3.5. Ligjet e ruajtjes dhe ndryshimit të energjisë
3.5.1. Ligji i ndryshimit energji të plotë mekanike
Ndryshimi në energjinë totale mekanike të një sistemi trupash ndodh kur puna kryhet nga forcat që veprojnë si midis trupave të sistemit ashtu edhe nga ana e trupave të jashtëm.
Përcaktohet ndryshimi i energjisë mekanike ∆E të një sistemi trupash ligji i ndryshimit të energjisë totale mekanike:
∆E = E 2 - E 1 = A ext + A tr (res),
ku E 1 është energjia totale mekanike e gjendjes fillestare të sistemit; E 2 - energjia totale mekanike e gjendjes përfundimtare të sistemit; Një e jashtme - punë e kryer në trupat e sistemit nga forca të jashtme; Një tr (res) është puna e kryer nga forcat e fërkimit (rezistencës) që veprojnë brenda sistemit.
Shembulli 30. Në një lartësi të caktuar, një trup në prehje ka një energji potenciale të barabartë me 56 J. Në kohën kur ai bie në Tokë, trupi ka një energji kinetike të barabartë me 44 J. Përcaktoni punën e forcave të rezistencës së ajrit.
Zgjidhje. Figura tregon dy pozicione të trupit: në një lartësi të caktuar (e para) dhe në kohën kur ai bie në Tokë (e dyta). Niveli zero i energjisë potenciale zgjidhet në sipërfaqen e Tokës.
Energjia totale mekanike e një trupi në lidhje me sipërfaqen e Tokës përcaktohet nga shuma e energjisë potenciale dhe kinetike:
- në njëfarë lartësie
E 1 = W p 1 + W k 1;
- deri në momentin e rënies në Tokë
E 2 = W p 2 + W k 2,
ku W p 1 = 56 J - energjia potenciale e trupit në një lartësi të caktuar; W k 1 = 0 - energjia kinetike e një trupi në prehje në një lartësi të caktuar; W p 2 = 0 J është energjia potenciale e trupit në kohën kur ai bie në Tokë; W k 2 = 44 J është energjia kinetike e trupit në kohën kur ai bie në Tokë.
Ne gjejmë punën e forcave të rezistencës së ajrit nga ligji i ndryshimit të energjisë totale mekanike të një trupi:
ku E 1 = W p 1 - energjia totale mekanike e trupit në një lartësi të caktuar; E 2 = W k 2 është energjia totale mekanike e trupit në kohën kur ai bie në Tokë; A ext = 0 - puna e forcave të jashtme (nuk ka forca të jashtme); Një res është puna e forcave të rezistencës ajrore.
Puna e kërkuar e forcave të rezistencës ajrore përcaktohet kështu nga shprehja
A res = W k 2 - W p 1.
Le të bëjmë llogaritjen:
A re = 44 - 56 = -12 J.
Puna e forcave të rezistencës ajrore është negative.
Shembulli 31. Dy susta me faktor ngurtësie prej 1,0 kN / m dhe 2,0 kN / m janë të lidhura paralelisht. Çfarë pune duhet bërë për të shtrirë sistemin e sustave me 20 cm?
Zgjidhje. Figura tregon dy susta me faktorë të ndryshëm ngurtësie të lidhur paralelisht.
Forca e jashtme F → shtrirja e sustave varet nga sasia e deformimit të sustës së përbërë, prandaj, llogaritja e punës së forcës së specifikuar sipas formulës për llogaritjen e punës së një force konstante është e pavlefshme.
Për të llogaritur punën, do të përdorim ligjin e ndryshimit të energjisë totale mekanike të sistemit:
E 2 - E 1 = A ext + A res,
ku E 1 është energjia totale mekanike e sustës së përbërë në gjendje të padeformuar; E 2 - energjia totale mekanike e sustës së deformuar; Një ext - puna e një force të jashtme (vlera e kërkuar); A res = 0 - puna e forcave të rezistencës.
