Zgjidhja numerike e ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Zgjidhja numerike e ekuacioneve diferenciale Zgjidhja numerike e ekuacioneve diferenciale të zakonshme Metoda e Euler-it

Ekuacionet diferenciale janë ekuacione në të cilat një funksion i panjohur shfaqet nën shenjën e derivatit. Detyra kryesore e teorisë së ekuacioneve diferenciale është studimi i funksioneve që janë zgjidhje për ekuacione të tilla.

Ekuacionet diferenciale mund të ndahen në ekuacione diferenciale të zakonshme, në të cilat funksionet e panjohura janë funksione të një ndryshoreje, dhe ekuacione diferenciale të pjesshme, në të cilat funksionet e panjohura janë funksione të dy ose më shumë ndryshoreve.

Teoria e ekuacioneve diferenciale të pjesshme është më komplekse dhe mbulohet në lëndë matematikore më të plota ose të specializuara.

Le të fillojmë të studiojmë ekuacionet diferenciale me ekuacionin më të thjeshtë - një ekuacion të rendit të parë.

Ekuacioni i formës

F(x,y,y") = 0,(1)

ku x është një ndryshore e pavarur; y - funksioni i kërkuar; y" - derivati ​​i tij, quhet ekuacion diferencial i rendit të parë.

Nëse ekuacioni (1) mund të zgjidhet në lidhje me y", atëherë ai merr formën

dhe quhet një ekuacion i rendit të parë i zgjidhur në lidhje me derivatin.

Në disa raste, është e përshtatshme të shkruhet ekuacioni (2) në formën f (x, y) dx - dy = 0, që është një rast i veçantë i ekuacionit më të përgjithshëm.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)

ku P(x,y) dhe Q(x,y) janë funksione të njohura. Ekuacioni në formën simetrike (3) është i përshtatshëm sepse ndryshoret x dhe y në të janë të barabarta, domethënë secila prej tyre mund të konsiderohet si funksion i tjetrit.

Le të japim dy përkufizime themelore të zgjidhjeve të përgjithshme dhe të veçanta të ekuacionit.

Një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (2) në një rajon të caktuar G të planit Oxy është një funksion y = μ(x,C), në varësi të x dhe një konstante arbitrare C, nëse është një zgjidhje e ekuacionit (2) për ndonjë vlera e konstantës C, dhe nëse për ndonjë kusht fillestar y x=x0 =y 0 të tillë që (x 0 ;y 0)=G, ekziston një vlerë unike e konstantës C = C 0 e tillë që funksioni y=q( x,C 0) plotëson kushtet fillestare të dhëna y=q(x 0 ,C).

Një zgjidhje e veçantë e ekuacionit (2) në fushën G është funksioni y=ts(x,C 0), i cili fitohet nga zgjidhja e përgjithshme y=ts(x,C) në një vlerë të caktuar të konstantes C=C. 0.

Gjeometrikisht, zgjidhja e përgjithshme y = μ (x, C) është një familje kurbash integrale në rrafshin Oxy, në varësi të një konstante arbitrare C, dhe zgjidhja e veçantë y = μ (x, C 0) është një kurbë integrale e kësaj familja që kalon nëpër një pikë të caktuar (x 0; y 0).

Zgjidhja e përafërt e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë me metodën e Euler-it. Thelbi i kësaj metode është se kurba e dëshiruar integrale, e cila është një grafik i një zgjidhjeje të veçantë, zëvendësohet afërsisht me një vijë të thyer. Le të jepet ekuacioni diferencial

dhe kushtet fillestare y |x=x0 =y 0 .

Le të gjejmë një zgjidhje të përafërt të ekuacionit në intervalin [x 0 ,b] që plotëson kushtet fillestare të dhëna.

Le ta ndajmë segmentin [x 0 ,b] me pika x 0<х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Le të zëvendësojmë vlerat x 0 dhe y 0 në anën e djathtë të ekuacionit y"=f(x,y) dhe të llogarisim pjerrësinë y"=f(x 0,y 0) të tangjentes me lakoren integrale në pika (x 0 ;y 0). Për të gjetur vlerën e përafërt y 1 të zgjidhjes së dëshiruar, ne zëvendësojmë kurbën integrale në segmentin [x 0 , x 1 ,] me një segment të tangjentes së saj në pikën (x 0 ; y 0). Në këtë rast marrim

y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),

nga ku, meqë njihen x 0, x 1, y 0, gjejmë

y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).

