Çfarë do të thotë nëngrup. Koncepti i një grupi, nëngrupi, grupi bosh

Bëhet fjalë për grupe jo numerike. Për shembull, flitet për një grup diagonalesh të një shumëkëndëshi, një grup pikash në një vijë koordinative, një grup vijash që kalojnë nëpër një pikë.

Objektet ose objektet që formojnë një grup të caktuar quhen elementë të tij. Për shembull, numri $6$ do të jetë një element i grupit të numrave natyrorë dhe numri $0.9$ nuk do të jetë një element i grupit të numrave natyrorë.

Vendosni llojet

Grupet mund të jenë të fundme dhe të pafundme, boshe.

Përkufizimi 2

përfundimtar një grup i përbërë nga një numër i kufizuar elementësh quhet, por një grup i kufizuar mund të ketë çdo numër elementësh.

Midis grupeve të fundme, ekziston një grup që nuk ka një element të vetëm. Një grup i tillë quhet grup bosh.

Përkufizimi 3

Një grup që nuk është i kufizuar quhet një numër i pafund.

Nëngrupet

Nëse një grup nuk është bosh, atëherë nga ai mund të zgjidhen grupe të tjera, të cilat do të jenë pjesët e tij.

Për shembull, nga bashkësia e numrave natyrorë, mund të zgjidhet bashkësia e çifteve.

Në matematikë, një pjesë e një grupi quhet - nëngrup. Një grup quhet një nëngrup i një tjetri nëse çdo element i nëngrupit është gjithashtu një element i grupit më të madh.

Përcaktimi i grupeve, nënbashkësive dhe elementeve të tyre

Më shpesh, grupet shënohen me shkronja latine - $A, B, C, D, X, Y, Z, W$, etj.

Elementet e grupit shënohen me shkronja të vogla $a,b,c,d,x,y,z$, etj.

Është matematikisht e mundur të shkruhet përkatësia e një elementi në një grup, për shembull, që një element $a$ do të përfshihet në grupin $A$ si kjo: $a\in A$. Ju mund ta lexoni këtë hyrje si kjo: a i përket grupit $A$.

Nëse ndonjë element, për shembull, $b$ nuk i përket grupit $B$, atëherë ai shkruhet si më poshtë: $b\notin B$. Kjo hyrje lexohet si më poshtë: $b$ nuk i përket grupit $B$

Për shembull, nëse shënojmë grupin e numrave të plotë me $A$, çfarë mund të shkruhet atëherë: $3\në A$, $7,5\jo B$

Grupi bosh në matematikë shënohet si më poshtë: $ᴓ$

Për të treguar se grupi $B$ është një nëngrup i grupit $A$, përdoret shënimi i mëposhtëm: Shenja $\nënbashkësi $ tregon përfshirjen e një grupi në një grup tjetër.

Shembulli 1

Përcaktoni se cilët elementë të $12,38,54,79,934$ të listuara do të përfshihen në grupin e numrave $A$-të pjesëtueshëm me $3$.

Zgjidhja: Sipas kushtit, grupi $A$ përmban elemente, secili prej të cilëve duhet të jetë shumëfish, d.m.th. është i pjesëtueshëm me $3.$ Pra, për të përcaktuar nëse numrat e dhënë janë elementë të bashkësisë $A$, duhet të kontrollojmë se cili prej tyre do të ndahet me $3$ pa mbetje, cilët nuk janë.

Le të kujtojmë test për pjesëtueshmërinë me $3: Nëse shuma e shifrave që përbëjnë numrin ndahet me $3$, atëherë numri pjesëtohet me $3$ pa mbetje.

