Prodhimi i koleksionit:

MBI DIFERENCIALIN E RENDIT TË DYTË

Lovkov Ivan Yurievich

student i Universitetit Shtetëror të Moskës të Teknologjive të Informacionit, Inxhinierisë së Radios dhe Elektronikës, RF, Serpukhov

E- postë: alkasardancer@ endacak. sq

Taperechkina Vera Alekseevna

sinqertë. Fiz.-Math. Shkenca, Profesor i Asociuar, Universiteti Shtetëror i Moskës i Teknologjive të Informacionit, Inxhinierisë së Radios dhe Elektronikës, Federata Ruse, Serpukhov

RRETH DIFERENCIALIT TË RENDIT TË DYTË

Lovkov Ivan

student i Universitetit Shtetëror të Moskës të Teknologjive të Informacionit, Radio Inxhinierisë dhe Elektronikës, Rusi, Serpukhov

Vera Taperechkina

kandidat i Shkencave Fizike dhe Matematikore, profesor i asociuar i Universitetit Shtetëror të Moskës të Teknologjive të Informacionit, Inxhinierisë së Radios dhe Elektronikës, Rusi, Serpukhov

SHËNIM

Punimi shqyrton metodat për gjetjen e derivateve dhe diferencialeve të rendit të parë dhe të dytë për funksionet komplekse të dy variablave.

ABSTRAKT

Metodat e llogaritjes së diferencialeve të derivatit dhe të parë dhe të dytë për funksionet e përbëra të dy ndryshoreve.

Fjalë kyçe: derivatet e pjesshme; diferencial.

fjalë kyçe: derivatet e pjesshme; diferencial.

1. Prezantimi.

Le të formulojmë disa fakte nga teoria e funksioneve të disa variablave, të cilat do të na duhen më poshtë.

Përkufizimi: Një funksion z=f(u, v) quhet i diferencueshëm në një pikë (u, v) nëse rritja e tij Δz mund të përfaqësohet si:

Pjesa lineare e inkrementit quhet diferencial total dhe shënohet dz.

Teorema (kusht i mjaftueshëm për diferencim) kf.

Nëse në ndonjë lagje të m.(u, v) ekzistojnë derivate të pjesshëm të vazhdueshëm dhe , atëherë funksioni f(u, v) është i diferencueshëm në këtë pikë dhe

(du=Δu, dv=Δv). (1)

Përkufizimi: Diferenciali i dytë i funksionit z=f(u, v) në një pikë të caktuar (u, v) është diferenciali i parë i diferencialit të parë të funksionit f(u, v), d.m.th.

Nga përkufizimi i diferencialit të dytë z=f(u, v), ku u dhe v janë variabla të pavarur, rrjedh

Kështu, formula është e vlefshme:

Gjatë nxjerrjes së formulës, u përdor teorema e Schwartz-it mbi barazinë e derivateve të përzier. Kjo barazi është e vlefshme me kusht që janë të përcaktuara në një lagje të m.(u, v) dhe të vazhdueshme në m.(u, v). Shiko

Formula për gjetjen e diferencialit të 2-të mund të shkruhet simbolikisht në formën e mëposhtme: – katrorimi formal i kllapës me shumëzim formal pasues djathtas me f(x y) jep formulën e fituar më parë. Në mënyrë të ngjashme, formula për diferencialin e tretë është e vlefshme:

Dhe në përgjithësi:

Ku ngritja formale në fuqinë e n-të kryhet sipas formulës binomiale të Njutonit:

;

Vini re se diferenciali i parë i një funksioni të dy variablave ka vetinë e formës së pandryshueshmërisë. Kjo do të thotë, nëse u dhe v janë variabla të pavarur, atëherë për funksionin z=f(u, v), sipas (1)

Le të jenë tani u=u(x y), v=v(x y), pastaj z=f(u(x y), v(x y)), x dhe y janë ndryshore të pavarura, atëherë

Përdorimi i formulave të njohura për derivatin e një funksioni kompleks:

Pastaj nga (3) dhe (4) marrim:

Kështu,

(5)

Ku - diferenciali i parë i funksionit u, - diferenciali i parë i funksionit v.

Duke krahasuar (1) dhe (5), shohim se formula për dz mbetet e shkruar zyrtarisht, por nëse në (1) du=Δu, dv=Δv janë rritje të ndryshoreve të pavarura, atëherë në (5) du dhe dv janë diferenciale të funksionet u dhe v.

