Saktë në 0 1. Zgjerimi i serisë Taylor

Si në klasën e 7-të ashtu edhe në klasën e 8-të ne shpesh i zgjidhnim ekuacionet në mënyrë grafike. A e keni vënë re se pothuajse në të gjithë këta shembuj ekuacionet kishin rrënjë "të mira"? Këta ishin numra të plotë që mund të gjendeshin lehtësisht duke përdorur grafikët, veçanërisht në letër me kuadrate. Por kjo nuk është gjithmonë rasti; ne kemi zgjedhur thjesht shembuj "të mirë" deri më tani.

Konsideroni dy ekuacione: = 2 - x dhe = 4 - x. Ekuacioni i parë ka një rrënjë të vetme x = 1, pasi grafikët e funksioneve y = dhe y = 2 - x kryqëzohen në një pikë A (1; 1) (Fig. 112). Në rastin e dytë, grafikët e funksioneve - fc dhe y = 4 - x gjithashtu kryqëzohen në një pikë B (Fig. 113), por me koordinata "të këqija". Duke përdorur vizatimin, mund të konkludojmë se abshisa e pikës B është afërsisht e barabartë me 2.5. Në raste të tilla, ata nuk flasin për një zgjidhje të saktë, por për një zgjidhje të përafërt të ekuacionit dhe e shkruajnë atë si kjo:

Kjo është një nga arsyet pse matematikanët vendosën të prezantojnë konceptin e një vlere të përafërt të një numri real. Ekziston një arsye e dytë, dhe mbase edhe më e rëndësishme. Cili është një numër i vërtetë? Kjo është një dhjetore e pafundme. Por është e papërshtatshme të kryhen llogaritjet me fraksione dhjetore të pafundme, kështu që në praktikë ata përdorin vlera të përafërta të numrave realë. Për shembull, për një numër ata përdorin barazinë e përafërt 3.141 ose 3.142. E para quhet vlera e përafërt (ose përafrimi) i numrit n me mungesë me një saktësi prej 0.001; E dyta quhet vlera e përafërt (përafrimi) i numrit k nga teprica me një saktësi prej 0.001. Mund të merren përafrime më të sakta: Për shembull,
3.1415 - Përafrimi i mungesës me një saktësi prej 0.0001; 3.1416 - Përafrimi i tepricës me një saktësi prej 0.0001. Ju mund të merrni përafrime më pak të sakta, të themi, me një saktësi prej 0.01: për mangësi 3.14, për tepricën 3.15.
Ju keni përdorur shenjën e përafërt të barazisë “në lëndën e matematikës në klasën e 5-6-të dhe, ndoshta, në lëndën e fizikës, dhe ne e kemi përdorur edhe më parë, për shembull në § 27.

Shembulli 1. Gjeni vlera të përafërta për mungesë dhe tepricë me një saktësi prej 0.01 për numrat:

Zgjidhje,

a) Ne e dimë se = 2.236 ... (shiko § 27), pra, 2.23 është një përafrim nga mangësia me një saktësi prej 0.01; 2.24 është një përafrim i tepricës në 0.01.
b) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Kjo do të thotë se 2 + 4.23 është një përafrim i mungesës me një saktësi prej 0.01; 2 + 4.24 është një përafrim i tepërt i saktë brenda 0.01.
c) Kemi 0,31818... (shih § 26). Kështu, 0.31 është një përafrim i mungesës brenda 0.01; 0.32 është një përafrim i tepricës brenda 0.01.
Përafrimi me mungesë dhe përafrimi me tepricë quhen ndonjëherë rrumbullakimi i një numri.

Përkufizimi. Gabimi i përafrimit (gabim absolut) është madhësia e diferencës midis vlerës së saktë të x dhe vlerës së përafërt të tij a: gabimi i përafrimit është | x - a |.
Për shembull, gabimi i barazisë së përafërt shprehet si ose, përkatësisht, si,
Shtrohet një pyetje thjesht praktike: cili përafrim është më i mirë, në aspektin e mangësive apo të tepërta, pra në cilin rast gabimi është më i vogël? Kjo, natyrisht, varet nga numri specifik për të cilin janë bërë përafrimet. Në mënyrë tipike, kur rrumbullakosni numrat pozitivë, përdoren rregullat e mëposhtme:
pirun:

Le ta zbatojmë këtë rregull për të gjithë numrat e diskutuar në këtë seksion; Për numrat e konsideruar, ne do të zgjedhim ato përafrime për të cilat gabimi do të jetë më i vogli.
1) = 3,141592... . Me një saktësi prej 0,001 kemi 3,142; këtu shifra e parë që duhet të hidhet është 5 (në vendin e katërt pas presjes dhjetore), kështu që ne e morëm përafrimin me tepricë.
Me një saktësi prej 0,0001, kemi 3,1416 - dhe këtu kemi marrë përafrimin me tepricë, pasi shifra e parë e hedhur (në vendin e pestë pas pikës dhjetore) është e barabartë me 9. Por me një saktësi prej 0,01 duhet të marrim përafrimi sipas mungesës: 3.14.
2) = 2.236... . Me një saktësi prej 0.01 kemi 2.24
(përafrim me tepricë). ¦
3) 2 + = 4,236... . Me një saktësi prej 0.01 kemi 2 + 4.24 (përafrim me tepricë).
4) = 0,31818... . Me një saktësi prej 0,001 kemi 0,318 (përafrim me disavantazh).
Le të shohim shembullin e fundit në më shumë detaje. Le të marrim një fragment të zmadhuar të vijës së koordinatave (Fig. 114).

