Përpara se të japim konceptin e prodhimit vektorial, le t'i drejtohemi çështjes së orientimit të treshes së renditur të vektorëve a → , b → , c → në hapësirën tredimensionale.

Për të filluar, le të lëmë mënjanë vektorët a → , b → , c → nga një pikë. Orientimi i trefishit a → , b → , c → është djathtas ose majtas, në varësi të drejtimit të vektorit c → . Nga drejtimi në të cilin bëhet rrotullimi më i shkurtër nga vektori a → në b → nga fundi i vektorit c → , do të përcaktohet forma e trefishit a → , b → , c →.

Nëse rrotullimi më i shkurtër është në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë trefishi i vektorëve a → , b → , c → quhet drejtë nëse në drejtim të akrepave të orës - majtas.

Më pas, merrni dy vektorë jokolinearë a → dhe b → . Le t'i shtyjmë më pas vektorët A B → = a → dhe A C → = b → nga pika A. Le të ndërtojmë një vektor A D → = c → , i cili është njëkohësisht pingul me A B → dhe A C → . Kështu, kur ndërtojmë vektorin A D → = c →, mund të bëjmë dy gjëra, duke i dhënë atij një drejtim ose të kundërt (shih ilustrimin).

Treshja e renditur e vektorëve a → , b → , c → mund të jetë, siç zbuluam, djathtas ose majtas në varësi të drejtimit të vektorit.

Nga sa më sipër, ne mund të prezantojmë përkufizimin e një produkti vektorial. Ky përkufizim është dhënë për dy vektorë të përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor të hapësirës tredimensionale.

Përkufizimi 1

Prodhimi vektorial i dy vektorëve a → dhe b → ne do ta quajmë një vektor të tillë të dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor të hapësirës tredimensionale të tillë që:

• nëse vektorët a → dhe b → janë kolinear, ai do të jetë zero;
• do të jetë pingul me vektorin a →​​ dhe vektorin b → d.m.th. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• gjatësia e saj përcaktohet me formulën: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• treshja e vektorëve a → , b → , c → ka të njëjtin orientim me sistemin e dhënë të koordinatave.

Prodhimi kryq i vektorëve a → dhe b → ka këtë shënim: a → × b → .

Koordinatat e produkteve të kryqëzuara

Meqenëse çdo vektor ka koordinata të caktuara në sistemin e koordinatave, është e mundur të futet një përkufizim i dytë i produktit të vektorit, i cili do t'ju lejojë të gjeni koordinatat e tij nga koordinatat e dhëna të vektorëve.

Përkufizimi 2

Në një sistem koordinativ drejtkëndor të hapësirës tredimensionale prodhim vektorial i dy vektorëve a → = (a x ; a y ; a z) dhe b → = (b x ; b y ; b z) quajmë vektorin c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ku i → , j → , k → janë vektorë koordinativ.

Produkti vektorial mund të paraqitet si përcaktues i një matrice katrore të rendit të tretë, ku rreshti i parë është vektorët orta i → , j → , k → , rreshti i dytë përmban koordinatat e vektorit a → dhe i treti është koordinatat e vektorit b → në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor, kjo përcaktore matrice duket kështu: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Duke e zgjeruar këtë përcaktor mbi elementët e rreshtit të parë, marrim barazinë: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b =y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Karakteristikat e produkteve të kryqëzuara

Dihet se prodhimi vektorial në koordinata paraqitet si përcaktor i matricës c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , pastaj në bazë vetitë përcaktuese të matricës në vijim Karakteristikat e produktit vektor:

1. antikomutativiteti a → × b → = - b → × a → ;
2. shpërndarja a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ose a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativiteti λ a → × b → = λ a → × b → ose a → × (λ b →) = λ a → × b → , ku λ është një numër real arbitrar.

Këto prona nuk kanë prova të komplikuara.

Për shembull, ne mund të vërtetojmë vetinë e antikomutativitetit të një produkti vektori.

Dëshmi e antikomutativitetit

Sipas përkufizimit, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dhe b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dhe nëse dy rreshta të matricës ndërrohen, atëherë vlera e përcaktorit të matricës duhet të ndryshojë në të kundërtën, prandaj, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , i cili dhe vërteton antikomutativitetin e produktit vektor.

Produkt vektor - Shembuj dhe zgjidhje

Në shumicën e rasteve, ekzistojnë tre lloje të detyrave.

Në problemat e tipit të parë, zakonisht jepen gjatësitë e dy vektorëve dhe këndi ndërmjet tyre, por ju duhet të gjeni gjatësinë e prodhimit kryq. Në këtë rast, përdorni formulën e mëposhtme c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Shembulli 1

Gjeni gjatësinë e prodhimit kryq të vektorëve a → dhe b → nëse dihet a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e gjatësisë së prodhimit vektorial të vektorëve a → dhe b →, zgjidhim këtë problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Përgjigje: 15 2 2 .

Detyrat e tipit të dytë kanë lidhje me koordinatat e vektorëve, ato përmbajnë një produkt vektorial, gjatësinë e tij etj. kërkohen përmes koordinatave të njohura të vektorëve të dhënë a → = (a x; a y; a z) Dhe b → = (b x; b y; b z) .

