Leksioni n21. diferenciale totale, derivatet e pjesshme dhe diferencat e rendit më të lartë

Merrni parasysh ndryshimin e një funksioni kur rritni vetëm një nga argumentet e tij − x i, dhe le ta quajmë atë.

Përkufizimi 1.7.derivat privat funksionon me argument x i thirrur .

Emërtimet: .

Kështu, derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të disa variablave në të vërtetë përcaktohet si derivat i funksionit një ndryshore - x i. Prandaj, të gjitha vetitë e derivateve të vërtetuara për një funksion të një ndryshoreje janë të vlefshme për të.

Komentoni. Në llogaritjen praktike të derivateve të pjesshme, ne përdorim rregullat e zakonshme për diferencimin e një funksioni të një ndryshoreje, duke supozuar se argumenti në lidhje me të cilin kryhet diferencimi është i ndryshueshëm dhe argumentet e mbetura janë konstante.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y,

Interpretimi gjeometrik i derivateve të pjesshme të një funksioni të dy ndryshoreve.

Merrni parasysh ekuacionin e sipërfaqes z = f(x,y) dhe vizatoni një aeroplan x = konst. Le të zgjedhim një pikë në vijën e kryqëzimit të rrafshit me sipërfaqen M (x, y). Nëse vendosni argumentin në rritje Δ në dhe konsideroni pikën T në kurbë me koordinata ( x, y+Δ y, z+Δy z), pastaj tangjentja e këndit të formuar nga sekanti MT me drejtim pozitiv të boshtit O në, do të jetë e barabartë me . Duke kaluar në kufirin në , marrim se derivati ​​i pjesshëm është i barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja me lakoren që rezulton në pikën M me drejtim pozitiv të boshtit O y. Prandaj, derivati ​​i pjesshëm është i barabartë me tangjenten e këndit me boshtin O X tangjente me lakoren që rezulton nga seksioni i sipërfaqes z = f(x,y) aeroplan y= konst.

Përkufizimi 2.1. Thirret rritja e plotë e funksionit u = f(x, y, z).

Përkufizimi 2.2. Nëse rritja e funksionit u \u003d f (x, y, z) në pikën (x 0, y 0, z 0) mund të përfaqësohet në formën (2.3), (2.4), atëherë funksioni quhet i diferencueshëm në këtë pikë, dhe shprehja quhet pjesa kryesore lineare e rritjes ose diferenciali total i funksionit në shqyrtim.

Shënimi: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferencialet e variablave të pavarur janë rritjet e tyre arbitrare, prandaj

Vërejtje 1. Pra, pohimi "funksioni është i diferencueshëm" nuk është i barabartë me pohimin "funksioni ka derivate të pjesshme" - diferencimi kërkon gjithashtu vazhdimësinë e këtyre derivateve në pikën në shqyrtim.

4. Plani tangjent dhe normal me sipërfaqen. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Lëreni funksionin z = f(x, y)është i diferencueshëm në një lagje të pikës M (x 0, y 0). Atëherë derivatet e tij të pjesshme janë pjerrësia e tangjentëve në vijat e kryqëzimit të sipërfaqes z = f(x, y) me avionë y = y 0 Dhe x = x 0, e cila do të jetë tangjente me vetë sipërfaqen z = f(x, y). Le të shkruajmë një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër këto rreshta. Vektorët e drejtimit të tangjentave kanë formën (1; 0; ) dhe (0; 1; ), kështu që normalja në rrafsh mund të përfaqësohet si prodhimi i tyre vektor: n = (- ,- , 1). Prandaj, ekuacioni i rrafshit mund të shkruhet si:

Ku z0 = .

Përkufizimi 4.1. Rrafshi i përcaktuar nga ekuacioni (4.1) quhet rrafshi tangjent në grafikun e funksionit z = f(x, y) në pikën me koordinata (x 0, y 0, z 0).

Nga formula (2.3) për rastin e dy variablave del se rritja e funksionit f në afërsi të pikës M mund të përfaqësohet si:

Prandaj, diferenca midis aplikimeve të grafikut të funksionit dhe planit tangjent është një rend infinit i vogël më i lartë se ρ, në ρ→ 0.

Në këtë rast, diferenciali i funksionit f duket si:

që korrespondon rritja e aplikimit të planit tangjent në grafikun e funksionit. Ky është kuptimi gjeometrik i diferencialit.

Përkufizimi 4.2. Vektor jozero pingul me planin tangjent në një pikë M (x 0, y 0) sipërfaqeve z = f(x, y), quhet normale në sipërfaqe në atë pikë.

Si normale për sipërfaqen në shqyrtim, është e përshtatshme të merret vektori - n = { , ,-1}.

Për të thjeshtuar shënimin dhe paraqitjen e materialit, ne kufizohemi në rastin e funksioneve të dy variablave. Gjithçka që vijon është gjithashtu e vlefshme për funksionet e çdo numri variablash.

Përkufizimi. derivat privat funksione z = f(x, y) nga ndryshorja e pavarur X i quajtur derivat

llogaritur në konstante në.

Derivati ​​i pjesshëm në lidhje me variablin përcaktohet në mënyrë të ngjashme në.

Për derivatet e pjesshme, rregullat e zakonshme dhe formulat e diferencimit janë të vlefshme.

