v 1 2 2;
- până când glonțul se oprește (se blochează) în perete
E 2 \u003d W k 2 \u003d m v 2 2 2,
unde W k 1 - energia cinetică a glonțului la apropierea de perete; W k 2 - energia cinetică a glonțului în momentul în care acesta se oprește (se blochează) în perete; m este masa glonțului; v 1 - modul de viteză a glonțului la apropierea de perete; v 2 \u003d 0 - valoarea vitezei glonțului în momentul opririi (blocarea) în perete.
Distanța la care glonțul va intra adânc în perete, găsim din legea schimbării energiei mecanice totale a glonțului:
E 2 − E 1 = A ext + A rezist,
unde E 1 \u003d m v 1 2 2 - energia mecanică totală a glonțului la apropierea de perete; E 2 \u003d 0 - energia mecanică totală a glonțului în momentul în care se oprește (se blochează) în perete; A ext \u003d 0 - munca forțelor externe (forțele externe sunt absente); O rezistență - opera forțelor de rezistență.
Munca forțelor de rezistență este determinată de produsul:
A rezist = F rezist l cos α ,
unde F resist - modulul forței de rezistență la mișcarea glonțului; l - distanța la care glonțul va intra adânc în perete; α = 180° - unghiul dintre direcțiile forței de tracțiune și direcția glonțului.
Astfel, legea modificării energiei mecanice totale a unui glonț într-o formă explicită este următoarea:
− m v 1 2 2 = F rezist l cos 180 ° .
Distanța dorită este determinată de raport
l = − m v 1 2 2 F rezist cos 180 ° = m v 1 2 2 F reziste
l = 10,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 800 2 2 ⋅ 8,00 ⋅ 10 3 = 0,40 m = 400 mm.
Fiecare biciclist, motociclist, șofer, mașinist, pilot sau căpitan de navă știe că mașina lui are o viteză maximă; care nu poate fi depăşită prin nici un efort. Puteți apăsa pedala de accelerație cât de mult doriți, dar este imposibil să „strângeți” un kilometru în plus pe oră din mașină. Toată viteza dezvoltată merge să depășească forte de rezistenta.
Depășirea diferitelor frecări
De exemplu, o mașină are un motor de cincizeci de cai putere. Când șoferul presează gazul până la eșec, arborele cotit al motorului începe să facă trei mii șase sute de rotații pe minut. Pistoanele se repezi în sus și în jos ca un nebun, supapele sar, treptele se rotesc, iar mașina se mișcă, deși foarte repede, dar complet uniform, iar toată forța de tracțiune a motorului merge pentru a depăși forțele de rezistență la mișcare, în special depășirea diferitelor frecări. Iată, de exemplu, cum este distribuită forța de tracțiune a motorului între „oponenții” săi - diferite tipuri la o viteză a mașinii de o sută de kilometri pe oră:- aproximativ șaisprezece procente din forța de împingere a motorului este consumată pentru a depăși frecarea în rulmenți și între angrenaje,
- pentru a depăși frecarea de rulare a roților pe drum - aproximativ douăzeci și patru la sută,
- Șaizeci la sută din forța de tracțiune a vehiculului este folosită pentru a depăși rezistența aerului.
Vantul
Când luăm în considerare forțele de rezistență la mișcare, cum ar fi:- frecarea de alunecare scade ușor odată cu creșterea vitezei,
- frecarea de rulare se schimbă foarte puțin,
- vânt, complet imperceptibil la deplasarea încet, devine o forță de frânare formidabilă atunci când viteza crește.