2. Diferenciali i dytë i një funksioni të përbërë prej dy ndryshoresh.

Para së gjithash, ne tregojmë se diferenciali i dytë nuk ka vetinë e pandryshueshmërisë së formës.

Le të z=z(u, v) në rastin e ndryshoreve të pavarura u dhe v, diferenciali i dytë gjendet me formulën (2)

Le tashti u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), ku x dhe y janë variabla të pavarur. Pastaj

.

Pra, më në fund morëm:

Formulat (2) dhe (6) nuk përkojnë në formë, prandaj, diferenciali i dytë nuk ka vetinë e pandryshueshmërisë.

Më parë, formulat e derivateve të pjesshme të rendit të parë janë nxjerrë për një funksion kompleks z=f(u, v), ku u=u(x y), v=v(x y), ku x dhe y janë ndryshore të pavarura, shih.

Ne nxjerrim formula për llogaritjen e derivateve të pjesshme dhe një diferencial të rendit të dytë për funksionin z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), ku x dhe y janë variabla të pavarur.

Për funksionet u(x y), v(x y) të ndryshoreve të pavarura x, y, kemi formulat:

Le të zëvendësojmë formulat (8) në (6).

Kështu, ne kemi marrë një formulë për diferencialin e rendit të dytë të një funksioni kompleks të dy ndryshoreve.

Duke krahasuar koeficientët për derivatet e pjesshëm të rendit të dytë të një funksioni kompleks të dy variablave në (2) dhe (9), marrim formulat:

Shembull 1 cm

Le të z=f(u, v), u=xy, v=. Gjeni diferencialin e dytë.

Zgjidhje: llogaritni derivatet e pjesshme:

, , , ,

, ,

Siç mund ta shihni, për të gjetur diferencialin, duhet të shumëzoni derivatin me dx. Kjo ju lejon të shkruani menjëherë tabelën përkatëse për diferencialet nga tabela e formulave për derivatet.

Diferenciali total për një funksion të dy variablave:

Diferenciali total për një funksion të tre variablave është i barabartë me shumën e diferencialeve të pjesshme: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Përkufizimi . Një funksion y=f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë x 0 nëse rritja e tij në këtë pikë mund të përfaqësohet si ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, ku A është një konstante dhe α(∆ x) është pafundësisht i vogël sa ∆x → 0.
Kërkesa që një funksion të jetë i diferencueshëm në një pikë është ekuivalente me ekzistencën e një derivati ​​në këtë pikë, me A=f'(x 0).

Le të jetë f(x) i diferencueshëm në një pikë x 0 dhe f "(x 0)≠0 , atëherë ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, ku α= α(∆x) →0 si ∆x → 0. Sasia ∆y dhe çdo term në anën e djathtë janë vlera infiniteminale si ∆x→0. Le t'i krahasojmë ato: , pra, α(∆x)∆x është një rend infinitimal më i lartë se f’(x 0)∆x.
, pra ∆y~f’(x 0)∆x. Prandaj, f’(x 0)∆x është kryesore dhe në të njëjtën kohë lineare në lidhje me ∆x pjesë e inkrementit ∆y (do të thotë lineare që përmban ∆x në shkallën e parë). Ky term quhet diferencial i funksionit y \u003d f (x) në pikën x 0 dhe shënohet dy (x 0) ose df (x 0). Pra, për x arbitrar
dy=f′(x)∆x. (1)
Le të jetë dx=∆x, atëherë
dy=f′(x)dx. (2)

Shembull. Gjeni derivatet dhe diferencialet e këtyre funksioneve.
a) y=4tg2x
Zgjidhja:

diferencial:
b)
Zgjidhja:

diferencial:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Zgjidhja:

diferencial:
G)
Zgjidhja:
=
diferencial:

Shembull. Për funksionin y=x 3 gjeni një shprehje për ∆y dhe dy për disa vlera të x dhe ∆x.
Zgjidhje. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (morëm pjesën kryesore lineare të ∆y në lidhje me ∆x). Në këtë rast, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Përkufizimi: Diferenciali total i një funksioni disa variabla quhet shuma e të gjithë diferencialeve të tyre të pjesshme:

Shembulli 1: .