Energjia totale mekanike e një sustë të përbërë është energjia potenciale e deformimit të saj:
- për një pranverë të padeformuar
E 1 = W p 1 = 0,
- për pranverë të zgjatur
E 2 = W p 2 = k total (Δ l) 2 2,
ku k total është koeficienti i përgjithshëm i ngurtësisë së sustës së përbërë; Δl është sasia e tensionit të sustës.
Koeficienti total i ngurtësisë së dy sustave të lidhura paralelisht është shuma
k total = k 1 + k 2,
ku k 1 - koeficienti i ngurtësisë së sustës së parë; k 2 - koeficienti i ngurtësisë së pranverës së dytë.
Ne gjejmë punën e forcës së jashtme nga ligji i ndryshimit të energjisë totale mekanike të trupit:
A ext = E 2 - E 1,
duke zëvendësuar në këtë shprehje formulat që përcaktojnë E 1 dhe E 2, si dhe shprehjen për koeficientin total të ngurtësisë së sustës së përbërë:
A ext = k total (Δ l) 2 2 - 0 = (k 1 + k 2) (Δ l) 2 2.
Le të bëjmë llogaritjen:
Një ext = (1,0 + 2,0) ⋅ 10 3 ⋅ (20 ⋅ 10 - 2) 2 2 = 60 J.
Shembulli 32. Një plumb me peshë 10,0 g, që fluturon me shpejtësi 800 m/s, godet një mur. Moduli i forcës së rezistencës ndaj lëvizjes së plumbit në mur është konstant dhe arrin në 8.00 kN. Përcaktoni se sa larg do të shkojë plumbi në mur.
Zgjidhje. Figura tregon dy pozicione të plumbit: kur i afrohet murit (i pari) dhe deri në momentin kur plumbi ndalon (ngulitet) në mur (i dyti).
Energjia totale mekanike e një plumbi është energjia kinetike e lëvizjes së tij:
- kur plumbi i afrohet murit
E 1 = W k 1 = m v 1 2 2;
- në momentin që plumbi ndalon (ngulitet) në mur
E 2 = W k 2 = m v 2 2 2,
ku W k 1 - energjia kinetike e plumbit kur i afrohet murit; W k 2 - energjia kinetike e plumbit në momentin e ndalimit të tij (ngecjes) në mur; m është masa e plumbit; v 1 - moduli i shpejtësisë së plumbit kur i afroheni murit; v 2 = 0 - madhësia e shpejtësisë së plumbit në kohën kur ndalon (ngec) në mur.
Distanca që plumbi do të depërtojë në mur mund të gjendet nga ligji i ndryshimit të energjisë totale mekanike të plumbit:
E 2 - E 1 = A ext + A res,
ku E 1 = m v 1 2 2 është energjia totale mekanike e plumbit kur i afrohet murit; E 2 = 0 është energjia totale mekanike e plumbit në momentin e ndalimit të tij (ngecjes) në mur; A ext = 0 - puna e forcave të jashtme (nuk ka forca të jashtme); Një res është puna e forcave të rezistencës.
Puna e forcave të rezistencës përcaktohet nga produkti:
A res = F res l cos α,
ku F res është moduli i forcës së rezistencës ndaj lëvizjes së plumbit; l është distanca që plumbi do të depërtojë në mur; α = 180 ° - këndi midis drejtimeve të forcës së rezistencës dhe drejtimit të lëvizjes së plumbit.
Kështu, ligji i ndryshimit në energjinë totale mekanike të një plumbi është në mënyrë eksplicite si më poshtë:
- m v 1 2 2 = F res l cos 180 °.
Distanca e kërkuar përcaktohet nga raporti
l = - m v 1 2 2 F res cos 180 ° = m v 1 2 2 F res
l = 10,0 ⋅ 10 - 3 ⋅ 800 2 2 ⋅ 8,00 ⋅ 10 3 = 0,40 m = 400 mm.