Artilerişti interesaţi de rezistenţa aerului
rezistenta aeruluiîn primul rând tunarii s-au interesat. Au încercat să-și dea seama de ce obuzele de tun nu au călătorit atât de departe pe cât și-ar dori. Calculele au arătat că, dacă nu ar exista aer pe Pământ, un proiectil al unui tun de șaptezeci și șase de milimetri. ar fi zburat cel puțin douăzeci și trei de kilometri și jumătate, dar în realitate cade doar la șapte kilometri de pistol. pierdut din cauza rezistenței aerului raza de actiune de saisprezece kilometri si jumatate. Este păcat, dar nu poți face nimic în privința asta! Artilerierii au îmbunătățit tunurile și obuzele, ghidați în principal de presupuneri și ingeniozitate. Ce se întâmplă cu proiectilul din aer a fost la început necunoscut. Aș vrea să mă uit la un proiectil zburător și să văd cum taie aerul, dar proiectilul zboară foarte repede, ochiul nu-și poate prinde mișcarea, iar aerul este și mai invizibil. Dorința părea irealizabilă, dar fotografia a venit în ajutor. La lumina unei scântei electrice, a fost fotografiat un glonț zburător. O scânteie a fulgerat și pentru o clipă a luminat glonțul care zbura în fața obiectivului camerei. Strălucirea sa a fost suficientă pentru a surprinde un instantaneu nu numai a glonțului, ci și a aerului prin care a tăiat. Fotografia arăta dungi întunecate radiind de la glonț în lateral. Datorită fotografiilor, a devenit clar ce se întâmplă când proiectilul zboară în aer. Cu o mișcare lentă a unui obiect, particulele de aer se despart calm în fața lui și aproape că nu interferează cu el, dar cu una rapidă, imaginea se schimbă, particulele de aer nu mai au timp să se împrăștie în lateral. Proiectilul zboară și, ca pistonul unei pompe, conduce aerul în fața lui și îl condensează. Cu cât viteza este mai mare, cu atât compresia și compactarea sunt mai puternice. Pentru ca proiectilul să se miște mai repede, pentru a străpunge mai bine aerul compactat, capul acestuia este ascuțit.bandă de aer învolburată
În fotografia unui glonț zburător, era clar că în spatele ei se ivea ceva. bandă de vârtej. O parte din energia unui glonț sau proiectil este, de asemenea, cheltuită pentru formarea de vârtejuri. Prin urmare, pentru obuze și gloanțe, au început să facă partea inferioară teșită, ceea ce a redus forța de rezistență la mișcare în aer. Datorită fundului înclinat, raza de acțiune a proiectilului de tun de șaptezeci și șase de milimetri a atins unsprezece până la doisprezece kilometri.Frecarea particulelor de aer
Când zboară în aer, frecarea particulelor de aer împotriva pereților unui obiect care zboară afectează și viteza de mișcare. Această frecare este mică, dar încă există și încălzește suprafața. Prin urmare, este necesar să vopsiți avioanele cu vopsea lucioasă și să le acoperiți cu un lac special pentru aviație. Astfel, forțele de rezistență la mișcare în aer față de toate obiectele în mișcare apar din cauza a trei fenomene diferite:- garnituri de aer în față,
- formațiune de vârtej în spate,
- ușoară frecare a aerului pe suprafața laterală a obiectului.
Rezistenta la apa
Obiectele care se deplasează în apă - pești, submarine, mine autopropulsate - torpile etc. - întâlnesc un mare Rezistenta la apa. Odată cu creșterea vitezei, forțele de rezistență ale apei cresc și mai repede decât în aer. Prin urmare, sensul formă raționalizată crește. Uită-te doar la forma corpului știucii. Ea trebuie să urmărească peștii mici, așa că este important pentru ea ca apa să aibă o rezistență minimă la mișcarea ei.
Forma unui pește este dată torpilelor autopropulsate, care trebuie să lovească rapid navele inamice, fără a le oferi posibilitatea de a se sustrage de lovitură. Când o barcă cu motor se repezi pe suprafața apei sau torpiloarele atacă, puteți vedea cum prova ascuțită a unei nave sau a unei bărci taie valurile, transformându-le în spumă albă ca zăpada, iar un surf fierbe în spatele pupei și o fâșie de apă spumoasă. ramane. Rezistența la apă seamănă cu rezistența aerului - valurile se desfășoară în dreapta și în stânga navei, iar în spate se formează turbulențe - spargeri de spumă; afectează şi frecarea dintre apă şi partea scufundată a navei. Singura diferență între mișcarea în aer și mișcarea în apă este că apa este un lichid incompresibil și nu există nicio „pernă” compactată în fața navei care trebuie să fie lovită. Dar densitatea apei este de aproape o mie de ori mai mare decât a aerului. Vâscozitatea apei este de asemenea semnificativă. Apa nu este atât de dispusă și ușor de despărțit în fața navei, așa că rezistența la mișcare pe care o oferă obiectelor este foarte mare. Încercați, de exemplu, să vă scufundați sub apă, să bateți din palme acolo. Nu va funcționa - apa nu va permite. Viteza navelor maritime este semnificativ inferioară vitezei navelor aeriene. Cele mai rapide dintre navele maritime - torpiloarele dezvoltă o viteză de cincizeci de noduri, iar planoarele alunecă pe suprafața apei - până la o sută douăzeci de noduri. (Nodul este o măsură a vitezei mării; un nod este egal cu 1852 de metri pe oră.) Soluţie.