Zgjidhje:

Meqenëse derivatet e pjesshëm të këtij funksioni janë të barabartë:

Atëherë mund të shkruajmë menjëherë diferencat e pjesshme të këtyre funksioneve:

, ,

Atëherë diferenciali total i funksionit do të duket si:

.

Shembulli 2 Gjeni diferencialin e plotë të një funksioni

Zgjidhja:

Ky funksion është kompleks, d.m.th. mund të imagjinohet si

Gjejmë derivate të pjesshme:

Diferenciali i plotë:

Kuptimi analitik i diferencialit total është se diferenciali total i një funksioni të disa variablave është pjesa kryesore e rritjes totale të këtij funksioni, pra ka një barazi të përafërt: ∆z≈dz.

Megjithatë, duhet mbajtur mend se këto barazi të përafërta janë të vlefshme vetëm për diferencialet e vogla dx dhe dy të argumenteve të funksionit z=f(x,y).

Përdorimi i diferencialit total në llogaritjet e përafërta bazohet në përdorimin e formulës ∆z≈dz.

Në të vërtetë, nëse në këtë formulë rritja ∆z e funksionit paraqitet si , dhe diferenciali total si , atëherë marrim:

≈ ,

Formula që rezulton mund të përdoret për të gjetur përafërsisht vlerën "e re" të një funksioni të dy variablave, të cilin e merr me rritje mjaft të vogla të të dy argumenteve të tij.

Shembull. Gjeni vlerën e përafërt të një funksioni , me vlerat e mëposhtme të argumenteve të tij: 1.01, .

Zgjidhje.

Duke zëvendësuar derivatet e pjesshme të funksioneve të gjetura më herët në formulë, marrim:

Kur zëvendësojmë vlerat x=1, ∆x=0.01, y=2, ∆y=0.02, marrim:

fushë skalare.

Nëse në secilën pikë të një rajoni të hapësirës D jepet funksioni U(p)=U(x,y,z), atëherë thuhet se në rajonin D është dhënë një fushë skalare.

Nëse, për shembull, U(x, y, z) tregon temperaturën në pikën M(x, y, z), atëherë themi se është dhënë një fushë e temperaturës skalare. Nëse rajoni D është i mbushur me lëng ose gaz dhe U(x,y,z) tregon presion, atëherë ekziston një fushë presioni skalare. Nëse renditja e ngarkesave ose trupave masive jepet në hapësirë, atëherë flitet për një fushë potenciale.

Fusha skalar quhet i palëvizshëm, nëse funksioni U(x,y,z) nuk ndryshon me kohën: U(x,y,z) ≠ f(t).

Çdo fushë e palëvizshme karakterizohet nga:

1) sipërfaqja e nivelit të fushës skalare

2) shkalla e ndryshimit të fushës në një drejtim të caktuar.

Sipërfaqja e nivelit fusha skalare është vendndodhja e pikave në të cilat funksioni U(x,y,z) merr një vlerë konstante, pra U(x,y,z) = konst. Mbledhja e këtyre pikave formon një sipërfaqe të caktuar. Nëse marrim një konstante tjetër, marrim një sipërfaqe tjetër.

Shembull: Le të jepet një fushë skalare. Një shembull i një fushe të tillë është fusha potenciale elektrike e një ngarkese elektrike me pikë (+q). Këtu, sipërfaqet e nivelit janë sipërfaqet ekuipotenciale , pra sfera në qendër të të cilave ka një ngarkesë që krijon një fushë.

Drejtimi i rritjes më të madhe të një funksioni skalar jepet nga një vektor i quajtur gradient dhe shënohet me simbolin (ose ).

Gradienti i funksionit gjendet në terma të derivateve të pjesshme të këtij funksioni dhe është gjithmonë pingul me sipërfaqen e nivelit të fushës skalare në një pikë të caktuar:

, Ku

Vektorët njësi përkatësisht përgjatë boshteve OX, OY, OZ

Derivati ​​i funksionit U(x,y,z) në çdo drejtim tjetër (λ) përcaktohet me formulën:

, Ku

α, β, γ janë këndet ndërmjet boshteve koordinative OX, OY, OZ dhe drejtimit përkatësisht.