Për këtë lloj detyre, ju mund të zgjidhni shumë opsione për detyra. Për shembull, jo koordinatat e vektorëve a → dhe b → , por zgjerimet e tyre në vektorët koordinativ të formës b → = b x i → + b y j → + b z k → dhe c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ose vektorët a → dhe b → mund të jepen nga koordinatat e tyre pikat e fillimit dhe të fundit.

Merrni parasysh shembujt e mëposhtëm.

Shembulli 2

Dy vektorë vendosen në një sistem koordinativ drejtkëndor a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Gjeni produktin e tyre vektor.

Zgjidhje

Sipas përkufizimit të dytë, ne gjejmë prodhimin vektorial të dy vektorëve në koordinatat e dhëna: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Nëse produktin vektorial e shkruajmë përmes përcaktorit të matricës, atëherë zgjidhja e këtij shembulli është si vijon: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Përgjigje: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Shembulli 3

Gjeni gjatësinë e prodhimit kryq të vektorëve i → - j → dhe i → + j → + k → , ku i → , j → , k → - të një sistemi koordinativ drejtkëndor kartezian.

Zgjidhje

Së pari, le të gjejmë koordinatat e prodhimit të dhënë vektoriale i → - j → × i → + j → + k → në sistemin e dhënë të koordinatave drejtkëndore.

Dihet se vektorët i → - j → dhe i → + j → + k → kanë përkatësisht koordinata (1 ; - 1 ; 0) dhe (1 ; 1 ; 1). Gjeni gjatësinë e prodhimit të vektorit duke përdorur përcaktorin e matricës, atëherë kemi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prandaj prodhimi vektorial i → - j → × i → + j → + k → ka koordinata (- 1 ; - 1 ; 2) në sistemin e dhënë të koordinatave.

Gjatësinë e prodhimit të vektorit e gjejmë me formulën (shiko seksionin për gjetjen e gjatësisë së vektorit): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Përgjigje: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Shembulli 4

Koordinatat e tre pikave A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) janë dhënë në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor. Gjeni disa vektorë pingul me A B → dhe A C → në të njëjtën kohë.

Zgjidhje

Vektorët A B → dhe A C → kanë koordinatat e mëposhtme (- 1 ; 2 ; 2) dhe (0 ; 4 ; 1) përkatësisht. Pasi kemi gjetur produktin vektorial të vektorëve A B → dhe A C → , është e qartë se ai është një vektor pingul sipas përkufizimit si për A B → ashtu edhe për A C →, domethënë është zgjidhja e problemit tonë. Gjeni atë A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Përgjigje: - 6 i → + j → - 4 k → . është një nga vektorët pingul.

Problemet e tipit të tretë fokusohen në përdorimin e vetive të prodhimit vektorial të vektorëve. Pas aplikimit të të cilit, ne do të marrim një zgjidhje për problemin e dhënë.

Shembulli 5

Vektorët a → dhe b → janë pingul dhe gjatësitë e tyre janë përkatësisht 3 dhe 4. Gjeni gjatësinë e prodhimit kryq 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Zgjidhje

Nga vetia e shpërndarjes së produktit vektor, mund të shkruajmë 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Nga vetia e asociativitetit, ne nxjerrim koeficientët numerikë përtej shenjës së produkteve vektoriale në shprehjen e fundit: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Prodhimet vektoriale a → × a → dhe b → × b → janë të barabarta me 0, pasi a → × a → = a → a → sin 0 = 0 dhe b → × b → = b → b → sin 0 = 0, atëherë 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Nga antikomutativiteti i prodhimit të vektorit rrjedh - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Duke përdorur vetitë e prodhimit vektorial, marrim barazinë 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Sipas kushtit, vektorët a → dhe b → janë pingul, domethënë këndi ndërmjet tyre është i barabartë me π 2 . Tani mbetet vetëm për të zëvendësuar vlerat e gjetura në formulat përkatëse: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Përgjigje: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Gjatësia e prodhimit kryq të vektorëve sipas përkufizimit është a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Meqenëse dihet tashmë (nga kursi i shkollës) se sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të gjatësisë së dy brinjëve të tij të shumëzuar me sinusin e këndit midis këtyre brinjëve. Prandaj, gjatësia e produktit vektorial është e barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami - një trekëndësh i dyfishuar, domethënë, produkti i anëve në formën e vektorëve a → dhe b →, të hequr nga një pikë, nga sinusi të këndit ndërmjet tyre sin ∠ a → , b → .

Ky është kuptimi gjeometrik i produktit vektor.

Kuptimi fizik i produktit vektor

Në mekanikë, një nga degët e fizikës, falë produktit vektor, mund të përcaktoni momentin e forcës në lidhje me një pikë në hapësirë.

Përkufizimi 3

Nën momentin e forcës F → , të aplikuar në pikën B , në lidhje me pikën A do të kuptojmë prodhimin vektorial të mëposhtëm A B → × F → .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Këndi ndërmjet vektorëve

Në mënyrë që ne të prezantojmë konceptin e një prodhimi të kryqëzuar të dy vektorëve, së pari duhet të merremi me një koncept të tillë si këndi midis këtyre vektorëve.