Përkufizimi. Prodhimi i derivatit të pjesshëm dhe rritja e argumentit X(y) quhet diferencial privat sipas ndryshores X(në) funksionet e dy ndryshoreve z = f(x, y) (simbolet: ):

Nëse nën diferencialin e ndryshores së pavarur dx(dy) kuptojnë rritjen X(në), Kjo

Për funksionin z = f(x, y) të gjejë kuptimin gjeometrik të derivateve të tij të frekuencës dhe .

Konsideroni një pikë, një pikë P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) në sipërfaqe z = f(x,në) dhe kurbë L, e cila fitohet kur sipërfaqja pritet nga një rrafsh y = y 0 . Kjo kurbë mund të shihet si një grafik i një funksioni të një ndryshoreje z = f(x, y) në aeroplan y = y 0 . Nëse vizatoni në pikën R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangjente ndaj kurbës L, atëherë, sipas kuptimit gjeometrik të derivatit të një funksioni të një ndryshoreje , Ku a – këndi i formuar nga një tangjente me drejtim të boshtit pozitiv Oh.

z = f(x 0 , y) mund të konsiderohet si funksion i një ndryshoreje në:

Ku b- këndi i formuar nga tangjentja në pikë M 0 (X 0 , y 0) me drejtim të boshtit pozitiv Oy(Fig. 1.2).

Oriz. 1.2. Ilustrim i kuptimit gjeometrik të derivateve të pjesshme

Shembulli 1.6. Jepet një funksion z = x 2 – 3hu - 4në 2 – x + 2y + 1. Gjeni dhe .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh në si konstante, marrim

Duke numëruar X konstante, gjejmë

Çdo derivat i pjesshëm (mbi x dhe nga y) i një funksioni të dy ndryshoreve është derivati ​​i zakonshëm i një funksioni të njërës ndryshore me një vlerë fikse të ndryshores tjetër:

(ku y= konst),

(ku x= konst).

Prandaj, derivatet e pjesshme llogariten nga formulat dhe rregullat për llogaritjen e derivateve të funksioneve të një ndryshoreje, ndërsa variablin tjetër e konsideron si konstante (konstante).

Nëse nuk keni nevojë për një analizë të shembujve dhe teorinë minimale të nevojshme për këtë, por ju duhet vetëm një zgjidhje për problemin tuaj, atëherë vazhdoni Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Nëse është e vështirë të përqendrohesh në mbajtjen e gjurmës se ku është konstantja në funksion, atëherë mund të zëvendësosh çdo numër në zgjidhjen draft të shembullit në vend të një ndryshoreje me një vlerë fikse - atëherë mund të llogaritësh shpejt derivatin e pjesshëm si të zakonshëm. derivat i një funksioni të një ndryshoreje. Është e nevojshme vetëm të mos harroni të ktheni konstantën (një variabël me një vlerë fikse) në vendin e saj kur përfundoni.

Vetia e derivateve të pjesshme të përshkruara më sipër rrjedh nga përkufizimi i një derivati ​​të pjesshëm, i cili mund të gjendet në pyetjet e provimit. Prandaj, për t'u njohur me përkufizimin e mëposhtëm, mund të hapni referencën teorike.

Koncepti i vazhdimësisë së një funksioni z= f(x, y) në një pikë është përcaktuar në mënyrë të ngjashme me këtë koncept për një funksion të një ndryshoreje.

Funksioni z = f(x, y) quhet e vazhdueshme në një pikë nëse

Diferenca (2) quhet rritja totale e funksionit z(përftohet duke rritur të dy argumentet).

Lëreni funksionin z= f(x, y) dhe pika

Nëse funksioni ndryshon z ndodh kur ndryshon vetëm një nga argumentet, për shembull, x, me një vlerë fikse të argumentit tjetër y, atëherë funksioni do të rritet

quhet rritje e pjesshme e funksionit f(x, y) Nga x.

Duke marrë parasysh ndryshimin e funksionit z në varësi të ndryshimit të vetëm njërit prej argumenteve, ne në fakt kalojmë në një funksion të një ndryshoreje.

Nëse ka një kufi të kufizuar

atëherë quhet derivat i pjesshëm i funksionit f(x, y) me argument x dhe shënohet me një nga simbolet

(4)

Rritja e pjesshme përcaktohet në mënyrë të ngjashme z Nga y:

dhe derivat i pjesshëm f(x, y) Nga y:

(6)

Shembulli 1

Zgjidhje. Gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me ndryshoren "x":

(y fikse);

Gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me variablin "y":

(x fikse).

Siç mund ta shihni, nuk ka rëndësi në çfarë mase ndryshorja që është fikse: në këtë rast, është vetëm një numër që është një faktor (si në rastin e derivatit të zakonshëm) me variablin me të cilin gjejmë të pjesshmen. derivatore. Nëse ndryshorja fikse nuk shumëzohet me ndryshoren në lidhje me të cilën gjejmë derivatin e pjesshëm, atëherë kjo konstante e vetmuar, pavarësisht në çfarë mase, si në rastin e një derivati ​​të zakonshëm, zhduket.

Shembulli 2 Jepet një funksion

Gjeni derivate të pjesshme

(nga x) dhe (nga y) dhe llogaritni vlerat e tyre në pikë A (1; 2).

Zgjidhje. Në një fiks y derivati ​​i termit të parë gjendet si derivat i funksionit të fuqisë ( tabela e funksioneve derivative të një ndryshoreje):

.