$12$ pjesëtohet me $3$ sepse shuma e shifrave prej $12$ është $3$

numri $38$ nuk do të ndahet me $3$ pa mbetje, sepse shuma e shifrave $3+8=11$ nuk ndahet me $3$ pa mbetje

në mënyrë të ngjashme sepse shuma e shifrave te numrit $54$ eshte e barabarte me $9$, vertetojme se plotpjesetohet me $3$, por numri $74$ nuk do te plotpjestohet me $3$, sepse shuma e shifrave është 11 $

Le të gjejmë shumën e shifrave të numrit $934: 9+3+4=16$, numri $16$ nuk është shumëfish i $3$, që do të thotë se numri $934$ nuk mund të pjesëtohet me $3$ pa mbetje.

Tani le të përfundojmë se cilët numra do të jenë elementë të grupit $A$:

Mënyrat e specifikimit të grupeve

Ekzistojnë dy mënyra globalisht të ndryshme për të specifikuar grupet.

Së pariështë se një grup përcaktohet duke specifikuar të gjithë elementët e tij. Në këtë rast, grupi thuhet se jepet nga një numërim i të gjithë elementëve të tij ose nga një listë e elementeve të tij. Duke numëruar elementë, mund të specifikoni vetëm grupe të fundme, dhe me një numër të vogël elementësh të përfshirë në të

Grupet e fundme me pak elementë zakonisht shkruhen në kllapa kaçurrelë $\left\(a,b,c\right\)$

Me këtë mënyrë të specifikimit të bashkësive, themi se bashkësia jepet me numërimin e elementeve të saj.

Mënyra e dytë caktimi i grupeve është i zbatueshëm si për ato të fundme. dhe për grupe të pafundme. Ai qëndron në faktin se një veti tregohet që çdo element i një grupi të caktuar ka - një grup specifikohet nga një përshkrim, d.m.th. duke treguar vetinë e tij karakteristike, pra vetinë që zotërojnë të gjithë elementët e këtij grupi dhe asnjë objekt tjetër.

Shembulli 2

Për shembull, duke përdorur përshkrimin, mund të specifikoni një grup të tillë numrash natyrorë nga $1$ deri në $9$ përfshirëse. Vetia karakteristike, pra vetia që kanë të gjithë elementët e këtij grupi për këta elementë, është se ata janë të gjithë numra natyrorë dhe secili prej tyre është jo më pak se $1$ dhe jo më shumë se $9$. Me numërim, grupi i specifikuar mund të specifikohet si më poshtë:

$A=\majtas\(1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\djathtas\)$

Vendosni barazinë

Bashkësitë janë të barabarta nëse elementët e tyre janë të barabartë. Për më tepër, nëse grupet përbëhen nga të njëjtat elementë, por të shkruar në një rend të ndryshëm, atëherë këto grupe janë të ndryshme, megjithëse janë të barabarta.

Bashkimi i kompleteve

Nga dy grupe $A$ dhe $B$ mund të formohet një grup i ri duke kombinuar të gjithë elementët e grupit $A$ dhe të gjithë elementët e grupit $B$

Matematikisht, kjo mund të shprehet si më poshtë: $\ A\ \kupë B$

Bashkimi i grupeve $A$ dhe $B$ është një grup i ri$\ A\ \kupë B$, i përbërë nga ata dhe vetëm ata elementë që përfshihen në të paktën një nga grupet $A$ ose $B$.

Vendos dallimin

Dallimi i dy grupeve $A$ dhe $B$ është një grup që përfshin të gjithë elementët nga grupi $A$ që nuk i përkasin grupit $B$.

në pronësi $A$, gjithashtu i përket $B$. Përkufizimi zyrtar:

$(A\; \backslash nëngrupi\; B)\; \backslash Shigjeta\; djathtas\; \backslash përgjithë\; x.\; (x\; \backslash në\; A\; \backslash Djathtas\; x\; \backslash në\; B).$

Një tufë me $B$ thirrur superset grupe $A$, Nëse $A$- nëngrup $B$.

Ekzistojnë dy simbole për nëngrupet:

Të dy sistemet e shënimeve përdorin simbolin $\backslash nëngrup$ kuptime të ndryshme, të cilat mund të çojnë në konfuzion. Në këtë artikull, ne do të përdorim shënimin më të fundit.