Derivatet e pjesshme të funksioneve të dy ndryshoreve.
Koncepti dhe shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim, ne do të vazhdojmë njohjen tonë me funksionin e dy variablave dhe do të shqyrtojmë, ndoshta, detyrën më të zakonshme tematike - gjetjen derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë, si dhe diferenciali total i funksionit. Studentët me kohë të pjesshme, si rregull, përballen me derivate të pjesshme në vitin e parë në semestrin e dytë. Për më tepër, sipas vëzhgimeve të mia, detyra e gjetjes së derivateve të pjesshme gjendet pothuajse gjithmonë në provim.

Për të studiuar në mënyrë efektive materialin e mëposhtëm, ju e nevojshme të jetë në gjendje të gjejë pak a shumë me siguri derivatet "e zakonshme" të një funksioni të një ndryshoreje. Ju mund të mësoni se si t'i trajtoni saktë derivatet në mësime Si të gjeni derivatin? Dhe Derivat i një funksioni të përbërë. Ne gjithashtu kemi nevojë për një tabelë të derivateve të funksioneve elementare dhe rregullave të diferencimit, është më e përshtatshme nëse është në dispozicion në formë të shtypur. Ju mund të gjeni material referues në faqe Formula dhe tabela matematikore.

Le të përsërisim shpejt konceptin e një funksioni të dy ndryshoreve, do të përpiqem të kufizoj veten në minimumin e thjeshtë. Një funksion i dy variablave zakonisht shkruhet si , me variablat që thirren variablat e pavarur ose argumentet.

Shembull: - një funksion i dy ndryshoreve.

Ndonjëherë përdoret shënimi. Ka edhe detyra ku përdoret shkronja në vend të shkronjës.

Nga pikëpamja gjeometrike, një funksion i dy ndryshoreve është më së shpeshti një sipërfaqe e hapësirës tredimensionale (rrafsh, cilindër, top, paraboloid, hiperboloid, etj.). Por, në fakt, kjo është tashmë një gjeometri më analitike dhe ne kemi në rendin e ditës analizën matematikore, të cilën mësuesja ime e universitetit nuk më ka lënë kurrë t'i fshij është "kali".

Ne i drejtohemi çështjes së gjetjes së derivateve të pjesshme të rendit të parë dhe të dytë. Unë kam një lajm të mirë për ata prej jush që kanë pirë disa filxhanë kafe dhe janë në humor për materiale të paimagjinueshme të vështira: derivatet e pjesshme janë pothuajse të njëjta me derivatet "e zakonshme" të një funksioni të një ndryshoreje.

Për derivatet e pjesshme vlejnë të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Ka vetëm disa dallime të vogla që do të mësojmë tani:

... po, meqë ra fjala, për këtë temë kam krijuar libër i vogël pdf, e cila do t'ju lejojë të "mbushni dorën" në vetëm disa orë. Por, duke përdorur faqen, ju, natyrisht, do të merrni gjithashtu rezultatin - thjesht ndoshta pak më ngadalë:

Shembulli 1

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë dhe të dytë të një funksioni

Së pari, gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Janë dy prej tyre.

Shënimi:
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "x"
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "y"

Le të fillojmë me. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", atëherë ndryshorja konsiderohet konstante (numër konstant).

Komentet për veprimet e ndërmarra:

(1) Gjëja e parë që bëjmë kur gjejmë derivatin e pjesshëm është të konkludojmë të gjitha funksioni në kllapa nën vizë me nënshkrim.

Vëmendje e rëndësishme! Abonimet NUK HUMBEN gjatë rrjedhës së zgjidhjes. Në këtë rast, nëse vizatoni një "goditje" diku pa, atëherë mësuesi, të paktën, mund ta vendosë atë pranë detyrës (menjëherë kafshojë një pjesë të rezultatit për pavëmendje).

(2) Përdorni rregullat e diferencimit , . Për një shembull të thjeshtë si ky, të dy rregullat mund të zbatohen në të njëjtin hap. Kushtojini vëmendje termit të parë: pasi konsiderohet konstante dhe çdo konstante mund të hiqet nga shenja e derivatit, pastaj e nxjerrim nga kllapa. Kjo do të thotë, në këtë situatë, nuk është më mirë se një numër i rregullt. Tani le të shohim termin e tretë: këtu, përkundrazi, nuk ka asgjë për të hequr. Meqenëse është një konstante, është gjithashtu një konstante, dhe në këtë kuptim nuk është më i mirë se termi i fundit - "shtatë".

(3) Ne përdorim derivate tabelare dhe .