Pika i përket segmentit, që do të thotë se distanca e saj nga skajet e segmentit nuk e kalon gjatësinë e segmentit. Distancat e pikave nga skajet
segmentet janë përkatësisht të barabarta segmenti është i barabartë me 0.001. Do të thotë, Dhe
Pra, në të dyja rastet (si për përafrimin e një numri me një mangësi ashtu edhe për përafrimin e tij me një tepricë), gabimi nuk e kalon 0.001.
Deri tani kemi thënë: përafrime me saktësi deri në 0,01, deri në 0,001 etj. Tani mund të vëmë rregull në përdorimin e terminologjisë.
Nëse a është një vlerë e përafërt e numrit x dhe , mo ata thonë se gabimi i përafrimit nuk e kalon h ose se numri x është i barabartë me numrin a c

i saktë në h.

Pse është e rëndësishme të jesh në gjendje të gjesh vlerat e përafërta të numrave? Fakti është se është pothuajse e pamundur të operosh me thyesa dhjetore të pafundme dhe t'i përdorësh ato për të matur sasitë. Në praktikë, në shumë raste, në vend të vlerave të sakta, merren përafrime me një saktësi (gabim) të paracaktuar. Kjo ide është e përfshirë edhe në kalkulatorë, në ekranet e të cilëve shfaqet thyesa përfundimtare dhjetore, d.m.th., një përafrim i numrit të shfaqur në ekran (me përjashtime të rralla kur numri i shfaqur është një thyesë dhjetore përfundimtare që përshtatet në ekran) .

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

Detyra 6.12.

Zgjero në një seri Furier një funksion periodik f(x) të përcaktuar në intervalin .

Detyra 6.13.

Zgjero funksionin f (x) të përcaktuar në intervalin (0; π) në një seri Furier, duke e vazhduar (zgjatur) atë në mënyrë çift dhe tek. Ndërtoni grafikët për çdo vazhdim.

Detyra 6.14.

Zgjeroni funksionin periodik f (x) me pikë në një seri Furier në intervalin e treguar.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.

Detyra 6.15.

Duke përdorur zgjerimin e funksionit f(x) në një seri Furier në intervalin e caktuar, gjeni shumën e serisë së numrave të dhënë.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Testi Nr. 7.

"Teoria e Probabilitetit"

Detyra 7.1.

1. Secila nga dy ekipet me 5 atletë hedh shortin për të caktuar numra. Dy vëllezërit janë në ekipe të ndryshme. Gjeni probabilitetin që vëllezërit të marrin: a) numrin 4; b) të njëjtin numër.

2. Pajisja përmban dy njësi identike që funksionojnë në mënyrë të pavarur me një probabilitet të funksionimit pa dështime prej 0,8. Gjeni probabilitetin që: a) vetëm një bllok të funksionojë pa dështim; b) të paktën një bllok.

3. Baza e dërgoi mallin në dy dyqane. Probabiliteti i dorëzimit në kohë për secilën prej tyre është 0.8. Gjeni probabilitetin që malli të merret në kohë nga: a) vetëm një dyqan; b) të paktën një dyqan.

4. Një varkë e planifikuar mund të vonohet për dy arsye të pavarura: moti i keq dhe mosfunksionimi i pajisjeve. Probabiliteti i motit të keq është 0.3, probabiliteti i mosfunksionimit është 0.4. Gjeni probabilitetin që varka të vonojë: a) vetëm për shkak të motit të keq; b) për çfarëdo arsye.

5. Kushtet e duelit parashikojnë 2 goditje nga secili duelist me radhë deri në goditjen e parë. Probabilitetet për t'i goditur me një goditje janë përkatësisht 0.2 dhe 0.3. Gjeni probabilitetin që duelisti i parë: a) të godasë kundërshtarin me goditjen e dytë; b) godet kundërshtarin.

6. Probabiliteti që një sulmues të shënojë gol me një goditje në portë është 0.3. Gjeni probabilitetin që pas dy goditjeve: a) të shënohet vetëm një gol; b) të paktën një gol.

7. Probabiliteti i zbulimit në kohë të një rakete lundrimi nga një stacion radar është 0.8. Ka dy radarë në detyrë. Gjeni probabilitetin që një raketë të zbulohet nga: a) vetëm një radar; b) të paktën një radar.

8. Numri i makinës përmban katër shifra. Gjeni probabilitetin që shuma e shifrave të targës së makinës që vjen: a) është e barabartë me dy; b) jo më shumë se dy.

9. Gjeni probabilitetin që një numër dy-shifror i quajtur rastësisht: a) të jetë i ndashëm me 3; b) ka një shumë shifrash të barabartë me 1.

10. Ka pesë topa të bardhë dhe dy të kuq në kuti. Gjeni probabilitetin që dy topa të vizatuar në mënyrë të rastësishme do të jenë: a) të njëjtën ngjyrë; b) të bardhë.

11. Dy persona hipin në një tren elektrik me tetë vetura në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri. Gjeni probabilitetin e takimit të tyre.

12. Një raketë mbart dy koka të shumta që godasin objektivin në mënyrë të pavarur nga njëra -tjetra me mundësi prej 0.8 dhe 0.7. Gjeni probabilitetin që objektivi të goditet: a) vetëm me një kokë; b) të paktën një kokë luftarake.