Çfarë $B$ quhet superset $A$, shpesh i shkruar $B\; \backslash i\; mërzitur\; A$.

Bashkësia e të gjitha nëngrupeve të grupit $A$ shënohet $\backslash mathcal(P)(A)$ dhe quhet boolean.

nëngrupin e vet

Çdo grup $B$është nëngrupi i vet. Nëse duam të përjashtojmë $B$ nga konsiderata, ne përdorim nocionin vet

Një tufë me $A$është një nëngrup i duhur i grupit $B$, Nëse $A\backslash nëngrupi\; B$ Dhe $A\; \backslash \; ne\; B$.

Grupi bosh është një nëngrup i çdo grupi. Nëse, përveç kësaj, duam të përjashtojmë grupin bosh nga shqyrtimi, ne përdorim nocionin jo i parëndësishëm nënbashkësi, e cila përcaktohet si më poshtë:

Një tufë me $A$është një nënbashkësi jo e parëndësishme e grupit $B$, Nëse $A$është nëngrupi i vet $B$ Dhe $Asgjë$.

Shembuj

• Komplete $\backslash varnothing,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Komplete $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$ janë nënbashkësi të grupit $\backslash (\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; moose\; \backslash )$
• Le $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, Pastaj $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Le $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. Pastaj $B\; \backslash nëngrupi\; A,\backslash ;\; C\backslash jo\backslash nëngrup\; A$.

Vetitë

Lidhja e nëngrupit ka një sërë veçorish.

• Lidhja e nënbashkësisë është një relacion i pjesshëm i rendit:
  • Lidhja e nënbashkësisë është refleksive: $B\backslash nëngrupi\; B$
  • Lidhja e nënbashkësisë është antisimetrike: $(A\; \backslash nëngrupi\; B\; \backslash ;\; \backslash dhe\; \backslash ;\; B\; \backslash nëngrupi\; A)\; \backslash Shigjeta\; djathtas\; (A\; =\; B)$
  • Lidhja e nënbashkësisë është kalimtare: $(A\; \backslash nëngrupi\; B\; \backslash ;\backslash dhe\; \backslash ;\; B\; \backslash nëngrupi\; C)\; \backslash Rightarrow\; (A\; \backslash nëngrupi\; C)$
• Bashkësia e zbrazët është një nëngrup i ndonjë tjetër, kështu që është grupi më i vogël në lidhje me relacionin e nëngrupit: $\backslash varnothing\; \backslash nëngrupi\; B$
• Për çdo dy grupe $A$ Dhe $B$ pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
  • $A\backslash nënbashkësiB.$
  • $A\; \backslash \; kapak\; B\; =\; A.$
  • $A\; \backslash \; filxhan\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash complement)\; \backslash nëngrupi\; A^(\backslash complement).$

Nëngrupe të bashkësive të fundme

Nëse grupi origjinal është i fundëm, atëherë ai ka një numër të kufizuar nënbashkësish. Gjegjësisht, në $n$- grupi i elementeve ekziston $2^n$ nënbashkësi (përfshirë bosh). Për ta verifikuar këtë, mjafton të theksohet se çdo element mund të përfshihet ose jo në një nëngrup, që do të thotë se numri i përgjithshëm i nëngrupeve do të jetë $n$-produkt i palos dyshe. Nëse marrim parasysh vetëm nënbashkësi $n$-element grup nga $k\backslash le\; n$ elementet, atëherë numri i tyre shprehet me koeficientin binomial $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Për të verifikuar këtë fakt, mund të zgjidhni elementet e nëngrupit në mënyrë sekuenciale. Elementi i parë mund të zgjidhet $n$ mënyra, e dyta $n-1$ mënyrë, dhe kështu me radhë, dhe në fund $k$-elementi mund të zgjidhet $n-k+1$ mënyrë. Pra, ne marrim një sekuencë të $k$ elementet, dhe pikërisht $k!$ sekuenca të tilla korrespondojnë me një nëngrup. Pra ka gjithçka $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash pika(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$ nënbashkësi të tilla.