Çdo çiklist, motoçiklist, shofer, shofer, pilot ose kapiten i një anijeje e di se makina e tij ka një shpejtësi maksimale; të cilat nuk mund të tejkalohen me asnjë përpjekje. Pedalin e gazit mund ta shtypni sa të doni, por është e pamundur të “shtrydhni” një kilometër shtesë në orë nga makina. E gjithë shpejtësia e zhvilluar shkon për të kapërcyer forcat e rezistencës ndaj lëvizjes.
Tejkalimi i fërkimeve të ndryshme
Për shembull, një makinë ka një motor pesëdhjetë kuaj fuqi. Kur shoferi shtyp gazin deri në fund, boshti me gunga i motorit fillon të bëjë tre mijë e gjashtëqind rrotullime në minutë. Pistonët nxitojnë lart e poshtë si të çmendur, valvulat kërcejnë, ingranazhet rrotullohen dhe makina lëviz, megjithëse shumë shpejt, por plotësisht në mënyrë të barabartë, dhe e gjithë shtytja e motorit shpenzohet për të kapërcyer forcat e rezistencës ndaj lëvizjes, në veçanti tejkalimi i fërkimeve të ndryshme... Për shembull, ja se si shpërndahet forca e shtytjes së motorit midis "kundërshtarëve" të tij - lloje të ndryshme me një shpejtësi makine prej njëqind kilometrash në orë:- për të kapërcyer fërkimin në kushineta dhe midis ingranazheve, harxhohet rreth gjashtëmbëdhjetë përqind e shtytjes së motorit,
- për të kapërcyer fërkimin rrotullues të rrotave në rrugë - rreth njëzet e katër përqind,
- tejkalimi i rezistencës së ajrit kërkon gjashtëdhjetë për qind të forcës tërheqëse të mjetit.
Windage
Kur merren parasysh forcat e rezistencës ndaj lëvizjes, të tilla si:- fërkimi i rrëshqitjes zvogëlohet pak me rritjen e shpejtësisë,
- fërkimi i rrotullimit ndryshon shumë pak,
- erëra plotësisht i padukshëm kur lëviz ngadalë, bëhet një forcë e frikshme frenimi kur shpejtësia rritet.
Artileritë u interesuan për rezistencën ajrore
Rezistenca e ajrit para së gjithash pushtuesit u interesuan... Ata u përpoqën të kuptonin pse predhat e topave nuk fluturuan aq larg sa do të donin. Llogaritjet treguan se nëse nuk kishte ajër në Tokë, predha e një topi shtatëdhjetë e gjashtë milimetra do të fluturonte të paktën njëzet e tre kilometra e gjysmë, por në realitet ajo vetëm bie shtatë kilometra larg topit... Rezistenca e ajrit humbet një rreze prej gjashtëmbëdhjetë kilometra e gjysmë... Është turp, por asgjë nuk mund të bëhet! Gunnerët përmirësuan armët dhe predhat, të udhëhequr kryesisht nga hamendjet dhe zgjuarsia. Në fillim nuk u mor vesh se çfarë ndodhi me predhën në ajër. Do të doja të shikoja një predhë fluturuese dhe të shihja se si pret ajrin, por predha fluturon shumë shpejt, syri nuk mund t'i kapë lëvizjet e tij dhe ajri është edhe më i padukshëm. Dëshira dukej e parealizueshme, por fotografia ndihmoi. Në dritën e një shkëndije elektrike, u bë e mundur të fotografohej një plumb fluturues. Një shkëndijë shkëlqeu dhe për një moment ndriçoi një plumb që fluturonte para objektivit të kamerës. Shkëlqimi i tij ishte i mjaftueshëm për të marrë një fotografi jo vetëm të plumbit, por edhe të ajrit që po kalonte. Fotografia tregonte vija të errëta që shtriheshin nga plumbi në anët. Falë fotografive u bë e qartë se çfarë ndodh kur predha fluturon në ajër. Me një lëvizje të ngadaltë të një objekti, grimcat e ajrit ndahen në heshtje përpara tij dhe pothuajse nuk ndërhyjnë me të, por me një lëvizje të shpejtë, fotografia ndryshon, grimcat e ajrit nuk kanë më kohë të shpërndahen në anët. Predha fluturon dhe, si një piston pompe, drejton ajrin përpara vetes dhe e ngjesh atë. Sa më e lartë të jetë shpejtësia, aq më e fortë është ngjeshja dhe ngjeshja. Në mënyrë që predha të lëvizë më shpejt, të depërtojë më mirë në ajrin e ngjeshur, koka e saj bëhet me majë.Rrip ajri me rrotullim