Në një fiks x derivati ​​i termit të parë gjendet si derivat i funksionit eksponencial, dhe i dyti - si derivat i konstantës:

Tani ne llogarisim vlerat e këtyre derivateve të pjesshëm në pikë A (1; 2):

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemeve me derivate të pjesshme në Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Shembulli 3 Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve

Zgjidhje. Në një hap gjejmë

(y x, sikur argumenti i sinusit të ishte 5 x: në të njëjtën mënyrë, 5 shfaqet para shenjës së funksionit);

(xështë fikse dhe është në këtë rast një faktor në y).

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemeve me derivate të pjesshme në Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Derivatet e pjesshme të një funksioni prej tre ose më shumë ndryshoresh përcaktohen në mënyrë të ngjashme.

Nëse çdo grup vlerash ( x; y; ...; t) variabla të pavarur nga bashkësia D korrespondon me një vlerë specifike u nga shumë E, Kjo u quhet funksion i variablave x, y, ..., t dhe shënojnë u= f(x, y, ..., t).

Për funksionet e tre ose më shumë ndryshoreve, nuk ka interpretim gjeometrik.

Derivatet e pjesshme të një funksioni të disa variablave përcaktohen dhe llogariten gjithashtu me supozimin se vetëm një nga variablat e pavarur ndryshon, ndërsa të tjerët janë fikse.

Shembulli 4 Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve

.

Zgjidhje. y Dhe z fikse:

x Dhe z fikse:

x Dhe y fikse:

Gjeni vetë derivate të pjesshme dhe më pas shikoni zgjidhjet

Shembulli 5

Shembulli 6 Gjeni derivatet e pjesshme të një funksioni.

Derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të disa ndryshoreve ka të njëjtën gjë kuptimi mekanik si derivat i një funksioni të një ndryshoreje, është shpejtësia me të cilën funksioni ndryshon në lidhje me një ndryshim në një nga argumentet.

Shembulli 8 sasia e rrjedhjes P pasagjerët hekurudhor mund të shprehen si funksion

Ku P- numri i pasagjerëve, N- numri i banorëve të pikave përkatëse, R- distanca midis pikave.

Derivat i pjesshëm i një funksioni P Nga R e barabartë me

tregon se ulja e fluksit të udhëtarëve është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës ndërmjet pikave përkatëse për të njëjtin numër banorësh në pika.

Derivat i pjesshëm P Nga N e barabartë me

tregon se rritja e fluksit të udhëtarëve është proporcionale me dyfishin e numrit të banorëve të vendbanimeve me të njëjtën distancë ndërmjet pikave.

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemeve me derivate të pjesshme në Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Diferencial i plotë

Prodhimi i derivatit të pjesshëm dhe i rritjes së ndryshores së pavarur përkatëse quhet diferencial i pjesshëm. Diferencat e pjesshme shënohen si më poshtë:

Shuma e diferencialeve të pjesshme mbi të gjitha variablat e pavarur jep diferencialin total. Për një funksion të dy ndryshoreve të pavarura, diferenciali total shprehet me barazinë

(7)

Shembulli 9 Gjeni diferencialin e plotë të një funksioni

Zgjidhje. Rezultati i përdorimit të formulës (7):

Një funksion që ka një diferencial total në çdo pikë të një domeni quhet i diferencueshëm në atë fushë.

Gjeni diferencën totale vetë dhe më pas shikoni zgjidhjen

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferencimi i një funksioni në një rajon të caktuar nënkupton vazhdimësinë e tij në këtë rajon, por jo anasjelltas.

Le të formulojmë pa prova një kusht të mjaftueshëm për diferencueshmërinë e një funksioni.

Teorema. Nëse funksioni z= f(x, y) ka derivate të pjesshme të vazhdueshme

në një rajon të caktuar, atëherë ai është i diferencueshëm në këtë rajon dhe diferenciali i tij shprehet me formulën (7).

Mund të tregohet se, ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferenciali i funksionit është pjesa kryesore lineare e rritjes së funksionit, kështu që në rastin e një funksioni të disa ndryshoreve, diferenciali total është kryesore, lineare në lidhje me rritjet e variablave të pavarur, pjesë e rritjes totale të funksionit.

Për një funksion me dy ndryshore, rritja totale e funksionit ka formën

(8)

ku α dhe β janë të pafundme për dhe .

Derivatet e pjesshme të rendit më të lartë

Derivatet dhe funksionet e pjesshme f(x, y) janë vetë disa funksione të të njëjtave ndryshore dhe, nga ana tjetër, mund të kenë derivate në lidhje me variabla të ndryshëm, të cilët quhen derivate të pjesshëm të rendit më të lartë.

derivat privat funksionet z = f(x, y nga ndryshorja x derivati ​​i këtij funksioni thirret në një vlerë konstante të ndryshores y, shënohet ose z "x.

derivat privat funksionet z = f(x, y) nga ndryshorja y quhet derivati ​​në lidhje me y në një vlerë konstante të ndryshores y; shënohet ose z "y.

Derivati ​​i pjesshëm i një funksioni të disa ndryshoreve në lidhje me një variabël përcaktohet si derivat i këtij funksioni në lidhje me variablin përkatës, me kusht që variablat e tjerë të konsiderohen konstante.

diferencial i plotë funksioni z = f(x, y) në një moment M(X, y) quhet shprehje

,

Ku dhe janë llogaritur në pikën M(x, y), dhe dx = , dy = y.