Pentru a rezolva problema, să luăm în considerare sistemul fizic „corp - câmpul gravitațional al Pământului”. Corpul va fi considerat un punct material, iar câmpul gravitațional al Pământului - omogen. Sistemul fizic selectat nu este închis, deoarece în timpul mișcării corpului interacționează cu aerul.
Dacă nu luăm în considerare forța de flotabilitate care acționează asupra corpului din aer, atunci modificarea energiei mecanice totale a sistemului este egală cu munca forței de rezistență a aerului, adică.∆ E = A c .
Alegem nivelul zero al energiei potențiale de pe suprafața Pământului. Singura forță externă în raport cu sistemul „corp – Pământ” este forța de rezistență a aerului, îndreptată vertical în sus. Energia inițială a sistemului E 1 , final E 2 .
Lucrarea forței de tracțiune A.
pentru că unghiul dintre forța de rezistență și deplasare este de 180°, atunci cosinusul este -1, prin urmare A = - F c h . Echivalează cu A.
Sistemul fizic neînchis considerat poate fi descris și de teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem de obiecte care interacționează între ele, conform căreia modificarea energiei cinetice a sistemului este egală cu munca efectuată de forţe externe şi interne în timpul trecerii sale de la starea iniţială la cea finală. Dacă nu luăm în considerare forța de plutire care acționează asupra corpului din aer și forța internă - gravitația. Prin urmare∆ E k \u003d A 1 + A 2, unde A 1 \u003d mgh - lucrarea gravitației, A 2 = F c hcos 180° = - F c h este opera forței de rezistență;∆ E \u003d E 2 - E 1.
Aceasta este o sarcină creativă pentru o clasă de master în informatică pentru școlari de la FEFU.
Scopul sarcinii este de a afla cum se va schimba traiectoria corpului dacă se ia în considerare rezistența aerului. De asemenea, este necesar să se răspundă la întrebarea dacă intervalul de zbor va atinge în continuare valoarea sa maximă la un unghi de aruncare de 45 °, dacă se ia în considerare rezistența aerului.
În secțiunea „Cercetare analitică” este enunțată teoria. Această secțiune poate fi omisă, dar ar trebui să fie în mare parte auto-explicativă, deoarece O Cele mai multe dintre acestea le-ai învățat la școală.
Secțiunea „Studiu numeric” conține o descriere a algoritmului care trebuie implementat pe un computer. Algoritmul este simplu și concis, așa că toată lumea ar trebui să poată face față.
Studiu analitic
Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular așa cum se arată în figură. La momentul inițial de timp, un corp cu masă m este la originea coordonatelor. Vectorul accelerație gravitațională este îndreptat vertical în jos și are coordonatele (0, - g).- vectorul viteză inițială. Să extindem acest vector în termeni de bază:
. Aici , unde este modulul vectorului viteză, este unghiul de aruncare. Să scriem a doua lege a lui Newton: .
Accelerația în fiecare moment de timp este rata (instantanee) de modificare a vitezei, adică derivata vitezei în raport cu timpul: .
Prin urmare, legea a 2-a a lui Newton poate fi rescrisă după cum urmează:
, unde este rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra corpului.
Deoarece forța gravitației și forța de rezistență a aerului acționează asupra corpului, atunci 
.
Vom lua în considerare trei cazuri:
1) Forța de rezistență a aerului este 0: .
2) Forța rezistenței aerului este direcționată invers cu vectorul viteză, iar valoarea sa este proporțională cu viteza: 
.