13. Ka pesë topa të bardhë dhe tre të zeza në kuti. Gjeni probabilitetin që dy topa të vizatuar në mënyrë të rastësishme do të jenë: a) ngjyra të ndryshme; b) e zezë.

14. Gjeni probabilitetin që të lindin dy kalimtarë që takoni: a) në të njëjtin muaj; b) në verë.

15. Gjeni probabilitetin që shuma e shifrave të një numri dy-shifror të zgjedhur rastësisht: a) është i barabartë me pesë; b) më pak se pesë.

16. Gjeni probabilitetin që produkti i shifrave të një numri dy-shifror të zgjedhur rastësisht: a) është i barabartë me tre; b) më pak se tre.

17. Probabilitetet e kapjes së një peshku kur kafshimi janë përkatësisht 0.2 dhe 0.3. Secili kishte nga një pickim. Gjeni probabilitetin që kapja e tyre totale të jetë: a) një peshk; b) të paktën një peshk.

18. Numri i telefonit përmban 6 shifra. Gjeni probabilitetin që shuma e shifrave të një numri të zgjedhur rastësisht: a) është i barabartë me 2; b) më pak se 2.

19. Gjeni probabilitetin që me tetë presione të rastësishme të çelësave të makinës së shkrimit fjala "e shkëlqyeshme" të shtypet. Tastiera përmban 40 taste.

20. Dy lojtarë të shahut luajnë një ndeshje me dy ndeshje me njëri-tjetrin. Probabiliteti për të fituar në secilën lojë të parë është 0.6. Cila është probabiliteti që ai fiton: a) vetëm një lojë; 2) të paktën një lojë.

21. Dy revole secili qëlloi një e shtënë në një objektiv me probabilitet P 1 = 0.6, f 2 = 0.7. Gjeni probabilitetin e: a) vetëm një goditjeje; b) të paktën një goditje.

22. Probabilitetet e kalimit të shiritit për dy kërcyes janë P 1 = 0.8, f 2 = 0.7, përkatësisht. Gjeni probabilitetin që: a) vetëm njëri prej tyre do të arrijë lartësinë; b) të paktën njëri prej tyre do të arrijë lartësinë.

23. Numri i makinës përbëhet nga katër shifra. Gjeni probabilitetin që targa e një makine që vjen të përmbajë: a) tre pesë me radhë; b) tre A.

24. Dy ekipe janë dërguar në vendin e zjarrit, të cilat mund të arrijnë ta shuajnë atë në kohën e duhur me probabilitetet P 1 = 0.9, f 2 = 0.8. Cila është probabiliteti për të shuar një zjarr nëse: a) një komandë është e mjaftueshme; b) nevojiten të dyja komandat.

25. Dy avionë secila zjarr një raketë në një objektiv me probabilitetet e goditjes P 1 = 0.8, f 2 = 0.9. Gjeni mundësinë e goditjes së një objektivi: a) me dy raketa; b) vetëm një raketë.

26. Pajisja përbëhet nga tre blloqe që funksionojnë në mënyrë të pavarur A, B, C me probabilitete të funksionimit pa dështim P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Gjeni probabilitetin e funksionimit pa dështim të pajisjes nëse kjo kërkon funksionimin e bllokut A dhe të paktën një prej blloqeve B, C.

27. Probabilitetet e përmbushjes së planit mujor nga dy punishte të ndërmarrjes janë të barabarta me p 1 =0.9, p 2 =0.7. Duke supozuar se punishtet funksionojnë të pavarura nga njëra-tjetra, gjeni probabilitetet që: a) vetëm një punishte të përmbushë planin; b) të paktën një punëtori do të përmbushë planin.

28. Një seksion i një qarku elektrik përbëhet nga elementët A dhe B të lidhur në seri me probabilitet dështimi p 1 = 0,1, p 2 = 0,2. Elementi B dyfishohet me ndihmën e elementit C të lidhur paralelisht me të (p 3 = 0,2). Gjeni probabilitetin e funksionimit pa defekt të seksionit: a) në mungesë të elementit C; b) nëse ka.

29. Dy armë qëllojnë një predhë në një objektiv me probabilitet goditjeje p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Gjeni probabilitetin që objektivi të godasë: a) vetëm një predhë; b) të paktën një predhë.

30. Sëmundjet A dhe B kanë të njëjtat simptoma që gjenden tek pacienti. Problemet e sëmundjeve janë të barabarta me p (a) = 0.3, p (b) = 0.5. Duke supozuar se një person mund të marrë sëmundje në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri, gjeni probabilitetin që pacienti të jetë i sëmurë: a) vetëm një nga sëmundjet; b) të paktën një sëmundje.

Detyra 7.2.

1. 70% e të njëjtit lloj hekurash që dalin në shitje prodhohen në ndërmarrjen A, 30% - në ndërmarrjen B. Përqindja e defekteve në ndërmarrjen A është 5%, në ndërmarrjen B - 2%. a) Gjeni mundësinë e blerjes së një hekuri të dëmtuar; b) hekuri i blerë ka rezultuar me defekt. Sa është probabiliteti që të jetë prodhuar në fabrikën A?

2. Në urnë ka 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj. Njëri prej tyre nxirret rastësisht dhe lihet mënjanë. Pastaj vizatohet topi i dytë. a) Gjeni probabilitetin që ai të jetë i bardhë; b) topi i dytë i tërhequr është i bardhë. Sa është probabiliteti që topi i parë të jetë i zi?