Le të na jepen dy vektorë $\overline(α)$ dhe $\overline(β)$. Le të marrim një pikë $O$ në hapësirë ​​dhe të lëmë mënjanë vektorët $\overline(α)=\overline(OA)$ dhe $\overline(β)=\overline(OB)$ prej tij, pastaj këndin $AOB $ do të quhet kënd ndërmjet këtyre vektorëve (Fig. 1).

Shënimi: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Koncepti i prodhimit kryq të vektorëve dhe formula për gjetjen

Përkufizimi 1

Produkti vektorial i dy vektorëve është një vektor pingul me të dy vektorët e dhënë dhe gjatësia e tij do të jetë e barabartë me prodhimin e gjatësive të këtyre vektorëve me sinusin e këndit ndërmjet këtyre vektorëve, dhe ky vektor me dy vektorë fillestarë ka të njëjtën orientimi si sistem koordinativ kartezian.

Shënimi: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematikisht duket kështu:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ dhe $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ janë me të njëjtin orientim (Fig. 2)

Natyrisht, produkti i jashtëm i vektorëve do të jetë i barabartë me vektorin zero në dy raste:

1. Nëse gjatësia e njërit ose të dy vektorëve është zero.
2. Nëse këndi ndërmjet këtyre vektorëve është i barabartë me $180^\circ$ ose $0^\circ$ (sepse në këtë rast sinusi është i barabartë me zero).

Për të parë qartë se si gjendet prodhimi kryq i vektorëve, merrni parasysh shembujt e mëposhtëm të zgjidhjes.

Shembulli 1

Gjeni gjatësinë e vektorit $\overline(δ)$, i cili do të jetë rezultat i prodhimit kryq të vektorëve, me koordinatat $\overline(α)=(0,4,0)$ dhe $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Zgjidhje.

Le të përshkruajmë këta vektorë në hapësirën e koordinatave karteziane (Fig. 3):

Figura 3. Vektorët në hapësirën e koordinatave karteziane. Autor24 - shkëmbim online i punimeve të studentëve

Ne shohim se këta vektorë shtrihen në akset $Ox$ dhe $Oy$, respektivisht. Prandaj, këndi ndërmjet tyre do të jetë i barabartë me $90^\circ$. Le të gjejmë gjatësinë e këtyre vektorëve:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Më pas, sipas përkufizimit 1, marrim modulin $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Përgjigje: 12 dollarë.

Llogaritja e prodhimit kryq me koordinatat e vektorëve

Përkufizimi 1 nënkupton menjëherë një mënyrë për të gjetur produktin kryq për dy vektorë. Meqenëse një vektor, përveç një vlere, ka edhe një drejtim, është e pamundur ta gjesh atë vetëm duke përdorur një vlerë skalare. Por përveç kësaj, ekziston një mënyrë tjetër për të gjetur vektorët që na janë dhënë duke përdorur koordinatat.

Le të na jepen vektorët $\overline(α)$ dhe $\overline(β)$, të cilët do të kenë përkatësisht koordinatat $(α_1,α_2,α_3)$ dhe $(β_1,β_2,β_3)$. Pastaj vektori i produktit kryq (domethënë, koordinatat e tij) mund të gjendet me formulën e mëposhtme:

$\overline(α)x\overline(β)=\fillim(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\fund(vmatrix)$

Përndryshe, duke zgjeruar përcaktorin, marrim koordinatat e mëposhtme

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Shembulli 2

Gjeni vektorin e prodhimit kryq të vektorëve kolinearë $\overline(α)$ dhe $\overline(β)$ me koordinata $(0,3,3)$ dhe $(-1,2,6)$.

Zgjidhje.

Le të përdorim formulën e mësipërme. Marr

$\overline(α)x\overline(β)=\fillim(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Përgjigje: $(12,-3,3)$.

Vetitë e prodhimit kryq të vektorëve

Për tre vektorë të përzier arbitrarë $\overline(α)$, $\overline(β)$ dhe $\overline(γ)$, si dhe $r∈R$, mbahen vetitë e mëposhtme:

Shembulli 3

Gjeni sipërfaqen e një paralelogrami, kulmet e të cilit kanë koordinata $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ dhe $(3,8,0) $.

Zgjidhje.

Së pari, vizatoni këtë paralelogram në hapësirën e koordinatave (Fig. 5):

Figura 5. Paralelogrami në hapësirën koordinative. Autor24 - shkëmbim online i punimeve të studentëve

Shohim se dy anët e këtij paralelogrami janë ndërtuar duke përdorur vektorë kolinearë me koordinata $\overline(α)=(3,0,0)$ dhe $\overline(β)=(0,8,0)$. Duke përdorur vetinë e katërt, marrim:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Gjeni vektorin $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\fillim(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Prandaj

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Ky kalkulator në internet llogarit produktin kryq të vektorëve. Jepet një zgjidhje e detajuar. Për të llogaritur prodhimin e tërthortë të vektorëve, futni koordinatat e vektorëve në qeliza dhe klikoni në "Llogarit".