Duke zëvendësuar vlerat x 1 dhe y 1 në anën e djathtë të ekuacionit y"=f(x,y), ne llogarisim pjerrësinë y"=f(x 1,y 1) të tangjentes me lakoren integrale në pika (x 1; y 1). Më pas, duke zëvendësuar lakoren integrale në segment me një segment tangjent, gjejmë vlerën e përafërt të zgjidhjes y 2 në pikën x 2:

y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1) (x 2 - x 1)

Në këtë barazi njihen x 1, y 1, x 2 dhe y 2 shprehet përmes tyre.

Në mënyrë të ngjashme ne gjejmë

y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x

Kështu, u ndërtua përafërsisht kurba integrale e dëshiruar në formën e një vije të thyer dhe u morën vlerat e përafërta y i të zgjidhjes së dëshiruar në pikat x i. Në këtë rast, vlerat e i llogariten duke përdorur formulën

y i = y i-1 +f(x i-1 ;y i-1) ?x (i=1,2, …, n).

Formula është formula kryesore e llogaritjes së metodës Euler. Saktësia e tij është më e lartë, aq më i vogël është diferenca?x.

Metoda e Euler-it i referohet metodave numerike që ofrojnë një zgjidhje në formën e një tabele të vlerave të përafërta të funksionit të dëshiruar y(x). Është relativisht i përafërt dhe përdoret kryesisht për llogaritje të përafërta. Megjithatë, idetë në bazë të metodës së Euler-it janë pika fillestare për një sërë metodash të tjera.

Shkalla e saktësisë së metodës së Euler-it është, në përgjithësi, e ulët. Ka metoda shumë më të sakta për zgjidhjen e përafërt të ekuacioneve diferenciale.

Zgjidhja numerike e ekuacioneve diferenciale

Shumë probleme në shkencë dhe teknologji vijnë në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (ODE). ODE janë ato ekuacione që përmbajnë një ose më shumë derivate të funksionit të dëshiruar. Në përgjithësi, ODE mund të shkruhet si më poshtë:

Ku x është një ndryshore e pavarur, është derivati ​​i i-të i funksionit të dëshiruar. n është rendi i ekuacionit. Zgjidhja e përgjithshme e një ODE të rendit të ntë përmban n konstante arbitrare, d.m.th. zgjidhja e përgjithshme ka formën .

Për të zgjedhur një zgjidhje të vetme, është e nevojshme të vendosni n kushte shtesë. Në varësi të metodës së specifikimit të kushteve shtesë, ekzistojnë dy lloje të ndryshme problemesh: problemi Cauchy dhe problemi i vlerës kufitare. Nëse kushtet shtesë janë specifikuar në një pikë, atëherë një problem i tillë quhet problemi Cauchy. Kushtet shtesë në problemin Cauchy quhen kushte fillestare. Nëse janë specifikuar kushte shtesë në më shumë se një pikë, d.m.th. për vlera të ndryshme të ndryshores së pavarur, atëherë një problem i tillë quhet problem i vlerës kufitare. Vetë kushtet shtesë quhen kushte kufitare ose kufitare.

Është e qartë se kur n=1 mund të flasim vetëm për problemin Cauchy.

Shembuj të vendosjes së problemit Cauchy:

Shembuj të problemeve të vlerës kufitare:

Probleme të tilla mund të zgjidhen në mënyrë analitike vetëm për disa lloje të veçanta ekuacionesh.

Metodat numerike për zgjidhjen e problemit Cauchy për ODE-të e rendit të parë

Deklarata e problemit. Gjeni një zgjidhje për ODE të rendit të parë

Në segmentin e dhënë

Kur gjejmë një zgjidhje të përafërt, do të supozojmë se llogaritjet kryhen me një hap të llogaritur, nyjet e llogaritjes janë pikat e intervalit [ x 0 , x n ].