Shkruani një përmbledhje për artikullin "Nën grup"

Shënime

Letërsia

• Vereshchagin N. K., Shen A. Leksione mbi logjikën matematikore dhe teorinë e algoritmeve. Pjesa 1. Fillimet e teorisë së grupeve - Botimi i tretë, stereotip. - M .: MTSNMO, 2008. - 128 f. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Një fragment që karakterizon nëngrupin

Kutuzov u tërhoq në Vjenë, duke shkatërruar urat në lumenjtë Inn (në Braunau) dhe Traun (në Linz). Më 23 tetor, trupat ruse kaluan lumin Enns. Karrocat, artileria dhe kolonat e trupave ruse në mes të ditës shtriheshin nëpër qytetin Enns, përgjatë kësaj dhe asaj ane të urës.

Përkufizimi:

Një grup është çdo koleksion objektesh që quhen elementë të tij.

Nëse X- një element të bashkësisë M, atëherë shënoni: x M ( x - i përket M), nëse jo, atëherë x ∉ M; Një grup që nuk përmban asnjë element quhet bosh dhe shënohet me ∅

Kompleti, i cili përmban të gjithë elementët në shqyrtim, quhet universal ose universum dhe shënohet me -

Ư. Bashkësitë që përbëhen nga të njëjtat elementë quhen të barabarta dhe shënohen A = B.

Nëse ndonjë element i bashkësisë B është element i bashkësisë A, atëherë bashkësia B quhet nënbashkësi e bashkësisë A (pjesë e bashkësisë A) dhe shënohet B ⊂ A; Nga kjo rrjedh se çdo grup është një pjesë e vetvetes.

Sipas përkufizimit, grupi bosh ∅ është një nëngrup i çdo grupi. Se. Çdo grup A ka dy nëngrupe:

Ato quhen nënbashkësi të papërshtatshme të bashkësisë A. Çdo grup B i grupit A që nuk është një nëngrup jo i duhur i A (d.m.th., ato janë të ndryshme nga A dhe ∅) dhe quhen nënbashkësi të duhura të nëngrupit A. Një grup i një element a shënohet me (a).

Shembull: A = (1;2;3) atëherë bashkësia boshe ∅ dhe vetë bashkësia A janë nënbashkësi të papërshtatshme të A.

Bashkësitë: (1), (2), (3), (1; 2), (1; 3), (2; 3) quhen nënbashkësi të duhura të bashkësisë A. Bashkësia e të gjitha bashkësive A quhet e saj Boolean dhe shënohet - 2 A; B A, do të thotë se B A, B ≠ A. Në këtë rast, B thuhet se përfshihet rreptësisht në A ose B është një nëngrup i duhur i A;

Në rastin B ⊆ A, B = A, dikush thotë se B nuk është një përfshirje strikte në A, d.m.th. B është një nëngrup jo i duhur i A.

Simbolet bazë logjike

XP(x) është një sasior i përgjithshëm (do të thotë "për çdo x,

XP(x) është sasia ekzistenciale (që do të thotë "ka x për të cilën vlen P(x)".)

P ⇒ Q është një nënkuptim ("Nga P vijon Q")

⟺ - ekuivalenca ("nëse dhe vetëm atëherë")

P ∧ Q - lidhëza ("P dhe Q")

P ∨ Q - ndarje ("P ose Q")

Jo R ose - mohim i R

:= - simbolet e caktimit ("vendos")

def - ("i caktuar sipas përkufizimit")

Duke përdorur këto simbole, mund të shkruani:

1) (A = B) ⟺(( x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)

2) (A ⊆ B) ⟺ ( x/x ∈A ⇒ x ∈ B)

3) (A = B) ⟺ (B ⊂ A ∧ A⊂ B)

Specifikimi i grupeve

Numërimi i elementeve: M: = (a 1 ; a 2 ; a 3 ; ...; a n )

ose veti karakteristike P(x)