Në fotografinë e një plumbi fluturues, dukej qartë se ajo kishte një ajri rrotullues... Një pjesë e energjisë së plumbit ose predhës shpenzohet gjithashtu për formimin e vorbullave. Prandaj, predhat dhe plumbat filluan të bënin pjesën e poshtme të pjerrët, kjo zvogëloi forcën e rezistencës ndaj lëvizjes në ajër. Falë fundit të pjerrët, rrezet e predhave të topit shtatëdhjetë e gjashtë milimetra arritën njëmbëdhjetë - dymbëdhjetë kilometra.Fërkimi i grimcave të ajrit
Kur fluturoni në ajër, shpejtësia e lëvizjes ndikohet gjithashtu nga fërkimi i grimcave të ajrit në muret e objektit fluturues. Ky fërkim është i vogël, por ende ekziston dhe ngroh sipërfaqen. Prandaj, avionët duhet të lyhen me bojë me shkëlqim dhe të mbulohen me një llak të veçantë të aviacionit. Kështu, forcat e rezistencës ndaj lëvizjes në ajër ndaj të gjitha objekteve në lëvizje lindin për shkak të tre fenomeneve të ndryshme:- vulat e ajrit përpara,
- turbulenca prapa
- fërkim i lehtë ajri në sipërfaqen anësore të objektit.
Rezistenca ndaj lëvizjes nga ana e ujit
Objektet që lëvizin në ujë - peshqit, nëndetëset, minat vetëlëvizëse - silurët, etj. - takohen me një rezistencë ndaj ujit... Me një rritje të shpejtësisë, forcat e rezistencës në ujë rriten edhe më shpejt se në ajër. Prandaj, vlera të efektshme rritet. Vetëm shikoni formën e trupit të pikut. Ajo duhet të ndjekë peshq të vegjël, kështu që është e rëndësishme për të që uji të ketë rezistencë minimale ndaj lëvizjes së saj.
Forma e peshkut u jepet silurëve vetëlëvizës, të cilët duhet të godasin shpejt anijet e armikut, duke i penguar ata të shmangin një sulm. Kur një varkë me motor nxiton përgjatë sipërfaqes së ujit ose siluruesit sulmojnë, mund të shihni se si harku i mprehtë i anijes ose varkës i prenë valët, duke i kthyer ato në shkumë të bardhë si bora, dhe një ndërprerës vlon pas sternës dhe një rrip i shkumëzuar. uji mbetet. Rezistenca ndaj ujit i ngjan rezistencës së ajrit - valët drejtohen djathtas dhe majtas të anijes, dhe vorbullat formohen pas - ndërprerësit me shkumë; ndikon edhe fërkimi midis ujit dhe pjesës së zhytur të anijes. Dallimi midis lëvizjes në ajër dhe lëvizjes në ujë qëndron vetëm në faktin se uji është një lëng i papërshtatshëm dhe një "jastëk" i ngjeshur nuk shfaqet para anijes, e cila duhet të shpohet. Por dendësia e ujit është pothuajse një mijë herë më e madhe se ajo e ajrit... Viskoziteti i ujit është gjithashtu i rëndësishëm. Uji nuk është aq i gatshëm dhe i lehtë për t'u ndarë para anijes, kështu që rezistenca ndaj lëvizjes që u jep objekteve është shumë e madhe. Provoni, për shembull, të zhyteni nën ujë, duartrokitni duart atje. Kjo nuk do të ketë sukses - uji nuk do të lejojë. Shpejtësitë e anijeve detare janë dukshëm inferiore ndaj shpejtësive të anijeve ajrore. Më e shpejta nga të gjitha anijet detare - silurët zhvillojnë një shpejtësi prej pesëdhjetë nyjesh, dhe varkat me shpejtësi, që rrëshqasin në sipërfaqen e ujit - deri në njëqind e njëzet nyje. (Një nyjë është një masë detare e shpejtësisë; një nyje është 1,852 metra në orë.) Zgjidhje.