3) Forța rezistenței aerului este direcționată invers cu vectorul viteză, iar valoarea sa este proporțională cu pătratul vitezei: 
.
Să luăm în considerare mai întâi primul caz.
În acest caz 
, sau . 
Din aceasta rezultă că 
(mișcare uniform accelerată).
Pentru că ( r este vectorul rază), atunci 
.
De aici 
.
Această formulă nu este altceva decât formula familiară a legii mișcării unui corp în mișcare uniform accelerată.
De atunci 
.
Având în vedere că și 
, obținem egalități scalare din ultima egalitate vectorială:
Să analizăm formulele obținute.
Sa gasim timp de zbor corp. Echivalarea y la zero, ajungem
Din această formulă rezultă că intervalul maxim de zbor este atins la .
Acum să găsim ecuația tracțiunii corpului. Pentru aceasta ne exprimam t peste X
Și înlocuiți expresia rezultată cu tîn egalitate pentru y.
Funcția rezultată y(X) este o funcție pătratică, graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos.
Despre mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizont (fără a ține cont de rezistența aerului), este descrisă în acest videoclip.
Acum luați în considerare al doilea caz: .
A doua lege ia forma 
,
de aici 
.
Scriem această egalitate în formă scalară:
Avem două ecuații diferențiale liniare.
Prima ecuație are o soluție
Ce se poate vedea prin substituirea acestei funcții în ecuație pentru v xși în starea inițială 
.
Aici e = 2,718281828459... este numărul Euler.
A doua ecuație are o soluție
pentru că 
,
, atunci în prezența rezistenței aerului, mișcarea corpului tinde să fie uniformă, spre deosebire de cazul 1, când viteza crește nelimitat.
În următorul videoclip, se spune că parașutătorul se mișcă mai întâi într-un ritm accelerat și apoi începe să se miște uniform (chiar înainte ca parașuta să se deschidă).
Să găsim expresii pentru Xși y.
pentru că X(0) = 0, y(0) = 0, atunci
Rămâne să luăm în considerare cazul 3, când
.A doua lege a lui Newton este
, sau 
.În formă scalară, această ecuație are forma:
Acest sistem de ecuații diferențiale neliniare. Acest sistem nu poate fi rezolvat în mod explicit, deci este necesară aplicarea simulării numerice.
Studiu numeric
În secțiunea anterioară, am văzut că în primele două cazuri legea mișcării corpului poate fi obținută în mod explicit. Cu toate acestea, în al treilea caz este necesar să se rezolve problema numeric. Cu ajutorul metodelor numerice, vom obține doar o soluție aproximativă, dar suntem destul de mulțumiți de o mică precizie. (Numărul π sau rădăcina pătrată a lui 2, apropo, nu poate fi scris în mod absolut exact, așa că în calcule sunt luate un număr finit de cifre, iar acest lucru este suficient.)Vom lua în considerare al doilea caz, când forța de rezistență a aerului este determinată de formulă . Rețineți că atunci când k= 0 obținem primul caz.
viteza corpului 
respectă următoarele ecuații:
Părțile din stânga acestor ecuații conțin componentele accelerației 
.
Amintiți-vă că accelerația este rata (instantanee) de modificare a vitezei, adică derivata vitezei în raport cu timpul.
Părțile din dreapta ale ecuațiilor conțin componentele vitezei. Astfel, aceste ecuații arată modul în care rata de schimbare a vitezei este legată de viteză.
Să încercăm să găsim soluții la aceste ecuații folosind metode numerice. Pentru a face acest lucru, introducem pe axa timpului grilă: să alegem un număr și să luăm în considerare momente de timp din forma : .
Sarcina noastră este să aproximăm valorile 
la nodurile grilei.
Să înlocuim accelerația din ecuațiile ( viteza instantanee schimbarea vitezei) viteza medie modificări ale vitezei, având în vedere mișcarea corpului într-o perioadă de timp:
Acum să substituim aproximațiile obținute în ecuațiile noastre.
Formulele rezultate ne permit să calculăm valorile funcțiilor la următorul nod de grilă, dacă se cunosc valorile acestor funcții la nodul de grilă anterior.
Folosind metoda descrisă, putem obține un tabel cu valorile aproximative ale componentelor vitezei.