(4) Ne thjeshtojmë, ose, siç dua të them, "kombinojmë" përgjigjen.

Tani . Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "y", atëherë ndryshorenkonsiderohet konstante (numër konstant).

(1) Ne përdorim të njëjtat rregulla diferencimi , . Në termin e parë nxjerrim konstanten përtej shenjës së derivatit, në termin e dytë nuk mund të hiqet asgjë sepse tashmë është konstante.

(2) Ne përdorim tabelën e derivateve të funksioneve elementare. Ndryshoni mendërisht në tabelë të gjitha "X" në "Y". Kjo do të thotë, kjo tabelë është po aq e vlefshme për (dhe në të vërtetë për pothuajse çdo shkronjë). Në veçanti, formulat që përdorim duken kështu: dhe .

Cili është kuptimi i derivateve të pjesshme?

Në thelbin e tyre, derivatet e pjesshme të rendit të parë ngjajnë derivat "i zakonshëm".:

- Kjo funksione, të cilat karakterizojnë shkalla e ndryshimit funksionon në drejtim të akseve dhe përkatësisht. Kështu, për shembull, funksioni karakterizon pjerrësinë e "ngjitjeve" dhe "shpateve" sipërfaqeve në drejtim të boshtit të abshisës, dhe funksioni na tregon për "relievin" e së njëjtës sipërfaqe në drejtim të boshtit të ordinatave.

! shënim : këtu i referohet drejtimeve që janë paralele boshtet e koordinatave.

Për hir të një kuptimi më të mirë, le të shqyrtojmë një pikë specifike të planit dhe të llogarisim vlerën e funksionit ("lartësi") në të:
- dhe tani imagjinoni që jeni këtu (NË VETË sipërfaqen).

Ne llogarisim derivatin e pjesshëm në lidhje me "x" në një pikë të caktuar:

Shenja negative e derivatit "X" na tregon për duke zbritur funksionon në një pikë në drejtim të boshtit x. Me fjalë të tjera, nëse bëjmë një të vogël-të vogël (pafundësisht i vogël) hap drejt majës së boshtit (paralel me këtë bosht), pastaj zbrisni pjerrësinë e sipërfaqes.

Tani zbulojmë natyrën e "terrenit" në drejtim të boshtit y:

Derivati ​​në lidhje me "y" është pozitiv, prandaj, në një pikë përgjatë boshtit, funksioni rritet. Nëse është mjaft e thjeshtë, atëherë këtu jemi duke pritur për një ngjitje përpjetë.

Përveç kësaj, derivati ​​i pjesshëm në një pikë karakterizon shkalla e ndryshimit funksionon në drejtimin përkatës. Sa më e madhe të jetë vlera që rezulton modul- sa më e pjerrët të jetë sipërfaqja, dhe anasjelltas, sa më afër zeros, aq më e sheshtë është sipërfaqja. Pra, në shembullin tonë, "pjerrësia" në drejtim të boshtit të abshisës është më e pjerrët se "mali" në drejtim të boshtit të ordinatave.

Por këto ishin dy rrugë private. Është shumë e qartë se nga pika në të cilën jemi, (dhe në përgjithësi nga çdo pikë e sipërfaqes së dhënë) ne mund të lëvizim në një drejtim tjetër. Kështu, ka një interes për hartimin e një "karte navigimi" të përgjithshëm që do të na tregonte për "peizazhin" e sipërfaqes. nëse është e mundur në çdo pikë fushëveprimi i këtij funksioni në të gjitha mënyrat e disponueshme. Unë do të flas për këtë dhe gjëra të tjera interesante në një nga mësimet e ardhshme, por tani për tani, le të kthehemi në anën teknike të çështjes.

Ne sistemojmë rregullat elementare të aplikuara:

1) Kur diferencojmë me , atëherë ndryshorja konsiderohet konstante.

2) Kur diferencimi kryhet sipas, atëherë konsiderohet konstante.

3) Rregullat dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare janë të vlefshme dhe të zbatueshme për çdo ndryshore (ose çdo tjetër) në lidhje me të cilën kryhet diferencimi.

Hapi dy. Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Janë katër prej tyre.

Shënimi:
ose - derivati ​​i dytë në lidhje me "x"
ose - derivati ​​i dytë në lidhje me "y"
ose - të përziera derivati ​​"x nga y"
ose - të përziera derivati ​​"Y me X"

Nuk ka probleme me derivatin e dytë. Me fjalë të thjeshta, derivati ​​i dytë është derivati ​​i derivatit të parë.