Për të zgjidhur problemin, le të shqyrtojmë sistemin fizik "trupi - fusha gravitacionale e Tokës". Trupi do të konsiderohet një pikë materiale, dhe fusha gravitacionale e Tokës - homogjene. Sistemi i zgjedhur fizik nuk është i mbyllur, pasi gjatë lëvizjes së trupit ndërvepron me ajrin.
Nëse nuk marrim parasysh forcën lëvizëse që vepron në trup nga ana e ajrit, atëherë ndryshimi i energjisë totale mekanike të sistemit është i barabartë me punën e forcës së rezistencës së ajrit, d.m.th.∆ E = A c.
Ne zgjedhim nivelin zero të energjisë potenciale në sipërfaqen e Tokës. Forca e vetme e jashtme në lidhje me sistemin "trup - tokë" është forca e rezistencës së ajrit e drejtuar vertikalisht lart. Energjia fillestare e sistemit E 1, E 2 e fundit.
Puna e forcës së rezistencës A.
Sepse këndi midis forcës së tërheqjes dhe zhvendosjes është 180 °, atëherë kosinusi është -1, kështu që A = - F c h. Le të barazojmë A.
Sistemi fizik i hapur i konsideruar mund të përshkruhet gjithashtu nga një teoremë mbi ndryshimin e energjisë kinetike të një sistemi objektesh ndërvepruese, sipas së cilës ndryshimi në energjinë kinetike të sistemit është i barabartë me punën e bërë nga forcat e jashtme dhe të brendshme gjatë kalimi i tij nga gjendja fillestare në gjendjen përfundimtare. Nëse nuk merrni parasysh forcën e lëvizshmërisë që vepron në trup nga ana e ajrit, dhe atë të brendshme - forcën e gravitetit. Prandaj∆ E к = A 1 + A 2, ku A 1 = mgh - puna e gravitetit, A 2 = F c hcos 180 ° = - F c h - puna e forcës së rezistencës;∆ E = E 2 - E 1.
Kjo është një detyrë krijuese për një klasë master të shkencave kompjuterike për nxënësit e shkollës në FEFU.
Qëllimi i detyrës është të zbuloni se si do të ndryshojë trajektorja e trupit nëse merret parasysh rezistenca e ajrit. Është gjithashtu e nevojshme t'i përgjigjemi pyetjes nëse diapazoni i fluturimit do të arrijë akoma vlerën e tij maksimale në një kënd të hedhjes prej 45 °, duke pasur parasysh rezistencën e ajrit.
Në rubrikën "Kërkime analitike" është paraqitur teoria. Ky seksion mund të anashkalohet, por duhet të jetë kryesisht i kuptueshëm për ju, sepse b O Shumicën e kësaj e keni kaluar në shkollë.
Seksioni "Studimi numerik" përmban një përshkrim të algoritmit që duhet të zbatohet në një kompjuter. Algoritmi është i thjeshtë dhe konciz, kështu që të gjithë duhet të jenë mirë.