3. Pajisja është e pajisur me një njësi të prodhuar nga fabrikat 1 (furnizon 60% të njësive), 2 (furnizon 40% të njësive). Përqindja e defekteve në impiantin 1 është 0,05, në impiantin 2 - 0,07. a) Gjeni probabilitetin që pajisja të jetë me defekt; b) pajisja rezultoi me defekt. Gjeni probabilitetin që fajtori të jetë impianti 1.

4. Gjatë montimit të kushinetave përdoren topa, 30% e të cilëve furnizohen nga punishtja 1 dhe 70% nga punishtja 2. Përqindja e defekteve në punishte është përkatësisht 0,1 dhe 0,05. a) Gjeni probabilitetin e mbajtjes me defekt; b) kushineti rezultoi me defekt. Gjeni probabilitetin që fajtori të jetë punishtja 1.

5. Dy urna përmbajnë 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj. Një top transferohet rastësisht nga i pari tek i dyti, më pas një top hiqet nga i dyti. a) Gjeni probabilitetin që ai të jetë i bardhë; b) topi i hequr është i bardhë. Sa është probabiliteti që topi i zi të zhvendoset?

6. Dy punishte prodhojnë secila 50% të të njëjtit lloj televizori që dalin në shitje. Punëtoria 1 prodhon 5% të televizorëve me defekt, punishtja 2 - 7%. a) Gjeni mundësinë e blerjes së një TV me defekt; b) gjeni probabilitetin që televizori i blerë të jetë prodhuar nga punishtja 1 nëse rezulton të jetë me defekt.

7. Shkalla e mbirjes (probabiliteti i mbirjes) e farërave të marra në stacionin 1 të mbarështimit është 0,9, në stacionin 2 - 0,8. Një numër i barabartë farash nga të dy stacionet dalin në shitje. a) Gjeni kapacitetin e mbirjes së farave të blera; b) Fara e përzgjedhur rastësisht nuk mbiu kur u mbill. Sa është probabiliteti i rritjes së tij në stacionin 1?

8. Dy dyqane ofrojnë të njëjtin numër bulonash për montim. Përqindja e defekteve në punëtorinë e parë është 0.1, në të dytën - 0.2. a) Gjeni probabilitetin që një bulon i marrë rastësisht për montim të jetë me defekt; b) buloni rezultoi me defekt. Cila është probabiliteti që ajo të jetë bërë nga punëtoria 2?

9. Periudha latente e sëmundjes mund të jetë e gjatë në 30% të rasteve dhe e shkurtër në 70% të rasteve. Probabilitetet e rimëkëmbjes janë 0.9 për periudha të gjata dhe 0.6 për periudha të shkurtra. a) Gjeni mundësinë e rikuperimit për një pacient të zgjedhur rastësisht; b) Gjeni mundësinë që periudha e fshehtë të ishte e gjatë nëse pacienti do të merrej.

10. Sipas statistikave, në mesin e viçave që sëmuren gjatë vitit, 20% sëmuren në sezonin e ngrohtë dhe 80% në sezonin e ftohtë. Probabiliteti i rimëkëmbjes së një viçi që u sëmur në sezonin e ngrohtë është 0.9, në sezonin e ftohtë - 0.8. a) Gjeni mundësinë e rikuperimit për një pacient të zgjedhur rastësisht; b) Gjeni mundësinë që viçi të sëmuret në mot të ngrohtë nëse rikuperohet.

11. Njësia është e pajisur me një rezistencë nga një nga tre fabrikat që kryejnë 60%, 30% dhe 20% të furnizimeve. Përqindja e defekteve midis rezistorëve është 0.3 në bimën 1, 0.2 në bimën 2, 0,1 në bimën 3. a) Gjeni mundësinë e defekteve të bllokut të prodhuar; b) Gjeni probabilitetin që njësia e dëmtuar të jetë e pajisur me një rezistencë nga Fabrika 1.

12. Në fazën e krizës, sëmundja mund të kalojë me probabilitet të barabartë në forma kalimtare (C) dhe të ngadalta (B). Probabilitetet e rimëkëmbjes janë 0.95 për formën C dhe 0.8 për formën B. a) Gjeni mundësinë e rikuperimit për një pacient të zgjedhur rastësisht; b) Gjeni mundësinë që sëmundja të ketë kaluar në Formën C nëse pacienti është rikuperuar.

13. Kur kontraktoni këtë sëmundje, format A dhe B janë zbuluar në mënyrë të barabartë, të cilat përcaktojnë rrjedhën e saj të mëtejshme. Në rastin A, pacienti shërohet brenda një muaji me një probabilitet prej 0.8, në rastin B - me një probabilitet prej 0.6. a) Gjeni probabilitetin e rimëkëmbjes në një muaj për një pacient të zgjedhur rastësisht; b) Gjeni mundësinë e sëmundjes që ndodh në formën A nëse pacienti është rikuperuar brenda një muaji.

14. Probabiliteti i transportuesit që përmbush planin nëse cisterna e karburantit arrin me kohë është 0.8, dhe nëse arrin të parakohshëm - 0.4. Cisterna arrin në kohë në 90% të rasteve. a) Gjeni probabilitetin e Trawler -it që ekzekuton planin; b) Llogaritni probabilitetin e karburantit në kohë nëse dihet që karrige ndoqi planin.

15. Vera mund të jetë e thatë 20% të kohës, tepër e lagësht 30% të kohës dhe normale pjesa tjetër. Probabilitetet e pjekjes së të korrave janë përkatësisht 0.7, 0.6 dhe 0.9. a) Gjeni probabilitetin e pjekjes së bimëve në një vit të zgjedhur rastësisht; b) gjeni probabilitetin që vera të ishte e thatë nëse të korrat ishin të pjekura.