×

Paralajmërim

Të pastrohen të gjitha qelizat?

Mbylle Pastro

Udhëzim për futjen e të dhënave. Numrat futen si numra të plotë (shembuj: 487, 5, -7623, etj.), numra dhjetorë (p.sh. 67., 102.54, etj.) ose thyesa. Thyesa duhet të shtypet në formën a/b, ku a dhe b (b>0) janë numra të plotë ose dhjetorë. Shembujt 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etj.

Prodhimi i kryqëzuar i vektorëve

Para se të vazhdoni me përkufizimin e produktit vektorial të vektorëve, merrni parasysh konceptet trefishi i renditur i vektorëve, trefishi i majtë i vektorëve, trefishi i djathtë i vektorëve.

Përkufizim 1. Quhen tre vektorë porositi trefish(ose trefish) nëse tregohet se cili nga këta vektorë është i pari, cili i dyti dhe cili i treti.

Regjistrimi cba- do të thotë - i pari është një vektor c, i dyti është vektori b dhe i treti është vektori a.

Përkufizim 2. Një trefish i vektorëve joplanarë abc quhet djathtas (majtas) nëse, kur reduktohet në një fillim të përbashkët, këta vektorë janë të renditur ashtu siç janë vendosur përkatësisht gishti tregues i madh, i palakuar dhe i mesëm i dorës së djathtë (të majtë).

Përkufizimi 2 mund të formulohet në një mënyrë tjetër.

Përkufizim 2. Një trefish i vektorëve joplanarë abc quhet djathtas (majtas) nëse, kur reduktohet në një origjinë të përbashkët, vektori c të vendosura në anën tjetër të rrafshit të përcaktuar nga vektorët a Dhe b, prej nga vjen kthesa më e shkurtër a për të b kryhet në drejtim të kundërt (në drejtim të akrepave të orës).

Treshe vektoriale abc treguar në fig. 1 është e drejtë dhe e trefishtë abc treguar në fig. 2 ka mbetur.

Nëse dy treshe vektorësh janë djathtas ose majtas, atëherë thuhet se kanë të njëjtin orientim. Ndryshe, thuhet se janë me orientim të kundërt.

Përkufizimi 3. Një sistem koordinativ kartezian ose afin quhet djathtas (majtas) nëse tre vektorët bazë formojnë një treshe djathtas (majtas).

Për saktësi, në atë që vijon do të shqyrtojmë vetëm sistemet e koordinatave të djathta.

Përkufizimi 4. arti vektor vektoriale a për vektor b i quajtur vektor Me, e shënuar me simbolin c=[ab] (ose c=[a,b], ose c=a×b) dhe plotëson tre kërkesat e mëposhtme:

• gjatësi vektoriale Meështë e barabartë me prodhimin e gjatësive të vektorëve a Dhe b në sinusin e këndit φ mes tyre:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektoriale Me ortogonal me secilin nga vektorët a Dhe b;
• vektoriale c drejtuar në mënyrë që të tre abc ka te drejte.

Produkti kryq i vektorëve ka këto veti:

• [ab]=−[ba] (antipermutabiliteti faktorë);
• [(λa)b]=λ [ab] (pajtueshmërinë në lidhje me faktorin numerik);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (shpërndarja në lidhje me shumën e vektorëve);
• [aa]=0 për çdo vektor a.

Vetitë gjeometrike të prodhimit kryq të vektorëve

Teorema 1. Që dy vektorë të jenë kolinear, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që produkti i tyre vektor të jetë i barabartë me zero.

Dëshmi. Domosdoshmëri. Lërini vektorët a Dhe b kolineare. Atëherë këndi ndërmjet tyre është 0 ose 180° dhe sinφ=mëkat180=mëkat 0=0. Prandaj, duke marrë parasysh shprehjen (1), gjatësinë e vektorit c barazohet me zero. Pastaj c vektor zero.

Përshtatshmëria. Lëreni prodhimin kryq të vektorëve a Dhe b navigoni në zero: [ ab]=0. Le të vërtetojmë se vektorët a Dhe b kolineare. Nëse të paktën një nga vektorët a Dhe b zero, atëherë këta vektorë janë kolinearë (sepse vektori zero ka një drejtim të pacaktuar dhe mund të konsiderohet kolinear me çdo vektor).

Nëse të dy vektorët a Dhe b jozero, atëherë | a|>0, |b|>0. Pastaj nga [ ab]=0 dhe nga (1) rrjedh se sinφ=0. Prandaj vektorët a Dhe b kolineare.

Teorema është vërtetuar.

Teorema 2. Gjatësia (moduli) i produktit të vektorit [ ab] është e barabartë me sipërfaqen S paralelogrami i ndërtuar mbi vektorë të reduktuar në një origjinë të përbashkët a Dhe b.

Dëshmi. Siç e dini, sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e anëve ngjitur të këtij paralelogrami dhe sinusit të këndit midis tyre. Prandaj:

Atëherë prodhimi kryq i këtyre vektorëve ka formën:

Duke e zgjeruar përcaktorin mbi elementët e rreshtit të parë, marrim zbërthimin e vektorit a×b bazë i, j, k, e cila është e barabartë me formulën (3).