Shembulli 1

Llogaritni diferencialin total të funksionit.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 në pikën M (1; 2)

Zgjidhja:

1) Gjeni derivatet e pjesshme:

2) Llogaritni vlerën e derivateve të pjesshme në pikën M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pyetje për vetëkontroll:

1. Çfarë quhet antiderivativ? Listoni vetitë e një antiderivati.

2. Çfarë quhet integral i pacaktuar?

3. Listoni vetitë e integralit të pacaktuar.

4. Listoni formulat bazë të integrimit.

5. Çfarë metodash integrimi dini?

6. Cili është thelbi i formulës Njuton-Leibniz?

7. Jepni një përkufizim të një integrali të caktuar.

8. Cili është thelbi i llogaritjes së një integrali të caktuar me metodën e zëvendësimit?

9. Cili është thelbi i metodës së llogaritjes së një integrali të caktuar sipas pjesëve?

10. Cili funksion quhet funksion i dy ndryshoreve? Si është caktuar?

11. Cili funksion quhet funksion i tre variablave?

12. Çfarë bashkësie quhet domeni i një funksioni?

13. Me ndihmën e çfarë pabarazish mund të përcaktohet një rajon i mbyllur D në një rrafsh?

14. Si quhet derivati ​​i pjesshëm i funksionit z \u003d f (x, y) në lidhje me ndryshoren x? Si është caktuar?

15. Si quhet derivati ​​i pjesshëm i funksionit z \u003d f (x, y) në lidhje me ndryshoren y? Si është caktuar?

16. Cila shprehje quhet diferencial total i një funksioni

Tema 1.2 Ekuacionet diferenciale të zakonshme.

Problemet që çojnë në ekuacione diferenciale. Ekuacione diferenciale me ndryshore të ndashme. Zgjidhje të përgjithshme dhe private. Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë. Ekuacione lineare homogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Mësimi praktik nr.7 "Gjetja e zgjidhjeve të përgjithshme dhe të veçanta të ekuacioneve diferenciale me ndryshore të ndashme" *

Mësimi praktik nr.8 "Ekuacionet diferenciale lineare dhe homogjene"

Mësimi praktik nr.9 "Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë me koeficientë konstante" *

L4, kapitulli 15, f. 243 - 256

Udhëzimet

transkript

1 LEKTURË N Diferenciale totale, derivate të pjesshme dhe diferenciale të rendit më të lartë Diferenciale totale Diferenciale parciale Derivatet e pjesshme të rendit të lartë Diferenciale të rendit më të lartë 4 Derivatet e funksioneve komplekse 4 Diferenciale totale Diferencat e pjesshme Nëse një funksion z=f(,) është i diferencueshëm, atëherë totali i tij diferenciali dz është i barabartë me dz= a +B () z z z z, duke vënë në dukje se A=, B =, ne shkruajmë formulën () në formën e mëposhtme z z dz= + () E zgjerojmë konceptin e një diferenciali funksioni në ndryshore të pavarura, duke vendosur diferencialet e ndryshoreve të pavarura të barabarta me rritjet e tyre: d= ; d= Pas kësaj, formula për diferencialin total të funksionit do të marrë formën z z dz= d + d () d + d n variabla, pastaj du= d (d =) = Shprehja d z=f (,)d (4) quhet diferencial i pjesshëm i funksionit z=f(,) në lidhje me ndryshoren; shprehja d z=f (,)d (5) quhet diferencial i pjesshëm i funksionit z=f(,) në lidhje me ndryshoren Nga formula (), (4) dhe (5) rezulton se diferenciali total i një funksion është shuma e diferencialeve të tij të pjesshme: dz=d z+d z rritja z= z z + + α (,) + β (,) ndryshon nga pjesa e tij lineare dz= z z + vetëm nga shuma e termave të fundit α. + β, të cilat në 0 dhe 0 janë infinitimale më të larta se termat e pjesës lineare Prandaj kur dz 0, pjesa lineare e rritjes së funksionit të diferencueshëm quhet pjesa kryesore e rritjes së funksionit dhe formula e përafërt z. përdoret dz, e cila do të jetë sa më e saktë, aq më e vogël është vlera absolute e rritjeve të argumenteve,97 Shembull Llogaritni afërsisht arctan(),0

2 Zgjidhje Konsideroni funksionin f(,)=arctg() Duke përdorur formulën f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, marrim arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] ose + + arctg() arctg() () + () Le =, =, pastaj =-0.0, =0.0 Prandaj, (0.0 0.0 arctg) arctg( ) + (0.0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Mund të tregohet se gabimi që rezulton nga aplikimi i formulës së përafërt z dz nuk e kalon numrin = M (+), ku M është vlera më e madhe e vlerave absolute të derivateve të dytë të pjesshëm f (,), f (,), f (,) kur argumentet ndryshojnë nga + dhe nga në + Derivatet e pjesshme të rendit më të lartë nëse funksioni u =f (, z) ka një derivat të pjesshëm në lidhje me një nga variablat në një fushë (të hapur) D, atëherë derivati ​​i gjetur, duke qenë vetë një funksion i z, nga ana tjetër, mund të ketë derivate të pjesshëm në një pikë (0, 0, z 0) në lidhje me të njëjtin ose ndonjë variabël tjetër Për funksionin origjinal u=f(, z), këto derivate do të jenë derivate të pjesshëm të rendit të dytë nëse merret derivati ​​i parë, p.sh. ep, in, atëherë derivati ​​i tij në lidhje me, z shënohet si më poshtë: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = ose u, u, u z z z Derivatet e rendit të tretë, të katërt, e kështu me radhë përcaktohen në mënyrë të ngjashme.Vini re se derivati ​​i pjesshëm i rendit më të lartë merret në lidhje me ndryshore të ndryshme, për shembull, ; i quajtur derivat i pjesshëm i përzier Shembull u= 4 z, atëherë, u =4 z; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z funksioni f(,) përcaktohet në një fushë (të hapur) D,) në këtë fushë ka derivatet e parë f dhe f, si dhe derivatet e dyta të përziera f dhe f, dhe së fundi,) këto derivate të fundit f dhe f, si funksione të u, janë të vazhdueshme në një pikë (0, 0) të rajonit D Pastaj në këtë pikë f (0, 0)=f (0, 0) Vërtetim Merrni parasysh shprehjen