Hulumtim analitik
Le të prezantojmë një sistem koordinativ drejtkëndor siç tregohet në figurë. Në momentin fillestar të kohës, një trup me masë mështë në origjinë. Vektori i nxitimit gravitacional është i drejtuar vertikalisht poshtë dhe ka koordinata (0, - g).është vektori i shpejtësisë fillestare. Le ta zgjerojmë këtë vektor në bazë:
... Këtu, ku është moduli i vektorit të shpejtësisë, është këndi i hedhjes. Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit:.
Nxitimi në çdo moment të kohës është shkalla (e menjëhershme) e ndryshimit të shpejtësisë, domethënë derivati i shpejtësisë në lidhje me kohën:.
Prandaj, ligji i 2-të i Njutonit mund të rishkruhet si më poshtë:
, ku është rezultati i të gjitha forcave që veprojnë në trup.
Meqenëse trupi ndikohet nga forca e gravitetit dhe forca e rezistencës së ajrit, atëherë 
.
Ne do të shqyrtojmë tre raste:
1) Forca e rezistencës së ajrit është 0:.
2) Forca e rezistencës së ajrit drejtohet në mënyrë të kundërt me vektorin e shpejtësisë dhe vlera e saj është proporcionale me shpejtësinë: 
.
3) Forca e rezistencës së ajrit drejtohet në mënyrë të kundërt me vektorin e shpejtësisë dhe vlera e saj është proporcionale me katrorin e shpejtësisë: 
.
Së pari, merrni parasysh rastin e parë.
Në këtë rast 
, ose . 
Nga kjo rrjedh se 
(lëvizje e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme).
sepse ( rështë vektori i rrezes), atëherë 
.
Nga këtu 
.
Kjo formulë nuk është gjë tjetër veçse formula e njohur për ligjin e lëvizjes së një trupi me lëvizje të përshpejtuar uniformisht.
Që atëherë 
.
Duke pasur parasysh se dhe 
, marrim barazi skalare nga barazia e fundit vektoriale:
Le të analizojmë formulat që rezultojnë.
Gjej koha e fluturimit trupi. Duke barazuar y në zero, marrim
Nga kjo formulë rezulton se diapazoni maksimal i fluturimit arrihet në.
Tani do të gjejmë ekuacioni i trajektores së trupit... Për ta bërë këtë, ne shprehemi t përtej x
Dhe zëvendësoni shprehjen që rezulton me t në barazi për y.
Funksioni që rezulton y(x) është një funksion kuadratik, grafiku i tij është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë.
Lëvizja e një trupi të hedhur në një kënd me horizontin (duke përjashtuar rezistencën e ajrit) përshkruhet në këtë video.
Tani merrni parasysh rastin e dytë: .
Ligji i dytë merr formën 
,
nga këtu 
.
Le ta shkruajmë këtë barazi në formë skalare:
Ne kemi dy ekuacione diferenciale lineare.
Ekuacioni i parë ka një zgjidhje
Kjo mund të verifikohet duke e zëvendësuar këtë funksion në ekuacionin për v x dhe në gjendjen fillestare 
.
Këtu e = 2.718281828459 ... është numri i Euler-it.
Ekuacioni i dytë ka një zgjidhje
Sepse 
,
, atëherë në prani të rezistencës së ajrit, lëvizja e trupit priret të jetë e njëtrajtshme, në ndryshim nga rasti 1, kur shpejtësia rritet pafundësisht.
Videoja e mëposhtme thotë se parashutisti së pari lëviz me një ritëm të përshpejtuar, dhe më pas fillon të lëvizë në mënyrë të barabartë (edhe para se të vendoset parashuta).
Le të gjejmë shprehje për x dhe y.
Sepse x(0) = 0, y(0) = 0, atëherë
Na mbetet të shqyrtojmë rastin 3, kur
.Ligji i dytë i Njutonit ka formën
, ose 
.Në formë skalare, ky ekuacion ka formën:
atë sistemi i ekuacioneve diferenciale jolineare... Ky sistem nuk mund të zgjidhet në mënyrë eksplicite, prandaj është i nevojshëm aplikimi i modelimit numerik.