Vërtetimi i teoremës 3. Hartoni të gjitha çiftet e mundshme të vektorëve bazë i, j, k dhe llogarit produktin e tyre vektor. Duhet të merret parasysh se vektorët bazë janë reciprokisht ortogonalë, formojnë një treshe të drejtë dhe kanë gjatësi njësi (me fjalë të tjera, mund të supozojmë se i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Atëherë kemi:

Nga barazia dhe marrëdhëniet e fundit (4), marrim:

Hartoni një matricë 3×3, rreshti i parë i së cilës janë vektorët bazë i, j, k, dhe rreshtat e mbetur mbushen me elemente vektorësh a Dhe b:

Kështu, rezultati i prodhimit të kryqëzuar të vektorëve a Dhe b do të jetë një vektor:

.

Shembulli 2. Gjeni prodhimin kryq të vektorëve [ ab], ku vektori a përfaqësohet nga dy pika. Pika e fillimit të vektorit a: , pika fundore e vektorit a: , vektor b ka formën .

Zgjidhje.Lëvizni vektorin e parë në origjinë. Për ta bërë këtë, zbritni nga koordinatat përkatëse të pikës fundore koordinatat e pikës fillestare:

Ne llogarisim përcaktorin e kësaj matrice duke e zgjeruar në rreshtin e parë. Si rezultat i këtyre llogaritjeve, marrim produktin vektorial të vektorëve a Dhe b.

Në këtë mësim, ne do të shikojmë dy operacione të tjera me vektorë: prodhim i kryqëzuar i vektorëve Dhe produkt i përzier i vektorëve (lidhje e menjëhershme për ata që kanë nevojë). Është në rregull, ndonjëherë ndodh që për lumturi të plotë, përveç produkt pikash i vektorëve, nevojiten gjithnjë e më shumë. E tillë është varësia ndaj vektorit. Mund të krijohet përshtypja se po futemi në xhunglën e gjeometrisë analitike. Kjo eshte e gabuar. Në këtë seksion të matematikës së lartë, përgjithësisht ka pak dru zjarri, përveç ndoshta mjaftueshëm për Pinokun. Në fakt, materiali është shumë i zakonshëm dhe i thjeshtë - vështirë se më i vështirë se i njëjti produkt skalar, madje do të ketë më pak detyra tipike. Gjëja kryesore në gjeometrinë analitike, siç do ta shohin shumë ose e kanë parë tashmë, është të MOS GABIM LLOGARITJET. Përsëriteni si një magji dhe do të jeni të lumtur =)

Nëse vektorët shkëlqejnë diku larg, si rrufeja në horizont, nuk ka rëndësi, filloni me mësimin Vektorë për dummies për të rivendosur ose rifituar njohuritë bazë për vektorët. Lexuesit më të përgatitur mund të njihen me informacionin në mënyrë selektive, u përpoqa të mbledh koleksionin më të plotë të shembujve që gjenden shpesh në punën praktike

Çfarë do t'ju bëjë të lumtur? Kur isha i vogël, mund të mashtroja me dy dhe madje edhe tre topa. Doli mirë. Tani nuk ka nevojë të mashtroni fare, pasi do ta shqyrtojmë vetëm vektorët e hapësirës, dhe vektorët e sheshtë me dy koordinata do të lihen jashtë. Pse? Kështu kanë lindur këto veprime - vektori dhe produkti i përzier i vektorëve janë përcaktuar dhe punojnë në hapësirën tredimensionale. Tashmë më e lehtë!

Në këtë operacion, në të njëjtën mënyrë si në produktin skalar, dy vektorë. Le të jenë letra të padurueshme.

Vetë veprimi shënohet në mënyrën e mëposhtme: . Ka opsione të tjera, por unë jam mësuar të caktoj prodhimin kryq të vektorëve në këtë mënyrë, në kllapa katrore me një kryq.

Dhe menjëherë pyetje: nëse në produkt pikash i vektorëve dy vektorë janë të përfshirë, dhe këtu dy vektorë gjithashtu shumëzohen, atëherë Qfare eshte dallimi? Një ndryshim i qartë, para së gjithash, në REZULTATE:

Rezultati i produktit skalar të vektorëve është një NUMËR:

Rezultati i prodhimit kryq të vektorëve është një VEKTOR: dmth shumëzojmë vektorët dhe marrim sërish një vektor. Klubi i mbyllur. Në fakt, prej këtej vjen emri i operacionit. Në literaturë të ndryshme arsimore, emërtimet mund të ndryshojnë gjithashtu, unë do të përdor shkronjën .

Përkufizimi i produktit kryq

Së pari do të ketë një përkufizim me një foto, pastaj komente.

Përkufizimi: produkt kryq jokolineare vektorë, marrë në këtë mënyrë, quhet VEKTOR, gjatësia që është numerikisht e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit, i ndërtuar mbi këta vektorë; vektoriale ortogonale me vektorët, dhe drejtohet në mënyrë që baza të ketë një orientim të drejtë:

Ne analizojmë përkufizimin me kocka, ka shumë gjëra interesante!