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, ku janë jo zero, për shembull, janë pozitive dhe, për më tepër, janë aq të vogla sa D përmban të gjithë drejtkëndëshin [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= dhe prandaj i vazhdueshëm Me këtë funksion f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) shprehja W, e cila është e barabartë me W= mund të rishkruhet në formën: ϕ (0 +) ϕ (0) W= pra: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Ne shohim se du është gjithashtu një funksion i, Nëse supozojmë ekzistencën e derivateve të vazhdueshme të pjesshme të rendit të dytë për u, atëherë du do të ketë derivate të vazhdueshme të pjesshme të rendit të parë dhe mund të flasim për diferencialin total të këtij diferenciali du , d(du), që quhet diferencial i rendit të dytë (ose diferencial i dytë) i u; shënohet me d u Theksojmë se rritjet d, d, d konsiderohen konstante dhe mbeten të njëjta kur lëvizim nga një diferencial në tjetrin (për më tepër, d, d do të jetë zero) Pra, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d ose d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Në mënyrë të ngjashme, definohet diferenciali i rendit të tretë d u, e kështu me radhë. diferenciali i n-të është i garantuar, por shprehjet për to bëhen gjithnjë e më komplekse Mund të thjeshtojmë shënimin Le të nxjerrim shkronjën u në shprehjen e diferencialit të parë Më pas, shënimi do të jetë simbolik: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, që duhet kuptuar si më poshtë: së pari, "polinomi" në kllapa ngrihet zyrtarisht në një fuqi. sipas rregullave të algjebrës, atëherë të gjithë termat që rezultojnë "shumohen" me u (i cili shtohet në n në numëruesit në) , dhe vetëm pas kësaj të gjitha simbolet e kthejnë vlerën e tyre si derivate dhe diferenciale u d) d u në variablin t në një interval: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Le të, përveç kësaj, si t ndryshon, pikat (, z) nuk shkojnë përtej rajonit D Duke zëvendësuar vlerat dhe z në funksionin u, marrim një funksion kompleks: u=f(φ(t), ψ(t), λ(t)) Supozoni se u ka derivate të pjesshme të vazhdueshme u, u dhe u z në dhe z dhe se t, t dhe z t ekzistojnë Atëherë është e mundur të vërtetohet ekzistenca e një derivati ​​të një funksioni kompleks dhe të llogaritet ai. I japim ndryshores t një rritje t , atëherë, dhe z do të marrin përkatësisht rritje, dhe z, funksioni u do të marrë një rritje u Le të paraqesim rritjen e funksionit u në formën: (kjo mund të bëhet, pasi kemi supozuar ekzistencën e derivateve të pjesshme të vazhdueshme u, u dhe u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, ku α, β, χ 0 at, z 0 I ndajmë të dyja pjesë e barazisë në t, marrim u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t t 4

5 Tani le ta lëmë shtimin t t'i afrohet zeros: atëherë, z do të priret në zero, pasi funksionet z të t janë të vazhdueshme (supozuam ekzistencën e derivateve t, t, z t), dhe për këtë arsye, α, β, χ gjithashtu priren në zero Në kufirin marrim u t =u t +u t +u z z t () Shohim se sipas supozimeve të bëra, derivati ​​i funksionit kompleks ekziston realisht , z në disa ndryshore t: =ϕ(t, v), = ψ(t, v), z=χ(t, v) Përveç ekzistencës dhe vazhdimësisë së derivateve të pjesshëm të funksionit f(, z), supozojmë këtu ekzistencën e derivateve të funksioneve, z në lidhje me t dhe v Kjo rasti nuk ndryshon ndjeshëm nga ai i konsideruar tashmë, pasi gjatë llogaritjes së derivatit të pjesshëm të një funksioni të dy ndryshoreve, ne rregullojmë njërën nga variablat dhe na mbetet një funksion i vetëm një ndryshoreje, formula () do të jetë e njëjta z, dhe () duhet të rishkruhet si: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Shembull u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funksionet e disa ndryshoreve Në shumë çështje të gjeometrisë së shkencave natyrore dhe disiplinave të tjera, duhet të trajtohen funksionet e dy tre ose më shumë ndryshoreve Shembuj: Sipërfaqja e një trekëndëshi S a h ku a është baza

13. Derivatet e pjesshme të rendit të lartë Le = të ketë dhe të përkufizohet në D O. Funksionet dhe quhen edhe derivate të pjesshëm të rendit të parë të një funksioni ose derivate të parë të pjesshëm të një funksioni. dhe në përgjithësi