16. Në këtë zonë gjenden vetëm sëmundjet A dhe B, simptomat e të cilave nga jashtë janë të padallueshme. Në mesin e pacientëve, A shfaqet në 30% të rasteve, B - në 70%. Probabiliteti i shërimit nga sëmundjet është përkatësisht 0.6 dhe 0.3. a) gjeni probabilitetin që një pacient i zgjedhur rastësisht të shërohet; b) sa është probabiliteti që personi i shëruar të ketë sëmundjen A?

17. Një objekt mund të vihet në veprim në kohë me një shpërndarje të planifikuar të pajisjeve me një probabilitet prej 0.9, dhe me një vonesë të dorëzimit - me një probabilitet prej 0.6. Mesatarisht, dërgesat e planifikuara janë vërejtur në 80% të porosive, dërgesat e vonuara - në 20%. a) Sa është probabiliteti që projekti të dorëzohet në kohë? b) gjeni probabilitetin e dorëzimit në kohë nëse dihet se objekti është dorëzuar në kohë.

18. Një reaksion bërthamor mund të prodhojë grimca të tipit A në 70% të rasteve dhe grimca të tipit B në 30% të rasteve. Grimcat A janë regjistruar nga pajisja me një probabilitet prej 0.8, grimcat b - me një probabilitet prej 1. a) gjeni probabilitetin e regjistrimit të një grimcë në eksperimentin e ardhshëm; b) Pajisja vuri re pamjen e një grimce. Sa ka të ngjarë që ajo i përkiste tipit B?

19. Tek fëmijët e lindur në gjysmën e parë të vitit, pesha mesatare kalon 60% të të porsalindurve, në gjysmën e dytë të vitit - 30%. Duke supozuar se lindshmëria në të dy semestrat është e njëjtë, gjeni: a) probabilitetin që një fëmijë i zgjedhur rastësisht të jetë mbipeshë; b) probabilitetin për të pasur një fëmijë në gjysmën e parë të vitit, nëse është mbipeshë.

20. Një elektron i emetuar nga katoda mund të jetë "i shpejtë" me probabilitet 0.7 dhe "i ngadalshëm" me probabilitet 0.3. Probabiliteti që elektronet "të shpejta" të godasin objektivin është 0.9, "i ngadalshëm" - 0.4. Gjeni probabilitetin që: a) elektroni të godasë objektivin; b) elektroni ishte "i ngadalshëm" nëse arrinte objektivin.

21. Një dhelpër që ndjek një lepur gri e kap atë në 30% të rasteve, një lepur i bardhë - në 20% të rasteve. Të dy llojet e lepurave gjenden në pyll me të njëjtën frekuencë. a) Sa është probabiliteti që një dhelpër të kapë një lepur të hasur rastësisht; b) gjeni probabilitetin që lepuri i kapërcyer ishte gri.

22. Probabiliteti që një avion të vonohet në kushte të pafavorshme (moti i keq, arsye teknike) është 0,6 dhe në kushte të favorshme - 0,1. Kushtet e pafavorshme janë vërejtur në 20% të fluturimeve, të favorshme - në 80%. Gjeni probabilitetin që: a) avioni të vonohet në fluturimin tjetër; b) vonesa është shoqëruar me kushte të pafavorshme.

23. Produktet e të njëjtit lloj dalin në shitje nga fabrikat 1 dhe 2, duke furnizuar 60% dhe 40% të produkteve. Përqindja e defekteve në impiantin 1 është 0,05, në impiantin 2 - 0,07. Gjeni probabilitetin që: a) produkti i blerë të jetë me defekt; b) produkti me defekt është prodhuar nga fabrika 2.

24. Dy tufa përmbajnë të njëjtin numër pjesësh të të njëjtit lloj dhe kanë shkallë defekti (probabilitete të pjesëve me defekt) përkatësisht 0.1 dhe 0.2. Një nga grupet zgjidhet në mënyrë të rastësishme nga e cila hiqet pjesa. a) Gjeni probabilitetin që ai të jetë i dëmtuar; b) Gjeni probabilitetin që pjesa që rezultoi e dëmtuar i përkiste grupit të parë.

25. Probabiliteti për të goditur një objektiv nga një bombardues në mot të kthjellët është 0.9, në mot të keq - 0.7. Moti i kthjellët më 1 qershor u vu re në 60% të rasteve, mot i keq - në 40%. Gjeni probabilitetin që më 1 qershor: a) objektivi të goditet; b) moti ishte i kthjellët nëse dihet që objektivi është goditur.

26. Dy shahistë A dhe B po luajnë një lojë. Probabiliteti që A të fitojë nëse ka pjesë të bardha është 0.7, nëse ka pjesë të zeza - 0.4. Ngjyra e pjesëve përcaktohet para lojës me short. Gjeni probabilitetin që: a) shahisti A të fitojë; b) A ka luajtur me copa të zeza, nëse dihet se ka fituar.

27. Probabiliteti i mbërritjes në kohë të anijes nëse motori funksionon pa dështim është 0,8 dhe nëse prishet - 0,1. Motori më parë funksiononte pa dështim në 90% të udhëtimeve të anijes. Gjeni probabilitetin që: a) anija të mos vonojë në udhëtimin e saj të ardhshëm; b) dështimi i motorit, nëse dihet se anija ishte vonë.