Pra, ne mund të theksojmë pikat e mëposhtme të rëndësishme:

1) Vektorët e burimit, të treguar me shigjeta të kuqe, sipas përkufizimit jo kolinear. Do të jetë e përshtatshme të shqyrtojmë rastin e vektorëve kolinearë pak më vonë.

2) Vektorët e marrë në një rend të rreptë: – "a" shumëzohet me "be", jo "të jetë" në "a". Rezultati i shumëzimit të vektorëveështë VEKTOR, i cili shënohet me blu. Nëse vektorët shumëzohen në mënyrë të kundërt, atëherë marrim një vektor të barabartë në gjatësi dhe të kundërt në drejtim (ngjyrë të kuqe). Kjo është barazia .

3) Tani le të njihemi me kuptimin gjeometrik të produktit vektor. Kjo është një pikë shumë e rëndësishme! GJATËSIA e vektorit blu (dhe, rrjedhimisht, vektori i kuq ) është numerikisht i barabartë me SIPËRMARRËN e paralelogramit të ndërtuar mbi vektorët . Në figurë, ky paralelogram është i hijezuar në të zezë.

shënim : vizatimi është skematik dhe, natyrisht, gjatësia nominale e produktit kryq nuk është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit.

Kujtojmë një nga formulat gjeometrike: sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e brinjëve ngjitur dhe me sinusin e këndit ndërmjet tyre. Prandaj, bazuar në sa më sipër, formula për llogaritjen e GJATËSISË së një produkti vektori është e vlefshme:

Theksoj se në formulë bëhet fjalë për GJATESINË e vektorit, dhe jo për vetë vektorin. Cili është kuptimi praktik? Dhe kuptimi është i tillë që në problemet e gjeometrisë analitike, zona e një paralelogrami shpesh gjendet përmes konceptit të një produkti vektori:

Ne marrim formulën e dytë të rëndësishme. Diagonalja e paralelogramit (vija e kuqe me pika) e ndan atë në dy trekëndësha të barabartë. Prandaj, zona e një trekëndëshi të ndërtuar mbi vektorë (hijezim i kuq) mund të gjendet me formulën:

4) Një fakt po aq i rëndësishëm është se vektori është ortogonal me vektorët, d.m.th. . Natyrisht, vektori me drejtim të kundërt (shigjeta e kuqe) është gjithashtu ortogonal me vektorët origjinal.

5) Vektori është i drejtuar ashtu që bazë Ajo ka drejtë orientim. Në një mësim rreth kalimi në një bazë të re Unë kam folur në detaje për orientimi në plan, dhe tani do të kuptojmë se cili është orientimi i hapësirës. Unë do të shpjegoj në gishtat tuaj dora e djathtë. Kombinoje mendërisht gisht tregues me vektor dhe Gishti i mesem me vektor . Gishti i unazës dhe gishti i vogël shtypni në pëllëmbën tuaj. Si rezultat gishtin e madh- produkti vektor do të shikojë lart. Kjo është baza e orientuar drejt së drejtës (është në figurë). Tani ndërroni vektorët ( gishtat tregues dhe të mesëm) në disa vende, si rezultat, gishti i madh do të rrotullohet dhe produkti vektor do të shikojë tashmë poshtë. Kjo është gjithashtu një bazë e orientuar drejt së drejtës. Ndoshta keni një pyetje: çfarë baze ka një orientim majtas? "Cakto" të njëjtat gishta dora e majtë vektorët , dhe merrni bazën e majtë dhe orientimin në hapësirën e majtë (në këtë rast, gishti i madh do të vendoset në drejtim të vektorit të poshtëm). Në mënyrë figurative, këto baza "përdredhin" ose orientojnë hapësirën në drejtime të ndryshme. Dhe ky koncept nuk duhet të konsiderohet diçka e largët ose abstrakte - për shembull, pasqyra më e zakonshme ndryshon orientimin e hapësirës, ​​dhe nëse "tërheqni objektin e reflektuar nga pasqyra", atëherë në përgjithësi nuk do të jetë e mundur të kombinoni atë me "origjinalin". Nga rruga, sillni tre gishta në pasqyrë dhe analizoni reflektimin ;-)

... sa mirë është që tani e dini me orientim djathtas dhe majtas bazat, sepse deklaratat e disa pedagogëve për ndryshimin e orientimit janë të tmerrshme =)

Produkti vektorial i vektorëve kolinearë

Përkufizimi është përpunuar në detaje, mbetet për të zbuluar se çfarë ndodh kur vektorët janë kolinear. Nëse vektorët janë kolinearë, atëherë ata mund të vendosen në një vijë të drejtë dhe paralelogrami ynë gjithashtu "paloset" në një vijë të drejtë. Zona e tillë, siç thonë matematikanët, i degjeneruar paralelogrami është zero. E njëjta gjë rrjedh nga formula - sinusi i zeros ose 180 gradë është i barabartë me zero, që do të thotë se zona është zero

Kështu, nëse , atëherë Dhe . Ju lutemi vini re se vetë prodhimi kryq është i barabartë me vektorin zero, por në praktikë kjo shpesh neglizhohet dhe shkruhet se është gjithashtu i barabartë me zero.