Qëllimi është të ndërtoni një tryezë

ato. Vlerat e përafërta të y kërkohen në nyjet e rrjetit.

Duke integruar ekuacionin në interval, marrim

Një mënyrë krejtësisht e natyrshme (por jo e vetmja) për të marrë një zgjidhje numerike është zëvendësimi i integralit në të me një formulë kuadratike të integrimit numerik. Nëse përdorim formulën më të thjeshtë për drejtkëndëshat majtas të rendit të parë

,

atëherë marrim formula eksplicite e Euler-it:

Procedura e pagesës:

Duke ditur, ne gjejmë, pastaj etj.

Interpretimi gjeometrik i metodës së Euler-it:

Duke përfituar nga ajo që është në pikë x 0 zgjidhja dihet y(x 0)= y 0 dhe vlerën e derivatit të tij, mund të shkruajmë ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit të dëshiruar në pikën:. Me një hap mjaft të vogël h ordinata e kësaj tangjente, e marrë duke zëvendësuar vlerën në anën e djathtë, duhet të ndryshojë pak nga ordinata y(x 1) zgjidhje y(x) Probleme Cauchy. Prandaj, pika e prerjes së tangjentes me drejtëzën x = x 1 mund të merret përafërsisht si pikënisja e re. Nëpërmjet kësaj pike përsëri vizatojmë një vijë të drejtë, e cila përafërsisht pasqyron sjelljen e tangjentes në pikë. Zëvendësimi këtu (d.m.th. kryqëzimi me vijën x = x 2), marrim një vlerë të përafërt y(x) në pikë x 2: etj. Si rezultat për i-Pika e marrim formulën e Euler-it.

Metoda eksplicite Euler ka saktësi ose përafrim të rendit të parë.

Nëse përdorni formulën drejtkëndëshe të drejtë: , pastaj vijmë te metoda

Kjo metodë quhet me metodën e nënkuptuar të Euler-it, pasi llogaritja e një vlere të panjohur nga një vlerë e njohur kërkon zgjidhjen e një ekuacioni që është përgjithësisht jolinear.

Metoda e nënkuptuar e Euler-it ka saktësinë ose përafrimin e rendit të parë.

Në këtë metodë, llogaritja përbëhet nga dy faza:

Kjo skemë quhet edhe metoda parashikuese-korrektuese (parashikuese-korrektuese). Në fazën e parë, vlera e përafërt parashikohet me saktësi të ulët (h), dhe në fazën e dytë, ky parashikim korrigjohet në mënyrë që vlera që rezulton të ketë saktësi të rendit të dytë.

Metodat Runge-Kutta: ideja e ndërtimit të metodave të qarta Runge–Kutta fq Rendi i -të është të merren përafrime me vlerat y(x i+1) sipas një formule të formës

…………………………………………….

Këtu a n , b nj , fq n, – disa numra (parametra) fikse.

Gjatë ndërtimit të metodave Runge–Kutta, parametrat e funksionit ( a n , b nj , fq n) zgjidhen në mënyrë të tillë që të fitohet renditja e dëshiruar e përafrimit.

Skema Runge–Kutta e rendit të katërt të saktësisë:

Shembull. Zgjidh problemin Cauchy:

Konsideroni tre metoda: metoda eksplicite Euler, metoda e modifikuar Euler, metoda Runge–Kutta.

Zgjidhja e saktë:

Formulat e llogaritjes duke përdorur metodën eksplicite të Euler për këtë shembull:

Formulat e llogaritjes së metodës së modifikuar të Euler:

Formulat e llogaritjes për metodën Runge–Kutta:

y1 – metoda e Euler-it, y2 – metoda e modifikuar e Euler-it, y3 – metoda e Runge Kutta-s.

Mund të shihet se metoda Runge–Kutta është më e sakta.

Metodat numerike për zgjidhjen e sistemeve të ODE-ve të rendit të parë

Metodat e konsideruara mund të përdoren gjithashtu për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë.