Për lehtësi, unë do të rishkruaj derivatet e pjesshme të rendit të parë të gjetura tashmë:

Së pari gjejmë derivatet e përzier:

Siç mund ta shihni, gjithçka është e thjeshtë: marrim derivatin e pjesshëm dhe e diferencojmë përsëri, por në këtë rast, tashmë me "y".

Në mënyrë të ngjashme:

Në shembuj praktikë, mund të përqendroheni në barazinë e mëposhtme:

Kështu, përmes derivateve të përzier të rendit të dytë, është shumë e përshtatshme të kontrollojmë nëse i kemi gjetur saktë derivatet e pjesshme të rendit të parë.

Derivatin e dytë e gjejmë në lidhje me "x".
Asnjë shpikje, ne marrim dhe diferencojeni përsëri me "X":

Në mënyrë të ngjashme:

Duhet të theksohet se kur të gjeni, duhet të tregoni vëmendje e shtuar, pasi nuk ka barazi të mrekullueshme për t'i testuar ato.

Derivatet e dyta gjejnë gjithashtu zbatim të gjerë praktik, në veçanti, ato përdoren në problemin e gjetjes ekstreme të një funksioni të dy ndryshoreve. Por çdo gjë ka kohën e vet:

Shembulli 2

Llogaritni derivatet e pjesshme të rendit të parë të funksionit në pikën . Gjeni derivatet e rendit të dytë.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigjet në fund të orës së mësimit). Nëse keni vështirësi në dallimin e rrënjëve, kthehuni te mësimi Si të gjeni derivatin? Në përgjithësi, shumë shpejt do të mësoni se si të gjeni derivate të ngjashëm në fluturim.

Ne e mbushim dorën me shembuj më kompleksë:

Shembulli 3

Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Zgjidhje: Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të parë:

Kushtojini vëmendje nënshkrimit: pranë "x" nuk është e ndaluar të shkruhet në kllapa se është një konstante. Kjo shenjë mund të jetë shumë e dobishme për fillestarët për ta bërë më të lehtë lundrimin në zgjidhje.

Komentet e mëtejshme:

(1) Ne nxjerrim të gjitha konstantet jashtë shenjës së derivatit. Në këtë rast, dhe , dhe, kështu, produkti i tyre konsiderohet një numër konstant.

(2) Mos harroni se si të dalloni siç duhet rrënjët.

(1) Të gjitha konstantet i nxjerrim nga shenja e derivatit, në këtë rast konstanta është .

(2) Nën prim, ne kemi produktin e dy funksioneve, prandaj, duhet të përdorim rregullin e diferencimit të produktit .

(3) Mos harroni se është një funksion kompleks (edhe pse më i thjeshtë nga ata kompleks). Ne përdorim rregullin përkatës: .

Tani gjejmë derivate të përzier të rendit të dytë:

Kjo do të thotë që të gjitha llogaritjet janë të sakta.

Le të shkruajmë diferencialin total. Në kontekstin e detyrës në shqyrtim, nuk ka kuptim të tregohet se cili është diferenciali total i një funksioni të dy variablave. Është e rëndësishme që ky dallim shumë shpesh duhet të shkruhet në problemet praktike.

Diferenciali total i rendit të parë funksionet e dy variablave kanë formën:

Në këtë rast:

Kjo do të thotë, në formulë thjesht duhet të zëvendësoni marrëzi vetëm derivatet e pjesshme të gjetura tashmë të rendit të parë. Ikonat diferenciale dhe në këtë dhe situata të ngjashme, nëse është e mundur, është më mirë të shkruani në numërues:

Dhe me kërkesë të përsëritur të lexuesve, diferencial i plotë i rendit të dytë.

Duket kështu:

Gjeni me kujdes derivatet "me një shkronjë" të rendit të dytë:

dhe shkruani "përbindëshin", duke "lidhur" me kujdes katrorët, produktin dhe duke mos harruar të dyfishoni derivatin e përzier:

Është në rregull nëse diçka ju dukej e vështirë, ju gjithmonë mund t'i ktheheni derivateve më vonë, pasi të keni përdorur teknikën e diferencimit:

Shembulli 4

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni . Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Shqyrtoni një seri shembujsh me funksione komplekse:

Shembulli 5

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë të funksionit .