Zbatimi Përkufizimi i derivatit Le të jenë dhe vlerat e argumentit, dhe f) dhe f) - ((vlerat përkatëse të funksionit f () Diferenca quhet rritje e argumentit, dhe diferenca është rritja e funksionit në segment,

Ushtrim praktik DIFERENCIMI I NJË FUNKSIONI KOMPLEKS DHE IMPLICIT Diferencimi i një funksioni kompleks Diferencimi i një funksioni të nënkuptuar i dhënë nga një ekuacion Sistemet e të dhënave implicite dhe parametrike

FUNKSIONET E SHUMË NDRYSHOREVE Funksionet e një ndryshoreje të pavarur nuk mbulojnë të gjitha varësitë që ekzistojnë në natyrë. Prandaj, është e natyrshme të zgjerohet dhe të prezantohet koncepti i njohur i varësisë funksionale

6 Funksionet e nënkuptuara 6.1 Përkufizimet, sfondi

1. Konceptet bazë. Funksionet e disa variablave. Ne do të studiojmë funksionin e disa ndryshoreve duke përdorur shembuj të funksioneve të dy dhe tre ndryshoreve, pasi të gjitha këto përkufizime dhe rezultatet e marra

2.2.7. Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta. Diferenciali i funksionit y = varet nga x dhe është pjesa kryesore e rritjes x. Ju gjithashtu mund të përdorni formulën: dy d Pastaj gabimi absolut:

Leksioni 9. Derivatet dhe diferencialet e rendit më të lartë, vetitë e tyre. Pikat ekstreme të funksionit. Teorema e Fermatit dhe e Rolit. Le të jetë funksioni y i diferencueshëm në një segment [b]. Në këtë rast, derivati ​​i tij

5 Pika në të cilën F F F ose të paktën një prej këtyre derivateve nuk ekziston quhet pikë singulare e sipërfaqes.Në një pikë të tillë, sipërfaqja mund të mos ketë një plan tangjent Përkufizimi Normal me sipërfaqen

INTEGRALI I PËRKUFIZUAR. Shumat integrale dhe integrali i caktuar Le të jetë një funksion y = f () i përcaktuar në segmentin [, b ], ku< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

EKUACIONET E ZAKONSHME DIFERENCIALE TË RENDIT TË PARË Konceptet themelore Një ekuacion diferencial është një ekuacion në të cilin një funksion i panjohur hyn nën shenjën derivatore ose diferenciale.

6. Diferenciali i një funksioni 1. Përkufizimi dhe kuptimi gjeometrik PËRKUFIZIM. Një funksion y = f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë x 0 nëse rritja e tij në këtë pikë mund të shkruhet si shuma e një lineare

Leksione Kapitulli Funksionet e disa ndryshoreve Konceptet themelore Disa funksione të disa ndryshoreve janë të njohura. Le të japim disa shembuj Për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi, dihet formula S e Heronit

~ 1 ~ FUNKSIONI I SHUMË NDRYSHOREVE 3 Funksioni i dy variablave, fusha e përkufizimit, mënyrat e specifikimit dhe kuptimi gjeometrik. Përkufizimi: z f, quhet funksion i dy ndryshoreve, nëse çdo çift vlerash,

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë të zgjidhura në lidhje me derivatin Ekzistenca dhe teorema unike për një zgjidhje Në rastin e përgjithshëm, një ekuacion diferencial i rendit të parë ka formën F ()

Leksioni 3 Ekstremumi i një funksioni të disa variablave Le të përcaktohet një funksion i disa ndryshoreve u = f (x, x) në domenin D, dhe pika x (x, x) = i përket këtij domeni. Funksioni u = f ( x, x) ka

Tema e modulit Sekuencat dhe seritë e funksionit Vetitë e konvergjencës uniforme të sekuencave dhe serive Seritë e fuqisë Leksion Përkufizimet e sekuencave dhe serive të funksioneve Në mënyrë të njëtrajtshme

9 Derivati ​​dhe diferenciali 91 Formulat dhe përkufizimet bazë për zgjidhjen e problemeve Përkufizim Le të përcaktohet funksioni y f () në ndonjë f (Δ) f () Δy fqinjësi të pikës Kufiri i relacionit për Δ Δ Δ, nëse

1 Tema 1. Ekuacionet diferenciale të rendit të parë 1.0. Përkufizime dhe teorema bazë Ekuacioni diferencial i rendit të parë: ndryshore e pavarur; y = y() është funksioni i dëshiruar; y = y () derivati ​​i tij.

Leksioni 8 Diferencimi i një funksioni kompleks Merrni parasysh një funksion kompleks t t f ku ϕ t t t t t t f t t t t t t t t t

UNIVERSITETI TEKNIK SHTETËROR I AVIACIONIT CIVIL TË MOSKËS V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

II EKUACIONET DIFERENCIALE Ekuacione diferenciale të rendit të parë Përkufizimi Marrëdhëniet në të cilat ndryshoret e panjohura dhe funksionet e tyre janë nën shenjën derivatore ose diferenciale quhen

6 Probleme që çojnë në konceptin e një derivati ​​Lëreni një pikë materiale të lëvizë në një vijë të drejtë në një drejtim sipas ligjit s f (t), ku t është koha dhe s është rruga e përshkuar nga pika në kohë t Shënoni një moment të caktuar

Leksioni 3. Integrali i pacaktuar. Integrali antiderivativ dhe i pacaktuar Në njehsimin diferencial, problemi zgjidhet: për një funksion të caktuar f () gjeni derivatin (ose diferencialin) e tij. Njehsimi integral

1 Leksion 7 Derivatet dhe diferencialet e rendit më të lartë Abstrakt: Prezantohet koncepti i një funksioni të diferencueshëm, jepet një interpretim gjeometrik i diferencialit të parë dhe vërtetohet pandryshueshmëria e tij.