(kallëzues): M: = ( x | P(x) )

Për shembull:

1) B = ( x ∈ N | x< 3} означает, что В= { 1; 2}

2) A =( x ∈ N | x +1=5) do të thotë se A = (4)

3) B = ( х ∈ N | х M5) ose (5;10;15...)

ato. ( x | P(x) ) do të thotë se bashkësia e elementeve x të bashkësisë ka vetinë P(x)

4) M = ( x ∈ N | x 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Operacionet në grupe

Operacionet e mëposhtme në grupe merren parasysh:

10 . Bashkimi i grupeve A dhe B.

U

A ∪ B = ( x/x ∈ A ose x ∈ B) – d.m.th. përbëhet nga elementë që i përkasin të paktën njërit prej grupeve A ose B.

20 . Kryqëzimi i grupeve A dhe B.

A∩B = (x/x ∈ A dhe x ∈ B) - domethënë, përbëhet nga elementë që i përkasin njëkohësisht A dhe B.

3º. Diferenca e grupeve A dhe B.

A/B = (x/x ∈ A dhe x ∉ B) – d.m.th. përbëhet nga elementë të A që nuk i përkasin B.

4º. Dallimi simetrik i A dhe B (ose shuma unazore e A dhe B)

A Ө B = (x/x ∈ A dhe x ∉ B) ∪ (x/x ∈ B dhe x ∉ A) ose (A\B ∪ B\A)

5º. Komplementi A i universit

= U\A = (x|x ∈ Uux dhe x ∉ A)

Vendosni produktin

Prodhimi i drejtpërdrejtë (kartezian) i dy grupeve A dhe B është bashkësia e të gjitha çifteve të renditura, në të cilat elementi I është nga bashkësia A, elementi II është nga bashkësia B, d.m.th. A×B = ((a, c)/a Є A ̂v Є B)

Shembull: A \u003d (2; 5; 7; 9) dhe B \u003d (2; 4; 7),

Atëherë A×B = ((2.2) ; (2.4) ; (2.7) ; (5.2) ; (5.4) ; (5.7) ; (7.2) ; (7 ,4) ;(7.7) ;(9.2) ;(9.4 );(9.7))

A∩B=(2,7); A∪B=(2,4,5,7,9); A/B=(5.9); B/A=(4); А Ө В=(4,5,9)

Elementet e bashkësisë A × B quhen pika; Në një çift (x, y), abshisa është x dhe ordinata është y e pikës që i korrespondon këtij çifti.

Bashkësia e pikave në rrafsh është prodhim i drejtpërdrejtë i formës R×R=R 2 , ku R është bashkësia e numrave realë.

R 2 quhet Sheshi Kartezian në R.

Elementet e teorisë së grafikut

shumë quhet një grup objektesh të caktuara mjaft të dallueshme, të konsideruara si një tërësi e vetme.

Një grup kuptohet si një grup i caktuar objektesh të bashkuara sipas një tipari të përbashkët.

Objektet individuale që përbëjnë një grup quhen elementet grupe.

Kompleti shënohet me simbolin A = {x), Ku x- emri i përgjithshëm i elementeve të grupit A. Kompleti shpesh shkruhet në formë A = {a, b, c, ...), ku kllapat kaçurrela tregojnë elementet e grupit A. Ne do të përdorim shënimin:

N- bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë;
Z- bashkësia e të gjithë numrave të plotë;
P- bashkësia e të gjithë numrave racionalë;
R- bashkësia e të gjithë numrave realë;
C- bashkësia e të gjithë numrave kompleks;
Z0është bashkësia e të gjithë numrave të plotë jo negativë.

a i përket grupit A.

Shënimi (ose ) do të thotë se elementi a nuk i përket grupit A.

Një nëngrup në teorinë e grupeve është koncepti i një pjese të një bashkësie.