Zgjidhja:

Shembulli 6

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .
Shkruani diferencialin total.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të mësimit). Unë nuk do të postoj zgjidhjen e plotë sepse është mjaft e thjeshtë.

Shumë shpesh, të gjitha rregullat e mësipërme zbatohen në kombinim.

Shembulli 7

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .

(1) Ne përdorim rregullin e diferencimit të shumës

(2) Termi i parë në këtë rast konsiderohet konstante, pasi nuk ka asgjë në shprehjen që varet nga "x" - vetëm "y". E dini, është gjithmonë mirë kur një thyesë mund të kthehet në zero). Për mandatin e dytë, ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit. Nga rruga, në këtë kuptim, asgjë nuk do të ndryshonte nëse në vend të kësaj do të jepej një funksion - është e rëndësishme që këtu produkt i dy funksioneve, Secila prej të cilave varet nga "X", dhe për këtë arsye, ju duhet të përdorni rregullin e diferencimit të produktit. Për termin e tretë zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.

(1) Termi i parë si në numërues ashtu edhe në emërues përmban një "y", prandaj, duhet të përdorni rregullin për diferencimin e herësit: . Termi i dytë varet VETËM nga "x", që do të thotë se konsiderohet konstante dhe kthehet në zero. Për termin e tretë, ne përdorim rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.

Për ata lexues që me guxim ia dolën pothuajse në fund të mësimit, do t'ju tregoj një anekdotë të vjetër të Mekhmatov për detentim:

Dikur një derivat i keq u shfaq në hapësirën e funksioneve dhe si shkoi për të diferencuar të gjithë. Të gjitha funksionet shpërndahen në të gjitha drejtimet, askush nuk dëshiron të kthehet! Dhe vetëm një funksion nuk ikën askund. Derivati ​​i afrohet dhe pyet:

"Pse nuk po ik nga unë?"

- Ha. Por nuk më intereson, sepse unë jam "e në fuqinë e x", dhe ju nuk mund të më bëni asgjë!

Për të cilën derivati ​​i keq me një buzëqeshje tinëzare përgjigjet:

- Këtu e keni gabim, unë do t'ju diferencoj me "y", prandaj bëhu zero për ty.

Kush e kuptoi batutën, i zotëronte derivatet, të paktën për “trojkën”).

Shembulli 8

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një zgjidhje e plotë dhe një model model i problemit janë në fund të mësimit.

Epo, kjo është pothuajse e gjitha. Së fundi, nuk mund të mos ju lutem matematikanëve me një shembull më shumë. Nuk bëhet fjalë as për amatorët, të gjithë kanë një nivel të ndryshëm trajnimi matematikor - ka njerëz (dhe jo aq të rrallë) që pëlqejnë të konkurrojnë me detyra më të vështira. Megjithëse, shembulli i fundit në këtë mësim nuk është aq i ndërlikuar sa i rëndë për sa i përket llogaritjeve.

Konsideroni një funksion të dy ndryshoreve z=f(x, y) dhe shtimi total i tij në pikë M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Përkufizimi. Nëse ka numra P Dhe P e tillë që rritja totale mund të paraqitet si

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

ku dhe ε→ 0 në Δρ→ 0 , pastaj shprehja PΔx + QΔy quhet diferencial total i funksionit z=f(x,y) në pikën M0 (x0,y0).

Në këtë rast, rritja e plotë e funksionit përbëhet nga dy pjesë: pjesa e parë PΔx + QΔyështë lineare në lidhje me Δx Dhe Δy, i dyti është një rend pafundësisht i vogël në krahasim me .

Diferenciali total i një funksioni z=f(x,y) shënohet me dz, kjo eshte

dz = PΔx+QΔy.

Një funksion që ka një diferencial total në një pikë të caktuar quhet i diferencueshëm në atë pikë.

Teorema. Nëse u=f(M) i diferencueshëm në një pikë M0, atëherë ajo është e vazhdueshme në të.

Koment. Vazhdimësia e një funksioni të dy variablave nuk nënkupton diferencimin e tij.

Shembull. të vazhdueshme në (0,0) , por nuk ka derivat të pjesshëm - nuk ekziston. Në mënyrë të ngjashme, nuk ka asnjë derivat të pjesshëm në lidhje me y. Prandaj, funksioni nuk është i diferencueshëm.