Hulumtimi numerik
Në pjesën e mëparshme, pamë se në dy rastet e para, ligji i lëvizjes së trupit mund të merret në mënyrë eksplicite. Sidoqoftë, në rastin e tretë, është e nevojshme që problemi të zgjidhet numerikisht. Me ndihmën e metodave numerike, do të marrim vetëm një zgjidhje të përafërt, por një saktësi e vogël do të jetë e mirë për ne. (Numri π ose rrënja katrore e 2, nga rruga, nuk mund të shkruhet absolutisht saktësisht, prandaj, në llogaritjet, merren një numër i kufizuar shifrash, dhe kjo është mjaft e mjaftueshme.)Ne do të shqyrtojmë rastin e dytë, kur forca e rezistencës së ajrit përcaktohet nga formula ... Vini re se për k= 0 marrim rastin e parë.
Shpejtësia e trupit 
u bindet ekuacioneve të mëposhtme:
Komponentët e nxitimit janë shkruar në anën e majtë të këtyre ekuacioneve 
.
Kujtoni se nxitimi është shkalla (e menjëhershme) e ndryshimit të shpejtësisë, domethënë derivati i shpejtësisë në lidhje me kohën.
Komponentët e shpejtësisë janë shkruar në anën e djathtë të ekuacioneve. Kështu, këto ekuacione tregojnë se si shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë lidhet me shpejtësinë.
Le të përpiqemi të gjejmë zgjidhje për këto ekuacione duke përdorur metoda numerike. Për ta bërë këtë, ne prezantojmë në boshtin kohor rrjetë: zgjidhni një numër dhe merrni parasysh momentet kohore të formës:.
Detyra jonë është të llogarisim përafërsisht vlerat 
në nyjet e rrjetit.
Zëvendësoni nxitimin në ekuacionet ( shpejtësi të menjëhershme ndryshimi i shpejtësisë) nga Shpejtësia mesatare ndryshimet në shpejtësi, duke marrë parasysh lëvizjen e trupit gjatë një periudhe kohore:
Tani le t'i zëvendësojmë përafrimet e marra në ekuacionet tona.
Formulat që rezultojnë na lejojnë të llogarisim vlerat e funksioneve në pikën tjetër të rrjetit, nëse dihen vlerat e këtyre funksioneve në pikën e mëparshme të rrjetit.
Duke përdorur metodën e përshkruar, mund të marrim një tabelë të vlerave të përafërta të komponentëve të shpejtësisë.
Si të gjendet ligji i lëvizjes së një trupi, d.m.th. tabela e koordinatave të përafërta x(t), y(t)? Po kështu!
Ne kemi
Vlera vx [j] është e barabartë me vlerën e funksionit, për vargjet e tjera është e njëjtë.
Tani mbetet për të shkruar një lak, brenda të cilit do të llogarisim vx përmes vlerës tashmë të llogaritur vx [j], dhe e njëjta gjë me pjesën tjetër të vargjeve. Cikli do të jetë aktiv j nga 1 në N.
Mos harroni të inicializoni vlerat fillestare vx, vy, x, y me formulat, x 0 = 0, y 0 = 0.
Në Pascal dhe C për llogaritjen e sinusit dhe kosinusit, ekzistojnë funksionet sin (x), cos (x). Vini re se këto funksione marrin një argument në radianë.
Duhet të ndërtoni një grafik të lëvizjes së trupit kur k= 0 dhe k> 0 dhe krahasoni grafikët që rezultojnë. Grafikët mund të ndërtohen në Excel.
Vini re se formulat e llogaritjes janë aq të thjeshta sa mund të përdorni vetëm Excel për llogaritjet dhe as të mos përdorni një gjuhë programimi.