28. Pajisja mund të përdoret në 30% të rasteve në kushte të vështira, ku dështon me probabilitet 0.3 dhe në 70% të rasteve në kushte të favorshme, ku defektet me probabilitet 0.1. Gjeni probabilitetin që: a) pajisja të dështojë; b) pajisja e dështuar është përdorur në kushte të pafavorshme.

29. Nga një urnë që përmban 3 topa të bardhë dhe 2 të zinj, nxirren 2 topa me radhë. Ngjyra e të parës nuk dihet. Gjeni probabilitetin që: a) topi i dytë të jetë i bardhë; b) topi i parë ishte i zi nëse i dyti doli të ishte i bardhë.

30. Dy punëtori furnizojnë të njëjtin lloj përbërësish për montimin e produktit. E para prej tyre furnizon 60% të të gjitha nyjeve, e dyta - 40%. Probabiliteti që një njësi të jetë me defekt është 0,2 për punishten 1 dhe 0,3 për punishten 2. Gjeni probabilitetin që: a) një njësi e zgjedhur rastësisht të jetë me defekt; b) njësia me defekt ka ardhur nga punishtja 1.

Detyra 7.3.

Ndërtoni një seri shpërndarjeje, një funksion shpërndarjeje dhe grafikun e tij, gjeni pritshmërinë matematikore dhe shpërndarjen e ndryshores së rastësishme X - numrin e shfaqjeve të një ngjarjeje të rastësishme A në serinë e testeve të pavarura të treguara më poshtë.

1. Monedha hidhet 4 herë. A - Humbja e stemës së armëve gjatë një hedhjeje, P (a) = 0.5.

2. Revole qëllon në shënjestër 3 herë. A - Hit me një goditje, P (A) = 0.6.

3. Peshkatari hedh shkopin e tij të peshkimit tre herë. A - kafshoj gjatë një casti, P (a) = 0.3.

4. Nga një urnë që përmban 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj, tërhiqet rastësisht një top (nëse është i bardhë, atëherë ka ndodhur A), i cili më pas kthehet në urnë. Eksperimenti përsëritet 3 herë.

5. 3 fara kungulli mbillen. Mbirja (probabiliteti i mbirjes A të një farë) është i barabartë me P(A) = 0,8.

6. Një grimcë elementare mund të regjistrohet nga një pajisje (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0,7. Tre grimca fluturojnë në mënyrë alternative përpara pajisjes.

7. A është një ngjarje që ndodh kur shifra e parë e targës së një makine që vjen është zero. Dy makina kalojnë një nga një.

8. A - dështimi i pajisjeve elektrike të mjetit gjatë vitit, P(A)=0.3. Tre automjete janë në shqyrtim.

9. A është një ngjarje e përbërë nga një atlet që thyen një rekord botëror, P(A)=0.2. Në garë marrin pjesë tre atletë.

10. Arma lëshon tre predha në objektiv. A - goditja e predhës, P(A)=0.8.

11. Një libër i marrë rastësisht nga një raft librash mund të rezultojë të jetë një tekst shkollor (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0,4. Tre libra janë hequr.

12. Një pozitron në lindje mund të marrë një orientim rrotullimi djathtas (ngjarja A) ose majtas, P(A) = 0.6. Konsiderohen 3 pozitrone.

13. Prania e argjilës blu tregon mundësinë e depozitimit të diamantit (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.4. Balta blu u gjet në tre zona.

14. Gjatë periudhës së lulëzimit, një bimë mund të pjalmohet (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0,8. 4 bimë janë duke u konsideruar.

15. Një peshkatar mund të kapë një peshk kur kafshon (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.4. Peshkatari kishte tre kafshime.

16. Një reaksion bërthamor mund të prodhojë një grimcë rezonante (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.2. Tre reagime merren parasysh.

17. Një fidan i vendosur në tokë mund të pranohet (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.7. U mbollën tre fidanë.

18. Një gjenerator i termocentralit mund të dështojë brenda një viti (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.2. Konsiderohet një periudhë trevjeçare e funksionimit të gjeneratorit.

19. Gjatë ditës qumështi në tenxhere mund të bëhet i thartë (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.4. Është shqyrtuar rasti i tre tenxhereve.

20. Në një fotografi të bërë në një dhomë reje, një grimcë regjistrohet në eksperiment (ngjarja A) me probabilitet P(A) = 0,5. U kryen 4 eksperimente.

21. A - shfaqja e një numri çift pikësh gjatë hedhjes së një trupi. Mjeti rrotullohet 4 herë.

22. Tre armë qëllojnë në objektivat e tyre, A - predha godet objektivin, P(A) = 0.7.

23. Kur një peshkatar kafshon, ai mund të nxjerrë një peshk (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.6. Kafshimi ka ndodhur mes 4 peshkatarëve.

24. Dalja e rotorit të motorit elektrik çon në prishjen e tij me probabilitet P(A)=0.8. Konsiderohen tre motorë të të njëjtit lloj.

25. Gjatë prodhimit të një pjese mund të rezultojë me defekt (ngjarja A) me probabilitet P(A)=0.2. Janë bërë tre pjesë.

26. Makina funksionon pa dështim për një vit (ngjarja A) me probabilitet P (a) = 0.8. Ka 4 makina në punishte.

27. A - Paraqitja e një numri të çuditshëm pikash kur hedhin një zare. Mjeti rrotullohet 4 herë.

28. Treni mund të arrijë në Programin (Ngjarja A) me probabilitet P (A) = 0.9. Tre fluturime janë duke u konsideruar.

29. Mesatarisht, kur shtypni një faqe teksti, operatori bën një gabim (ngjarja A) 30% e kohës. Artikulli përmban 4 faqe tekst.