Le ta tregojmë këtë për rastin e një sistemi me dy ekuacione të rendit të parë:

Metoda e qartë Euler:

Metoda e modifikuar Euler:

Skema Runge–Kutta e rendit të katërt të saktësisë:

Problemet Cauchy për ekuacionet e rendit më të lartë reduktohen gjithashtu në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve ODE. Për shembull, merrni parasysh Problem Cauchy për një ekuacion të rendit të dytë

Le të prezantojmë një funksion të dytë të panjohur. Pastaj problemi Cauchy zëvendësohet me sa vijon:

Ato. për sa i përket problemit të mëparshëm: .

Shembull. Gjeni një zgjidhje për problemin Cauchy:

Në segment.

Zgjidhja e saktë:

Vërtet:

Le ta zgjidhim problemin duke përdorur metodën eksplicite të Euler-it, të modifikuar me metodën Euler dhe Runge-Kutta me një hap h=0.2.

Le të prezantojmë funksionin.

Pastaj marrim problemin e mëposhtëm Cauchy për një sistem me dy ODE të rendit të parë:

Metoda e qartë Euler:

Metoda e modifikuar Euler:

Metoda Runge-Kutta:

Qarku i Euler:

Metoda e modifikuar Euler:

Skema Runge - Kutta:

Teoria Max(y-y)=4*10 -5

Metoda e diferencës së fundme për zgjidhjen e problemeve të vlerës kufitare për ODE

Deklarata e problemit: gjeni një zgjidhje për një ekuacion diferencial linear

plotësimi i kushteve kufitare:. (2)

Teorema. Le . Pastaj ka një zgjidhje unike për problemin.

Ky problem reduktohet, për shembull, në problemin e përcaktimit të devijimeve të një trau që varet në skajet e tij.

Fazat kryesore të metodës së diferencës së fundme:

1) zona e ndryshimit të vazhdueshëm të argumentit () zëvendësohet nga një grup diskrete pikash të quajtura nyje: .

2) Funksioni i dëshiruar i argumentit të vazhdueshëm x përafërsisht zëvendësohet nga funksioni i argumentit diskret në një rrjet të caktuar, d.m.th. . Funksioni quhet funksion i rrjetës.

3) Ekuacioni origjinal diferencial zëvendësohet nga një ekuacion i diferencës në lidhje me funksionin e rrjetit. Ky zëvendësim quhet përafrim i diferencës.

Kështu, zgjidhja e një ekuacioni diferencial zbret në gjetjen e vlerave të funksionit të rrjetit në nyjet e rrjetit, të cilat gjenden nga zgjidhja e ekuacioneve algjebrike.

Përafrimi i derivateve.

Për të përafruar (zëvendësuar) derivatin e parë, mund të përdorni formulat:

- derivati ​​i diferencës së drejtë,

- derivati ​​i diferencës së majtë,

Derivati ​​i diferencës qendrore.

domethënë ka shumë mënyra të mundshme për përafrimin e derivatit.

Të gjitha këto përkufizime rrjedhin nga koncepti i derivatit si kufi: .

Bazuar në përafrimin e diferencës së derivatit të parë, ne mund të ndërtojmë një përafrim të diferencës së derivatit të dytë:

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të marrim përafrime të derivateve të rendit më të lartë.

Përkufizimi. Gabimi i përafrimit të derivatit të n-të është ndryshimi: .

Për të përcaktuar rendin e përafrimit, përdoret zgjerimi i serisë Taylor.

Le të shqyrtojmë përafrimin e diferencës në të djathtë të derivatit të parë:

Ato. derivati ​​i drejtë i diferencës ka së pari nga h renditja e përafrimit.

E njëjta gjë është e vërtetë për derivatin e diferencës së majtë.

Derivati ​​i diferencës qendrore ka përafrimi i rendit të dytë.

Përafrimi i derivatit të dytë sipas formulës (3) ka gjithashtu një rend të dytë përafrimi.

Për të përafruar një ekuacion diferencial, është e nevojshme të zëvendësohen të gjitha derivatet e tij me përafrimet e tyre. Le të shqyrtojmë problemin (1), (2) dhe të zëvendësojmë derivatet në (1):

Si rezultat marrim:

(4)

Rendi i përafrimit të problemit fillestar është 2, sepse derivatet e dyta dhe të para zëvendësohen me rendin 2, dhe pjesa tjetër - saktësisht.