Një tufë me B, të gjithë elementët e së cilës i përkasin grupit A, quhet nëngrup grupe A, dhe në të njëjtën kohë shkruani (ose )

Gjithmonë, pasi çdo element i grupit i përket natyrshëm A. Një grup bosh, d.m.th., një grup që nuk përmban një element të vetëm, do të shënohet me simbolin . Çdo grup përmban grupin bosh si nëngrupin e tij.

Nese atehere A Dhe B thirrur grupe të barabarta, gjatë shkrimit A = B.

5. Veprimet mbi bashkësitë: bashkimi i bashkësive, vetitë e këtij operacioni.

Bashkimi i bashkësive A dhe B është një bashkësi e përbërë nga të gjitha ato dhe vetëm ato elemente që i përkasin të paktën njërës prej bashkësive A ose B, d.m.th. i përkasin A-së ose i përkasin B-së.

bashkimi i grupeve A Dhe B quhet grup

6. Veprimet në grupe: kryqëzimi i bashkësive, vetitë e këtij operacioni.

Kryqëzimi i bashkësive A dhe B është bashkësia e përbërë nga të gjithë ata dhe vetëm ata elementë që i përkasin grupit A dhe grupit B.

kryqëzim i nënbashkësisë A Dhe B quhet grup

7. Elementet e kombinatorikës: Permutacione.

E gjithë shumëllojshmëria e formulave kombinuese mund të rrjedhë nga dy pohime kryesore në lidhje me grupet e fundme - rregulli i shumës Dhe rregulli i produktit .

Rregulli i shumës: le të ketë n grupe të shkëputura në çift A 1 , A 2 , …, A n që përmban m 1 , m 2 , …, m n elementet, përkatësisht. Numri i mënyrave në të cilat një element mund të zgjidhet nga të gjitha këto grupe është m 1 + m 2 + … + m n .

Shembull . Nëse rafti i parë është X libra, dhe në të dytën Y , atëherë mund të zgjidhni një libër nga rafti i parë ose i dytë, mundeni X+Y mënyrat.

rregulli i produktit: le të ketë n grupe A 1 , A 2 , …, A n që përmban m 1 , m 2 , …, m n elemente përkatësisht. Numri i mënyrave në të cilat mund të zgjidhni një element nga çdo grup, d.m.th. të ndërtoni një tufë ( a 1, a 2, ..., a n ), Ku A i О A i1 ( i = 1, 2, …, n ), e barabartë m 1 m 2 … m n .

Shembull . Nëse në raftin e parë ka 5 libra dhe në të dytin 10, atëherë mund të zgjidhni një libër nga rafti i parë dhe një nga i dyti në 5*10=50 mënyra.

Faktorial. Ky është emri i një funksioni që haset shpesh në praktikë, i përcaktuar për numra të plotë jo negativë. Emri i funksionit vjen nga termi matematikor anglez faktor - "faktor". Ajo është caktuar. Për çdo numër të plotë pozitiv, funksioni është i barabartë me produktin e të gjithë numrave të plotë nga 1 në . Për shembull: . Për lehtësi, ne supozojmë me përkufizim. Faktoriali është veçanërisht i zakonshëm në kombinatorikë. Për shembull, numri i mënyrave për të rreshtuar nxënësit e shkollës në një rresht është i barabartë me

Përkufizimi. Nëse në një grup të caktuar elementet rirregullohen duke e lënë numrin e tyre të pandryshuar, atëherë çdo kombinim i marrë në këtë mënyrë quhet ndërrim.

Numri i përgjithshëm i permutacioneve nga m elementet shënohen me P m dhe llogariten me formulën:

8. Elementet e kombinatorikës: Kombinimet.

Përkufizimi. Nëse nga T elementet formojnë grupe sipas P elementet në secilin, pavarësisht nga radha e elementeve në grup, atëherë thirren kombinimet që rezultojnë kombinime nga T elementet nga P.

Numri i përgjithshëm i kombinimeve gjendet me formulën:

9. Elementet e kombinatorikës: Vendosjet.