Funksionet e disa argumenteve Koncepti i një funksioni për secilin element x nga bashkësia X sipas një ligji y \u003d f (x) shoqërohet me një vlerë të vetme të ndryshores y nga grupi Y në secilën palë numrash

Përpiluar nga VPBelkin 1 Leksion 1 Funksioni i disa variablave 1 Konceptet themelore Varësia \u003d f (1, n) e një ndryshoreje nga variablat 1, n quhet funksion i n argumenteve 1, n Në vijim do të shqyrtojmë

EKUACIONET DIFERENCIALE Koncepte të përgjithshme Ekuacionet diferenciale kanë aplikime të shumta dhe shumë të ndryshme në mekanikë, fizikë, astronomi, teknologji dhe në degë të tjera të matematikës së lartë (për shembull,

I Përkufizimi i një funksioni të disa ndryshoreve Fusha e përkufizimit Kur studiohen shumë dukuri, duhet të trajtohen funksionet e dy ose më shumë ndryshoreve të pavarura, për shembull, temperatura e trupit në një moment të caktuar.

Leksioni 8 Teoremat e Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange dhe L'Hospital

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Leksion 4 Diferencimi i funksioneve komplekse Diferencimi i nënkuptuar Kujtoni rregullin e diferencimit për funksionet e një ndryshoreje, i quajtur gjithashtu rregulli i zinxhirit (shih

Seksioni Llogaritja diferenciale e funksioneve të një dhe disa ndryshoreve Funksioni i argumentit real Numrat realë Numrat e plotë pozitivë quhen numra natyrorë Shtoni numrat natyrorë

Workshop: “Diferencibiliteti dhe diferenciali i një funksioni” Nëse funksioni y f () ka një derivat të fundëm në një pikë, atëherë rritja e funksionit në këtë pikë mund të përfaqësohet si: y (,) f () () () ku

Leksion Ekuacionet diferenciale të rendit të th Llojet kryesore të ekuacioneve diferenciale të rendit të th dhe zgjidhja e tyre Ekuacionet diferenciale janë një nga mjetet më të zakonshme të matematikës.

TEMA 1 FUNKSIONI DERIVATIV FUNKSIONI DIFERENCIAL PYETJE PROGRAMIKE: 11 Lidhja funksionale Kufiri i funksionit 1 Derivati ​​i funksionit 1 Kuptimi mekanik fizik dhe gjeometrik i derivatit 14 Themelore

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S I O Y F E D E R A T I O N INSTITUCIONI ARSIMOR AUTONOM SHTETËROR FEDERAL I ARSIMIT TË LARTË "Kërkimet Kombëtare

DISIPLINË Lënda "Matematika e Lartë", semestri Forma e studimit me korrespondencë TEMA Matrica Algjebra

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Diferencimi i funksioneve të disa variablave. Diferencimi i një funksioni në një pikë. Kushtet e mjaftueshme për diferencim përsa i përket derivateve të pjesshme. Diferencimi kompleks

Kapitulli 4 Limiti i një Funksioni 4 1 KONCEPTI I KUFIZIMIT TË NJË FUNKSIONI Ky kapitull fokusohet në konceptin e kufirit të një funksioni. Përcaktoi se cili është kufiri i një funksioni në pafundësi, dhe më pas kufiri në një pikë, kufijtë

LEKTURA 23 SHNDËRRIMET KANONIKE. TEOREMA E LIOUVILLE MBI RUAJTJEN E VËLLIMIT TË FAZËS. FUNKSIONI GJENERUES I TRANSFORMIMIT TË FALAS Ne vazhdojmë të studiojmë transformimet kanonike. Le të kujtojmë së pari kryesoren

Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Analiza matematikore Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e HPE që studiojnë me përdorimin e teknologjive në distancë Moduli 3 Llogaritja diferenciale e funksioneve të një

55 është në një vlerë pafundësisht të vogël të një rendit më të lartë të vogëlsisë në krahasim me ρ n (,), ku ρ () + (), atëherë mund të përfaqësohet në formën Peano n R, ρ Shembull Shkruani formulën e Taylor për n me

Tema Integral i caktuar Integral i caktuar Probleme që çojnë në konceptin e një integrali të caktuar Problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor Në sistemin koordinativ Oxy, jepet një trapez lakor,

5 Seritë e fuqisë 5 Seritë e fuqisë: përkufizimi, domeni i konvergjencës Seritë funksionale të formës (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) numrat quhen seri fuqie Numrat

Seritë numerike Sekuenca numerike Opr Një sekuencë numerike është një funksion numerik i përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë x - një anëtar i përbashkët i sekuencës x =, x =, x =, x =,

Ligjërata e ekuacioneve diferenciale 4 Ekuacionet në diferencialet totale. Faktori integrues Ligjërues Anna Igorevna Sherstneva 9. Ekuacionet në diferencialet totale Ekuacioni d + d = 14 quhet ekuacion

Fakulteti i Metalurgjisë Departamenti i Matematikës së Lartë

Analiza matematikore Seksioni: Funksioni i disa variablave Tema: Diferencimi i FNP (fund. Derivatet e pjesshme dhe diferencialet e FNP komplekse. Diferencimi i funksioneve implicite Ligjerues Rozhkova S.V.