Pra, në vend të ekuacioneve diferenciale (1), (2), u mor një sistem ekuacionesh lineare për përcaktimin në nyjet e rrjetit.

Diagrami mund të paraqitet si:

d.m.th., ne morëm një sistem ekuacionesh lineare me një matricë:

Kjo matricë është trediagonale, d.m.th. të gjithë elementët që nuk ndodhen në diagonalen kryesore dhe dy diagonalet ngjitur me të janë të barabarta me zero.

Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve që rezulton, marrim një zgjidhje për problemin origjinal.

Ekuacione diferenciale të zakonshme janë ato ekuacione që përmbajnë një ose më shumë derivate të funksionit të dëshiruar y=y (x). Ato mund të shkruhen në formë

Ku x është ndryshorja e pavarur.

Rendi më i lartë n i derivatit të përfshirë në ekuacion quhet rendi i ekuacionit diferencial.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme mund të ndahen në grupet e mëposhtme: grafike, analitike, të përafërta dhe numerike.

Metodat grafike përdorin konstruksione gjeometrike.

Metodat analitike gjenden në kursin mbi ekuacionet diferenciale. Për ekuacionet e rendit të parë (me ndryshore të ndashme, homogjene, lineare, etj.), si dhe për disa lloje ekuacionesh të rendit më të lartë (për shembull, lineare me koeficientë konstante), është e mundur të merren zgjidhje në formën e formulave. përmes transformimeve analitike.

Metodat e përafërta përdorin thjeshtime të ndryshme të vetë ekuacioneve duke refuzuar me arsye disa terma të përfshira në to, si dhe një zgjedhje të veçantë të klasave të funksioneve të kërkuara.

Metodat numerike për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale janë aktualisht mjeti kryesor në studimin e problemeve shkencore dhe teknike të përshkruara nga ekuacionet diferenciale. Duhet theksuar se këto metoda janë veçanërisht efektive në kombinim me përdorimin e kompjuterëve modernë.

Metoda më e thjeshtë numerike për zgjidhjen e problemit Cauchy për ODE është metoda Euler. Le të shqyrtojmë ekuacionin në afërsi të nyjeve (i=1,2,3,...) dhe të zëvendësojmë derivatin në anën e majtë me diferencën e duhur. Në këtë rast, ne zëvendësojmë vlerat e funksionit të nyjës me vlerat e funksionit të rrjetit:

Përafrimi që rezulton i DE është i rendit të parë, pasi lejohet një gabim kur zëvendësohet me.

Vini re se nga ekuacioni vijon

Prandaj, ai përfaqëson një përcaktim të përafërt të vlerës së një funksioni në një pikë duke përdorur një zgjerim të serisë Taylor me heqjen e termave të rendit të dytë dhe më të lartë. Me fjalë të tjera, rritja e një funksioni supozohet të jetë e barabartë me diferencialin e tij.

Duke supozuar i=0, duke përdorur relacionin gjejmë vlerën e funksionit të rrjetit në:

Vlera e kërkuar këtu jepet nga kushti fillestar, d.m.th.

Në mënyrë të ngjashme, vlerat e funksionit të rrjetit në nyjet e tjera mund të gjenden:

Algoritmi i ndërtuar quhet metoda e Euler-it

Figura - 19 Metoda Euler

Interpretimi gjeometrik i metodës së Euler-it është dhënë në figurë. Përshkruhen dy hapat e parë, d.m.th. Llogaritja e funksionit të rrjetit në pika është ilustruar. Lakoret integrale 0,1,2 përshkruajnë zgjidhje të sakta të ekuacionit. Në këtë rast, kurba 0 korrespondon me zgjidhjen e saktë të problemit Cauchy, pasi kalon në pikën fillestare A (x 0 ,y 0). Pikat B, C u përftuan si rezultat i zgjidhjes numerike të problemit Cauchy duke përdorur metodën Euler. Devijimet e tyre nga kurba 0 karakterizojnë gabimin e metodës. Me çdo hap ne përfundojmë në një kurbë të ndryshme integrale. Segmenti AB është një segment tangjent me lakoren 0 në pikën A, pjerrësia e tij karakterizohet nga vlera e derivatit të tij. Gabimi shfaqet sepse rritja në vlerën e funksionit gjatë kalimit nga x 0 në x 1 zëvendësohet me një rritje në ordinatën e tangjentës në lakoren 0 në pikën A. Tangjentja BC tashmë është tërhequr në një kurbë tjetër integrale 1 Kështu, gabimi i metodës Euler çon në faktin se në çdo hap, zgjidhja e përafërt lëviz në një kurbë tjetër integrale.

Përkufizimi i ekuacionit diferencial të Euler-it. Shqyrtohen metodat për zgjidhjen e tij.

Ekuacioni diferencial i Euler-it është një ekuacion i formës
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ nje n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Në një formë më të përgjithshme, ekuacioni i Euler-it ka formën:
.
Ky ekuacion zvogëlohet me zëvendësimin t = ax+b në një formë më të thjeshtë, të cilën do ta shqyrtojmë.

Reduktimi i ekuacionit diferencial të Euler-it në një ekuacion me koeficientë konstante.

Merrni parasysh ekuacionin e Euler-it:
(1) .
Reduktohet në një ekuacion linear me koeficientë konstante me zëvendësim:
x = e t .
Në të vërtetë, atëherë
;
;
;

;
;
..........................

Kështu, faktorët që përmbajnë x m anulohen. Termat e mbetur janë ato me koeficientë konstante. Megjithatë, në praktikë, për të zgjidhur ekuacionet e Euler-it, është e mundur të përdoren metoda për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante pa përdorur zëvendësimin e mësipërm.

Zgjidhja e ekuacionit homogjen të Ojlerit

Konsideroni ekuacionin homogjen të Euler-it:
(2) .
Ne po kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin (2) në formën
.
;
;
........................
.
Zëvendësojmë në (2) dhe zvogëlojmë me x k.
.
Ne marrim ekuacionin karakteristik:

Ne e zgjidhim atë dhe marrim n rrënjë, të cilat mund të jenë komplekse.
.

Le të shohim rrënjët e vërteta. Le të jetë k i një rrënjë e shumëfishtë e shumëzimit m.
.
Këto rrënjë m korrespondojnë me m zgjidhje të pavarura lineare: Le të shqyrtojmë rrënjët komplekse. Ato shfaqen në çifte së bashku me konjugatët komplekse. Le të jetë k i një rrënjë e shumëfishtë e shumëzimit m. Le të shprehim rrënjën komplekse k i për sa i përket pjesëve reale dhe imagjinare:
;
;
..............................
.

Këtyre m rrënjëve dhe m rrënjëve të konjuguara komplekse korrespondojnë
(3) .

2 m

zgjidhje të pavarura lineare:


Pasi janë marrë n zgjidhje të pavarura lineare, marrim zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit (2):

Shembuj

Zgjidh ekuacionet:
.
Zgjidhja e shembujve > > >

Zgjidhja e ekuacionit johomogjen të Ojlerit 1 Merrni parasysh ekuacionin johomogjen të Euler-it: 1 Metoda e ndryshimit të konstantave (metoda e Lagranzhit) është gjithashtu e zbatueshme për ekuacionet e Euler-it. 1 Së pari, zgjidhim ekuacionin homogjen (2) dhe marrim zgjidhjen e përgjithshme të tij (3). Pastaj konstantet i konsiderojmë si funksione të ndryshores x.

Diferenconi (3) n -

një herë. Ne marrim shprehje për n -

derivatet e y në lidhje me x.

Me çdo diferencim, termat që përmbajnë derivate barazohen me zero. Kështu që ne marrim n -

ekuacionet që lidhen me derivatet.
(4)
,
Më pas gjejmë derivatin e n-të të y.

Ne i zëvendësojmë derivatet që rezultojnë në (1) dhe marrim ekuacionin e n-të që lidhet me derivatet.
,
Nga këto ekuacione përcaktojmë .