30. Një aeroplan zbulimi mund të zbulojë një objektiv (ngjarja A) me probabilitet p (a) = 0.8. Tre avionë u dërguan për të gjetur objektivin.

Detyra 7.4.

Duke pasur parasysh funksionin e shpërndarjes f (x) të ndryshores së rastësishme SV x, gjeni densitetin e shpërndarjes dhe ndërtoni grafikun e tij. Llogaritni probabilitetin P( a≤X≤ b) nëse vlera e SV bie brenda një interval të caktuar, pritja matematikore dhe shpërndarja.

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Detyra 7.5.

Gjeni mundësinë e rënies brenda një intervali të caktuar [ a,b] vlerat e një ndryshore të rastësishme të shpërndarë normalisht X, nëse dihet pritshmëria e tij matematikore M[X] dhe varianca D[X].

Le të kërkohet të gjesh me saktësi deri në (me disavantazh). Le t'i rregullojmë llogaritjet si kjo:

Së pari gjejmë rrënjën e përafërt, të saktë në 1, vetëm nga numri i plotë 2. marrim 1 (dhe pjesa tjetër është 1). Ne shkruajmë numrin 1 në rrënjë dhe vendosim presje pas tij. Tani gjejmë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, ne i shtojmë pjesës së mbetur 1 numrat 3 dhe 5, të vendosur në të djathtë të pikës dhjetore dhe vazhdojmë nxjerrjen sikur të nxjerrim rrënjën e numrit të plotë 235. Numrin që rezulton 5 e shkruajmë në rrënjë në vendin e të dhjetave. Nuk na duhen shifrat e mbetura të numrit radikal (104). Që numri që rezulton 1.5 do të jetë në të vërtetë një rrënjë e përafërt brenda , mund të shihet nga sa vijon; nëse do të gjenim rrënjën më të madhe të numrit të plotë të 235 me një saktësi prej 1, do të merrnim 15, që do të thotë

Duke pjesëtuar secilin prej këtyre numrave me 100, marrim:

(Duke shtuar numrin 0.00104, shenja e dyfishtë ≤ duhet të ndryshojë qartë në shenjë<, а знак >mbetet (që nga 0.00104< 0,01).)

Supozoni se duam të gjejmë një të përafërt me një disavantazh, deri në një saktësi. Le të gjejmë numrin e plotë, pastaj shifrën e të dhjetës, pastaj shifrën e qindëshes. Rrënja e një numri të plotë është 15 numra të plotë. Për të marrë shifrën e dhjetës, duhet, siç e pamë, t'i shtojmë edhe dy shifra të mbetura 23, në të djathtë të pikës dhjetore:

Në shembullin tonë, këta numra nuk janë fare të pranishëm; vendos zero në vend të tyre. Duke i shtuar ato në pjesën e mbetur dhe duke vazhduar sikur të gjenim rrënjën e numrit të plotë 24800, do të gjejmë të dhjetat figurën 7. Mbetet të gjejmë shifrën e qindësheve. Për ta bërë këtë, ne shtojmë dy zero të tjera në pjesën e mbetur 151 dhe vazhdojmë nxjerrjen, sikur të gjenim rrënjën e numrit të plotë 2480000. Marrim 15.74. Që ky numër është me të vërtetë një rrënjë e përafërt e 248 me një saktësi deri në një disavantazh, mund të shihet nga sa vijon. Nëse do të gjenim rrënjën katrore më të madhe të numrit të plotë të numrit të plotë 2480000, do të merrnim 1574, që do të thotë

Duke pjesëtuar secilin prej këtyre numrave me 10000 (1002), marrim:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Kjo do të thotë se 15.74 është ajo thyesë dhjetore që ne e quajtëm një rrënjë të përafërt me një disavantazh me një saktësi deri në 248.

Rregulli. Për të nxjerrë nga një numër i plotë i dhënë ose nga një thyesë dhjetore e dhënë një rrënjë e përafërt me një mangësi me një saktësi të rrënjës ka 0 numra të plotë).

Pastaj ata gjejnë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, shtoni dy shifra të numrit të pushtuar në të djathtë të pikës dhjetore në pjesën e mbetur (nëse nuk janë aty, shtoni dy zero në pjesën e mbetur) dhe vazhdoni nxjerrjen siç bëhet kur nxjerrni rrënjën e një numri të plotë. Numri që rezulton shkruhet në rrënjë në vendin e të dhjetave.

Pastaj gjeni numrin e qindtave. Për ta bërë këtë, dy numra në të djathtë të atyre që sapo u hoqën i shtohen pjesës së mbetur, etj.

Kështu, kur nxjerrim rrënjën e një numri të plotë me një thyesë dhjetore numri duhet të ndahet në skaje me dy shifra secila, duke filluar nga pika dhjetore, si majtas (në pjesën e plotë të numrit) ashtu edhe djathtas (në pjesën thyesore).

Shembuj.

Në shembullin e fundit, ne konvertuam një fraksion në një dhjetore duke llogaritur tetë shifra dhjetore për të krijuar katër faqet e nevojshme për të gjetur katër shifrat dhjetore të rrënjës.