Sidoqoftë, në të ardhmen, do t'ju duhet të zgjidhni një problem në CATS, në të cilin duhet të llogaritni kohën dhe diapazonin e fluturimit të një trupi, ku nuk mund të bëni pa një gjuhë programimi.
Ju lutemi vini re se mundeni për të testuar programin tuaj dhe kontrolloni grafikët tuaj duke krahasuar rezultatet e llogaritjes për k= 0 me formulat e sakta të dhëna në seksionin Studim Analitik.
Eksperimentoni me programin tuaj. Sigurohuni që nëse nuk ka rezistencë ajri ( k= 0) diapazoni maksimal i fluturimit me një shpejtësi fillestare fikse arrihet në një kënd prej 45 °.
Dhe duke marrë parasysh rezistencën e ajrit? Në çfarë këndi arrihet diapazoni maksimal i fluturimit?
Figura tregon trajektoret e trupit në v 0 = 10 m / s, α = 45 °, g= 9,8 m / s 2, m= 1 kg, k= 0 dhe 1, të marra duke përdorur simulimin numerik në Δ t = 0,01.
Mund të njiheni me punën e mrekullueshme të nxënësve të klasës 10 nga Troitsk, të paraqitur në konferencën "Start to Science" në 2011. Puna i kushtohet modelimit të lëvizjes së një topi tenisi të hedhur në një kënd me horizontin (duke marrë parasysh rezistenca e ajrit). Përdoren si modelimi numerik ashtu edhe eksperimenti në terren.
Kështu, kjo detyrë krijuese ju lejon të njiheni me metodat e modelimit matematik dhe numerik, të cilat përdoren në mënyrë aktive në praktikë, por studiohen pak në shkollë. Për shembull, këto metoda u përdorën në zbatimin e projekteve atomike dhe hapësinore në BRSS në mesin e shekullit të 20-të.
Zgjidhje.
Për të zgjidhur problemin, le të shqyrtojmë sistemin fizik "trupi - fusha gravitacionale e Tokës". Trupi do të konsiderohet një pikë materiale, dhe fusha gravitacionale e Tokës - homogjene. Sistemi i zgjedhur fizik nuk është i mbyllur, pasi gjatë lëvizjes së trupit ndërvepron me ajrin.
Nëse nuk marrim parasysh forcën lëvizëse që vepron në trup nga ana e ajrit, atëherë ndryshimi i energjisë totale mekanike të sistemit është i barabartë me punën e forcës së rezistencës së ajrit, d.m.th.∆ E = A c.
Ne zgjedhim nivelin zero të energjisë potenciale në sipërfaqen e Tokës. Forca e vetme e jashtme në lidhje me sistemin "trup - tokë" është forca e rezistencës së ajrit e drejtuar vertikalisht lart. Energjia fillestare e sistemit E 1, E 2 e fundit.
Puna e forcës së rezistencës A.
Sepse këndi midis forcës së tërheqjes dhe zhvendosjes është 180 °, atëherë kosinusi është -1, kështu që A = - F c h. Le të barazojmë A.
Sistemi fizik i hapur i konsideruar mund të përshkruhet gjithashtu nga një teoremë mbi ndryshimin e energjisë kinetike të një sistemi objektesh ndërvepruese, sipas së cilës ndryshimi në energjinë kinetike të sistemit është i barabartë me punën e bërë nga forcat e jashtme dhe të brendshme gjatë kalimi i tij nga gjendja fillestare në gjendjen përfundimtare. Nëse nuk merrni parasysh forcën e lëvizshmërisë që vepron në trup nga ana e ajrit, dhe atë të brendshme - forcën e gravitetit. Prandaj∆ E к = A 1 + A 2, ku A 1 = mgh - puna e gravitetit, A 2 = F c hcos 180 ° = - F c h - puna e forcës së rezistencës;∆ E = E 2 - E 1.