Një rast i veçantë është prodhimi vektorial i një vektori dhe i vetvetes:

Duke përdorur produktin kryq, ju mund të kontrolloni kolinearitetin e vektorëve tre-dimensionale, dhe ne gjithashtu do të analizojmë këtë problem, ndër të tjera.

Për të zgjidhur shembuj praktikë, mund të jetë e nevojshme tabelë trigonometrike për të gjetur vlerat e sinuseve prej tij.

Epo, le të ndezim një zjarr:

Shembulli 1

a) Gjeni gjatësinë e prodhimit vektorial të vektorëve nëse

b) Gjeni sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë nëse

Zgjidhje: Jo, kjo nuk është një gabim shtypi, qëllimisht i kam bërë të njëjtat të dhënat fillestare në artikujt e gjendjes. Sepse dizajni i zgjidhjeve do të jetë i ndryshëm!

a) Sipas kushtit kërkohet të gjendet gjatësia vektor (produkt vektori). Sipas formulës përkatëse:

Përgjigju:

Meqenëse është pyetur për gjatësinë, atëherë në përgjigje tregojmë dimensionin - njësitë.

b) Sipas kushtit kërkohet të gjendet katrore paralelogrami i ndërtuar mbi vektorë . Sipërfaqja e këtij paralelogrami është numerikisht e barabartë me gjatësinë e produktit kryq:

Përgjigju:

Ju lutemi vini re se në përgjigjen për produktin vektor nuk flitet fare, ne u pyetëm sipërfaqja e figurës, respektivisht, dimensioni është njësi katrore.

Ne shikojmë gjithmonë ÇFARË kërkohet të gjendet nga kushti dhe, bazuar në këtë, ne formulojmë qartë përgjigje. Mund të duket fjalë për fjalë, por mes mësuesve ka mjaft literalistë dhe detyra me shanse të mira do të kthehet për rishikim. Edhe pse kjo nuk është një truk i tendosur veçanërisht - nëse përgjigja është e pasaktë, atëherë krijohet përshtypja se personi nuk kupton gjëra të thjeshta dhe / ose nuk e ka kuptuar thelbin e detyrës. Ky moment duhet mbajtur gjithmonë nën kontroll, duke zgjidhur çdo problem në matematikën e lartë, por edhe në lëndë të tjera.

Ku shkoi shkronja e madhe "en"? Në parim, mund të mbërthehej në zgjidhje, por për të shkurtuar rekordin, nuk e bëra. Shpresoj që të gjithë ta kuptojnë këtë dhe është përcaktimi i së njëjtës gjë.

Një shembull popullor për një zgjidhje të bërë vetë:

Shembulli 2

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi të ndërtuar mbi vektorë nëse

Formula për gjetjen e zonës së një trekëndëshi përmes produktit vektor është dhënë në komentet e përkufizimit. Zgjidhja dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Në praktikë, detyra është vërtet shumë e zakonshme, trekëndëshat në përgjithësi mund të torturohen.

Për të zgjidhur probleme të tjera, na duhen:

Vetitë e prodhimit kryq të vektorëve

Ne kemi shqyrtuar tashmë disa veti të produktit vektor, megjithatë, unë do t'i përfshij ato në këtë listë.

Për vektorët arbitrarë dhe një numër arbitrar, vetitë e mëposhtme janë të vërteta:

1) Në burime të tjera informacioni, ky artikull zakonisht nuk dallohet në veti, por është shumë i rëndësishëm në aspektin praktik. Pra le të jetë.

2) - prona është diskutuar edhe më lart, ndonjëherë quhet antikomutativiteti. Me fjalë të tjera, renditja e vektorëve ka rëndësi.

3) - kombinim ose asociative ligjet e produkteve vektoriale. Konstantet nxirren lehtësisht nga kufijtë e produktit vektorial. Vërtet, çfarë po bëjnë ata atje?

4) - shpërndarje ose shpërndarja ligjet e produkteve vektoriale. Nuk ka probleme as me hapjen e kllapave.

Si demonstrim, merrni parasysh një shembull të shkurtër:

Shembulli 3

Gjeni nëse

Zgjidhja: Sipas kushtit, përsëri kërkohet të gjendet gjatësia e produktit të vektorit. Le të pikturojmë miniaturën tonë:

(1) Sipas ligjeve asociative, ne nxjerrim konstantet përtej kufijve të produktit vektorial.

(2) Ne nxjerrim konstanten nga moduli, ndërsa moduli "ha" shenjën minus. Gjatësia nuk mund të jetë negative.

(3) Ajo që vijon është e qartë.