(Teorema e Fermatit - Teorema e Darboux - Teorema e Rolit - Teorema e Lagranzhit - Teorema e vlerës mesatare - interpretimi gjeometrik i teoremës së vlerës mesatare - Teorema e Cauchy - formula e rritjes së fundme - Rregulli i L'Hopital

Kapitulli 4 Teoremat themelore të njehsimit diferencial Zbulimi i pasigurive Teoremat themelore të llogaritjes diferenciale Teorema e Fermatit (Pierre Fermat (6-665) Matematikan francez) Nëse funksioni y f

LEKTURA 7 LLOGARITJA DIFERENCIALE E NJË FUNKSIONI TË NJË VARIABLE 1 Koncepti i një derivati ​​të një funksioni

Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë Universiteti Shtetëror Teknologjik Vitebsk Tema. "Rreshtat" Departamenti i Matematikës Teorike dhe të Aplikuar. zhvilluar nga Assoc. E.B. Dunina. Kryesor

Leksioni 3 Seritë Taylor dhe Maclaurin Zbatimi i serive të fuqisë Zgjerimi i funksioneve në seritë e fuqisë Taylor dhe Maclaurin Për aplikime, është e rëndësishme të jeni në gjendje të zgjeroni një funksion të caktuar në një seri fuqie, ato funksione

58 Integral i caktuar Le të jepet funksioni () në interval.Ne do ta konsiderojmë funksionin të vazhdueshëm, edhe pse kjo nuk është e nevojshme.Ne zgjedhim numra arbitrar në intervalin, 3, n-, duke plotësuar kushtin:

Ekuacione diferenciale të rendit më të lartë. Konev V.V. Përvijimet e ligjëratës. Përmbajtja 1. Konceptet bazë 1 2. Ekuacionet që lejojnë reduktimin e rendit 2 3. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit më të lartë

Leksioni 20 TEOREMA MBI DERIVATIN E NJË FUNKSIONI KOMPLEKS. Le të jetë y = f(u) dhe u= u(x). Ne marrim një funksion y në varësi të argumentit x: y = f(u(x)). Funksioni i fundit quhet funksion i një funksioni ose një funksion kompleks.

Diferencimi i një funksioni të nënkuptuar Merrni parasysh funksionin (,) = C (C = konst) Ky ekuacion përcakton një funksion të nënkuptuar () Supozoni se e kemi zgjidhur këtë ekuacion dhe kemi gjetur një shprehje eksplicite = () Tani mund të

Instituti i Aviacionit në Moskë (Universiteti Kombëtar i Kërkimeve) Departamenti i Matematikës së Lartë Limitet Derivatet Funksionet e disa variablave Udhëzimet dhe opsionet e kontrollit

PUNË LABORATORIKE 7 FUNKSIONET E PËRGJITHSHME I. KONCEPTET THEMELORE DHE TEOREMAT Shënoni me D bashkësinë e të gjitha funksioneve të fundme pafundësisht të diferencueshme të një ndryshoreje reale. Kjo

Kapitulli 3. Hetimi i funksioneve me ndihmën e derivateve 3.1. Ekstremimet dhe monotonia Konsideroni një funksion y = f () të përcaktuar në një interval I R. Thuhet se ai ka një maksimum lokal në pikën

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik А.Н. Kanatnikov,

Udhëzimet dhe variantet e RGR mbi temën Funksioni i disa variablave për studentët e specialitetit Dizajn. Nëse sasia përcaktohet në mënyrë unike duke vendosur vlerat e sasive dhe të pavarura nga njëra-tjetra,

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

UDHËZIME METODOLOGJIKE PËR DETYRA LLOGARIMORE NË KURSIN E MATEMATIKËS SË LARTË "EKUACIONET E ZAKONSHME DIFERENCIALE SERIA INTEGRALET DYFISHTE" PJESA III SERIA TEMATIVE Përmbajtja Seritë Seritë numerike Konvergjenca dhe diferenca

Kufiri i funksionit. Përkufizimi i kufirit të sekuencës së numrave. Një sekuencë numerike e pafundme (ose thjesht një sekuencë numerike) është një funksion f f (, i përcaktuar në grupin e të gjithëve

Leksioni 19 DERIVATI DHE ZBATIMET E TIJ. PËRKUFIZIMI I DERIVATIT. Le të kemi një funksion y=f(x) të përcaktuar në një interval. Për çdo vlerë të argumentit x nga ky interval, funksioni y=f(x)

Llogaritja diferenciale e funksioneve të disa ndryshoreve Funksionet e disa variablave Një sasi quhet funksion i ndryshoreve n nëse çdo pikë M n që i përket një grupi X është caktuar

LEKTURA N 7 .Fuqia

Leksioni 3 Teorema e ekzistencës dhe unike për një zgjidhje të një ekuacioni skalar Paraqitja e problemit Rezultati kryesor Merrni parasysh problemin Cauchy d f () d =, () =

Agjencia Federale e Arsimit Universiteti Shtetëror i Gjeodezisë dhe Hartografisë në Moskë (MIIGAiK) UDHËZIME METODOLOGJIKE DHE DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR në lëndën MATEMATIKA E LARTË