Walter A. Aue / flickr.com

Fizikanët amerikanë sqaruan dimensionin e hapësirë-kohës duke krahasuar distancën me burimin, të llogaritur nga dobësimi i valëve gravitacionale dhe nga zhvendosja e kuqe e rrezatimit elektromagnetik. Shkencëtarët kryen llogaritje të tilla për ngjarjen GW170817 dhe zbuluan se dimensioni i hapësirë-kohës sonë është afërsisht i barabartë me D≈ 4,0 ± 0,1. Përveç kësaj, ata vendosën një kufi më të ulët në jetëgjatësinë e gravitonit, i cili ishte rreth 450 milionë vjet. Një preprint i artikullit është postuar në arXiv.org.

Përditësuar: në korrik 2018, artikulli ishtebotuar në Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.

Relativiteti i përgjithshëm dhe Modeli Standard janë ndërtuar mbi supozimin se ne jetojmë në hapësirë-kohë katërdimensionale. Më saktësisht, në një dimension (3+1): 3 dimensione hapësinore dhe një dimension kohor. Nga ana tjetër, shkencëtarët kanë tendencë të dyshojnë në deklaratat më themelore. Ndoshta dimensioni i kohës sonë hapësinore nuk është saktësisht i barabartë me katër, por thjesht shumë afër kësaj vlere? Në fakt, ka teori në të cilat koha jonë hapësinore është ngulitur në hapësira me dimensione më të larta. Prandaj, në përgjithësi, katër-dimensionaliteti i botës sonë duhet të provohet, dhe të mos merret si i mirëqenë.

Një ekip fizikantësh i udhëhequr nga David Spergel ka vendosur kufizime të sakta në dimensionin e hapësirës sonë-kohë duke analizuar valët gravitacionale dhe elektromagnetike që vijnë pothuajse njëkohësisht në Tokë, të emetuara gjatë bashkimit të dy yjeve neutron. Nga njëra anë, distanca nga burimi i valës mund të përcaktohet nga komponenti elektromagnetik. Nga ana tjetër, mund të llogaritet nga dobësimi i valëve gravitacionale. Natyrisht, të dyja këto distanca duhet të përkojnë, gjë që imponon kufizime në diferencën midis shkallës së zbërthimit dhe shkallës së parashikuar nga relativiteti i përgjithshëm. Vlen të përmendet se një gabim shtesë në distancën e përcaktuar nga zhvendosja e kuqe paraqitet nga fakti se vlerat e konstantës së Hubble, të matura nga shpejtësia e tërheqjes së galaktikave dhe nga luhatjet e rrezatimit të sfondit të mikrovalës kozmike, janë me njëri tjetrin. Në këtë artikull, për çdo rast, shkencëtarët kryen llogaritjet për të dyja vlerat, por gabimi në të dhënat eksperimentale gjithsesi e tejkalonte këtë ndryshim.

Në Teorinë e Përgjithshme të Relativitetit, intensiteti i valëve gravitacionale zvogëlohet në përpjesëtim të zhdrejtë me fuqinë e parë të distancës nga burimi: h ~ 1/r. Sidoqoftë, në teoritë me më shumë dimensione ky ligj modifikohet dhe prishja ndodh më shpejt: h ~ 1/rγ, ku γ = ( D− 2)/2, dhe D- numri i matjeve. Rezulton se energjia e valës duket se "rrjedh" në dimensione shtesë. Duke llogaritur distancën "elektromagnetike" dhe "gravitacionale" me yjet neutron, fizikanët përcaktuan se shkalla e varësisë γ ≈ 1.00 ± 0.03, domethënë dimensioni i hapësirës sonë D≈ 4,0 ± 0,1.

Shpërndarja e probabilitetit në të cilën jetojmë D-hapësirë ​​dimensionale. Linjat me ngjyra të ndryshme korrespondojnë me vlera të ndryshme të konstantës Hubble të përdorura në llogaritjet

Nga ana tjetër, në një lloj tjetër të teorive alternative, graviteti ekzaminohet - në distanca të vogla ai sillet në të njëjtën mënyrë si në teorinë katërdimensionale, dhe në distanca të mëdha i ngjan D-dimensionale. Duke marrë parasysh kufizimet e ngjarjes GW170817, fizikanët përcaktuan rrezen minimale të shqyrtimit të teorive të tilla - ishte rreth njëzet megaparseks. Në këtë rast, burimi i valëve ndodhet në galaktikën NGC 4993 në një distancë prej rreth dyzet megaparseks.

Së fundi, mund të lindë zbutje shtesë e valëve gravitacionale sepse gravitonët janë grimca të paqëndrueshme dhe prishen gjatë udhëtimit të tyre nga burimi në detektor. Bazuar në këtë supozim, fizikantët kanë llogaritur një kufi më të ulët në jetën e gravitonit. Doli se nuk mund të jetë më pak se 4.5 × 10 8 vjet.

Zbulimi i njëkohshëm i përbërësve gravitacional dhe elektromagnetikë pati një ndikim të madh në teoritë alternative të gravitetit. Për shembull, në fund të dhjetorit të vitit të kaluar në Letrat e rishikimit fizik Në të njëjtën kohë, u botuan katër artikuj kushtuar ngjarjes GW170817 dhe kufizime në teori të ndryshme kuantike të gravitetit. Për më tepër, kjo ngjarje imponon kufizime shumë të rrepta në shpejtësinë e gravitetit - tani raporti i shpejtësisë së gravitetit me shpejtësinë e dritës mund të ndryshojë nga uniteti jo më shumë se 3 × 10 -15.

Dmitry Trunin