Cum să găsiți legea mișcării unui corp, de ex. tabelul de coordonate aproximative X(t), y(t)? De asemenea!
Noi avem
Valoarea lui vx[j] este egală cu valoarea funcției, similară pentru alte tablouri.
Acum rămâne să scriem o buclă, în interiorul căreia vom calcula vx prin valoarea deja calculată vx[j], și la fel cu restul tablourilor. Ciclul va fi j de la 1 la N.
Nu uitați să inițializați valorile inițiale vx, vy, x, y conform formulelor , X 0 = 0, y 0 = 0.
În Pascal și C, există funcții sin(x), cos(x) pentru a calcula sinus și cosinus. Rețineți că aceste funcții iau un argument în radiani.
Trebuie să reprezentați mișcarea corpului când k= 0 și k> 0 și comparați graficele rezultate. Graficele pot fi construite în Excel.
Rețineți că formulele de calcul sunt atât de simple încât puteți utiliza doar Excel pentru calcule și nici măcar nu folosiți un limbaj de programare.
Cu toate acestea, în viitor, va trebui să rezolvați o problemă în CATS, în care trebuie să calculați timpul și intervalul de zbor al corpului, unde nu puteți face fără un limbaj de programare.
Vă rugăm să rețineți că puteți Test programul dvs. și verificați graficele comparând rezultatele calculelor cu k= 0 cu formulele exacte date în secțiunea „Studiu analitic”.
Experimentați cu programul dvs. Asigurați-vă că, în absența rezistenței aerului ( k= 0) raza maximă de zbor la o viteză inițială fixă se realizează la un unghi de 45°.
Dar rezistența aerului? În ce unghi se atinge intervalul maxim?
Figura prezintă traiectoriile corpului la v 0 = 10 m/s, α = 45°, g\u003d 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 și 1 obținut prin simulare numerică pentru Δ t = 0,01.
Vă puteți familiariza cu munca minunată a elevilor de clasa a 10-a din Troitsk, prezentată la conferința „Start in Science” din 2011. Lucrarea este dedicată modelării mișcării unei mingi de tenis aruncate într-un unghi față de orizont (ținând cont rezistenta aerului). Sunt utilizate atât modelarea numerică, cât și experimentul la scară completă.
Astfel, această sarcină creativă vă permite să vă familiarizați cu metodele de modelare matematică și numerică, care sunt utilizate activ în practică, dar puțin studiate la școală. De exemplu, aceste metode au fost folosite în implementarea proiectelor atomice și spațiale în URSS la mijlocul secolului al XX-lea.
Soluţie.
Pentru a rezolva problema, să luăm în considerare sistemul fizic „corp - câmpul gravitațional al Pământului”. Corpul va fi considerat un punct material, iar câmpul gravitațional al Pământului - omogen. Sistemul fizic selectat nu este închis, deoarece în timpul mișcării corpului interacționează cu aerul.
Dacă nu luăm în considerare forța de flotabilitate care acționează asupra corpului din aer, atunci modificarea energiei mecanice totale a sistemului este egală cu munca forței de rezistență a aerului, adică.∆ E = A c .
Alegem nivelul zero al energiei potențiale de pe suprafața Pământului. Singura forță externă în raport cu sistemul „corp – Pământ” este forța de rezistență a aerului, îndreptată vertical în sus. Energia inițială a sistemului E 1 , final E 2 .
Lucrarea forței de tracțiune A.
pentru că unghiul dintre forța de rezistență și deplasare este de 180°, atunci cosinusul este -1, prin urmare A = - F c h . Echivalează cu A.
Sistemul fizic neînchis considerat poate fi descris și de teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem de obiecte care interacționează între ele, conform căreia modificarea energiei cinetice a sistemului este egală cu munca efectuată de forţe externe şi interne în timpul trecerii sale de la starea iniţială la cea finală. Dacă nu luăm în considerare forța de plutire care acționează asupra corpului din aer și forța internă - gravitația. Prin urmare∆ E k \u003d A 1 + A 2, unde A 1 \u003d mgh - lucrarea gravitației, A 2 = F c hcos 180° = - F c h este opera forței de rezistență;∆ E \u003d E 2 - E 1.