Teorema [kusht i domosdoshëm për diferencim]. Nëse z=f(x,y) i diferencueshëm në një pikë M0, atëherë ka derivate të pjesshme në lidhje me x Dhe y, dhe

f′ x (x 0, y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Koment. Diferencimi nuk rrjedh nga ekzistenca e derivateve të pjesshme. Shembull:

Ne kemi , por funksioni nuk është i vazhdueshëm, pra nuk është i diferencueshëm.

Teorema [kusht i mjaftueshëm për diferencim]. Nëse derivatet e para të pjesshme të funksioneve z=f(x,y) janë përcaktuar në ndonjë lagje të pikës M0 (x0,y0) dhe të vazhdueshme në pikë M0, atëherë funksioni i dhënë ka një diferencial total në këtë pikë.

Koment. Ne kemi

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

Ku ε→ 0 në Δρ→ 0 . Prandaj,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Kjo formulë përdoret në llogaritjet e përafërta.

Në fikse Δx Dhe Δy diferenciali total është funksion i variablave x Dhe y:

Le të vendosim dx=Δx, dy=Δy dhe i quajmë këto sasi diferenciale të ndryshoreve të pavarura.

Pastaj marrim formulën

domethënë, diferenciali total i një funksioni është i barabartë me shumën e produkteve të derivateve të parë të pjesshëm dhe diferencialeve përkatëse të argumenteve.

Diferenciali total i një funksioni prej tre variablash përcaktohet dhe shprehet në mënyrë të ngjashme. Nëse u=f(x, y, z) dhe ka numra P, P, R sikurse

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 në δρ→ 0 ,

atëherë diferenciali total është shprehja

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Nëse derivatet e parë të pjesshëm të këtij funksioni janë të vazhdueshme, atëherë

Ku dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Përkufizimi. Diferenciali total i rendit të dytë i disa funksioneve është diferenciali total i diferencialit total të tij.

Nëse z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Kjo

Plani tangjent dhe sipërfaqja normale

Merrni parasysh sipërfaqen S, dhënë nga ekuacioni

z=f(x, y).

Le f(x, y) ka derivate të pjesshme në disa fusha. Merrni parasysh M 0 (x 0 , y 0).

- pjerrësia e tangjentes në pikë M0 në seksionin e sipërfaqes nga rrafshi y=y0, pra te vija z=f(x,y 0). Tangjentja e kësaj linje është:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

Në mënyrë të ngjashme, një seksion nga një aeroplan x=x0 jep ekuacionin

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Aeroplani që përmban të dyja këto rreshta ka ekuacionin

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

dhe quhet rrafshi tangjent me sipërfaqen S në pikën P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Vini re se ekuacioni i planit tangjent mund të rishkruhet si

z-z 0 =df.

Kështu, kuptimi gjeometrik i diferencialit total është: diferenciali në një pikë M0 për rritje (x-x 0 , y-y 0)është rritja e pikës së aplikimit të rrafshit tangjent me sipërfaqen z=f(x,y) në pikën (x0, y0) për të njëjtat rritje.

Plani tangjent ka një vektor normal në pikë (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Një vijë që kalon nëpër një pikë P0 dhe ka një vektor drejtimi \vec(n), quhet normalja në sipërfaqe z=f(x,y) në këtë pikë. Ekuacionet e saj janë:

Diferencimi i funksioneve komplekse

Le të jepet një funksion i diferencueshëm z=F(v, w), argumentet e të cilit janë funksione të diferencueshme të ndryshoreve x Dhe y:

v=v(x, y), w=w(x, y).

Nëse në të njëjtën kohë funksioni

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

ka kuptim, atëherë quhet funksion kompleks i x Dhe y.

Teorema. Derivatet e pjesshme z′ x, z y funksionet komplekse ekzistojnë dhe shprehen me formula

Nëse v Dhe w- funksionet e diferencueshme të një ndryshoreje t, kjo eshte

v=v(t), w=w(t),

dhe funksioni ka kuptim

z=F(v(t), w(t))=f(t),

atëherë derivati ​​i tij shprehet me formulën

Ky derivat quhet derivat total.

Nëse jepet një funksion i diferencueshëm

u=F(ξ, η, ζ),

argumentet e të cilit ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- funksionet e diferencueshme të një ndryshoreje t dhe funksionin

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))