Përgjigju:

Është koha për të hedhur dru në zjarr:

Shembulli 4

Llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi të ndërtuar mbi vektorë nëse

Zgjidhje: Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur formulën . Problemi është se vektorët "ce" dhe "te" përfaqësohen vetë si shuma vektorësh. Algoritmi këtu është standard dhe të kujton disi shembujt nr. 3 dhe 4 të mësimit. Prodhimi me pika i vektorëve. Le ta ndajmë atë në tre hapa për qartësi:

1) Në hapin e parë, ne shprehim produktin vektor përmes produktit vektorial, në fakt, shprehin vektorin në terma të vektorit. Ende nuk ka fjalë për gjatësinë!

(1) Ne zëvendësojmë shprehjet e vektorëve .

(2) Duke përdorur ligjet shpërndarëse, hapni kllapat sipas rregullit të shumëzimit të polinomeve.

(3) Duke përdorur ligjet shoqëruese, ne nxjerrim të gjitha konstantet përtej prodhimeve vektoriale. Me pak përvojë, veprimet 2 dhe 3 mund të kryhen njëkohësisht.

(4) Termat e parë dhe të fundit janë të barabartë me zero (vektor zero) për shkak të vetive të këndshme . Në termin e dytë, ne përdorim vetinë antikomutative të produktit vektor:

(5) Ne paraqesim terma të ngjashëm.

Si rezultat, vektori doli të shprehej përmes një vektori, i cili ishte ajo që kërkohej të arrihej:

2) Në hapin e dytë, gjejmë gjatësinë e produktit vektor që na nevojitet. Ky veprim është i ngjashëm me shembullin 3:

3) Gjeni zonën e trekëndëshit të dëshiruar:

Hapat 2-3 të zgjidhjes mund të rregullohen në një rresht.

Përgjigju:

Problemi i konsideruar është mjaft i zakonshëm në teste, këtu është një shembull për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 5

Gjeni nëse

Zgjidhje e shkurtër dhe përgjigje në fund të orës së mësimit. Le të shohim se sa të vëmendshëm keni qenë kur keni studiuar shembujt e mëparshëm ;-)

Prodhimi kryq i vektorëve në koordinata

Formula është vërtet e thjeshtë: shkruajmë vektorët e koordinatave në vijën e sipërme të përcaktorit, "paketojmë" koordinatat e vektorëve në rreshtin e dytë dhe të tretë dhe vendosim në mënyrë strikte- fillimisht, koordinatat e vektorit "ve", pastaj koordinatat e vektorit "double-ve". Nëse vektorët duhet të shumëzohen në një rend të ndryshëm, atëherë linjat gjithashtu duhet të ndërrohen:

Shembulli 10

Kontrolloni nëse vektorët e mëposhtëm të hapësirës janë kolinear:
A)
b)

Zgjidhje: Testi bazohet në një nga pohimet në këtë mësim: nëse vektorët janë kolinear, atëherë prodhimi i tyre kryq është zero (vektor zero): .

a) Gjeni produktin e vektorit:

Pra, vektorët nuk janë kolinearë.

b) Gjeni produktin e vektorit:

Përgjigju: a) jo kolinear, b)

Këtu, ndoshta, është i gjithë informacioni bazë për produktin vektorial të vektorëve.

Ky seksion nuk do të jetë shumë i madh, pasi ka pak probleme ku përdoret produkti i përzier i vektorëve. Në fakt, gjithçka do të mbështetet në përkufizimin, kuptimin gjeometrik dhe disa formula pune.

Produkti i përzier i vektorëve është prodhimi i tre vektorëve:

Kështu u rreshtuan si tren dhe presin, mezi presin derisa të llogariten.

Së pari përsëri përkufizimi dhe fotografia:

Përkufizimi: Produkt i përzier jokomplanare vektorë, marrë në këtë mënyrë, quhet vëllimi i paralelepipedit, i ndërtuar mbi këta vektorë, i pajisur me një shenjë "+" nëse baza është e drejtë dhe një shenjë "-" nëse baza është e majtë.

Le të bëjmë vizatimin. Vijat e padukshme për ne vizatohen nga një vijë me pika:

Le të zhytemi në përkufizimin:

2) Vektorët e marrë në një rend të caktuar, domethënë, ndërrimi i vektorëve në produkt, siç mund ta merrni me mend, nuk kalon pa pasoja.

3) Para se të komentoj kuptimin gjeometrik, do të vërej faktin e qartë: prodhimi i përzier i vektorëve është një NUMËR: . Në literaturën arsimore, dizajni mund të jetë disi i ndryshëm, kam përdorur për të përcaktuar një produkt të përzier përmes, dhe rezultatin e llogaritjeve me shkronjën "pe".

A-parësore produkti i përzier është vëllimi i paralelopipedit, i ndërtuar mbi vektorë (figura vizatohet me vektorë të kuq dhe vija të zeza). Kjo do të thotë, numri është i barabartë me vëllimin e paralelepipedit të dhënë.

shënim : Vizatimi është skematik.

4) Të mos shqetësohemi sërish me konceptin e orientimit të bazës dhe hapësirës. Kuptimi i pjesës së fundit është se vëllimit mund t'i shtohet një shenjë minus. Me fjalë të thjeshta, produkti i përzier mund të jetë negativ: .

Formula për llogaritjen e vëllimit të një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi.