Precizie la 0 1. Expansiunea seriei Taylor

Atât în ​​clasa a VII-a cât și în clasa a VIII-a am rezolvat adesea ecuații grafic. Ați observat că în aproape toate aceste exemple ecuațiile au rădăcini „bune”? Acestea erau numere întregi care puteau fi găsite cu ușurință folosind grafice, în special pe hârtie în carouri. Dar nu este întotdeauna cazul; am ales pur și simplu exemple „bune” până acum.

Se consideră două ecuații: = 2 - x și = 4 - x. Prima ecuație are o singură rădăcină x = 1, deoarece graficele funcțiilor y = și y = 2 - x se intersectează într-un punct A (1; 1) (Fig. 112). În al doilea caz, graficele funcțiilor - fc și y = 4 - x se intersectează și ele într-un punct B (Fig. 113), dar cu coordonate „proaste”. Folosind desenul, putem concluziona că abscisa punctului B este aproximativ egală cu 2,5. În astfel de cazuri, ei nu vorbesc despre o soluție exactă, ci despre o soluție aproximativă a ecuației și o scriu astfel:

Acesta este unul dintre motivele pentru care matematicienii au decis să introducă conceptul de valoare aproximativă a unui număr real. Există un al doilea motiv, și poate chiar mai important: ce este un număr real? Aceasta este o zecimală infinită. Dar este incomod să efectuați calcule cu fracții zecimale infinite, așa că în practică folosesc valori aproximative ale numerelor reale. De exemplu, pentru un număr folosesc egalitatea aproximativă 3,141 sau 3,142. Prima se numește valoarea aproximativă (sau aproximare) a numărului n prin deficiență cu o precizie de 0,001; a doua se numește valoarea aproximativă (aproximație) a numărului k prin exces cu o precizie de 0,001. Pot fi luate aproximări mai precise: de exemplu,
3.1415 - aproximarea deficienței cu o precizie de 0,0001; 3,1416 - aproximarea excesului cu o precizie de 0,0001. Puteți lua aproximări mai puțin precise, să zicem, cu o precizie de 0,01: pentru deficiență 3,14, pentru exces 3,15.
Ați folosit semnul de egalitate aproximativă „la cursul de matematică de clasa a V-a-6 și, probabil, la cursul de fizică, și l-am folosit și înainte, de exemplu la § 27.

Exemplul 1. Găsiți valori aproximative pentru deficiență și exces cu o precizie de 0,01 pentru numere:

Soluţie,

a) Știm că = 2,236... (vezi § 27), prin urmare, 2,23 este o aproximare prin deficiență cu o precizie de 0,01; 2,24 este o aproximare a excesului cu 0,01.
b) 2 + = 2.000... + 2.236... = 4.236... . Aceasta înseamnă că 2 + 4,23 este o aproximare a deficienței cu o precizie de 0,01; 2 + 4,24 este o aproximare în exces cu o precizie de 0,01.
c) Avem 0,31818... (vezi § 26). Astfel, 0,31 este o aproximare a deficienței la 0,01; 0,32 este o aproximare a excesului cu 0,01.
Aproximarea prin deficiență și aproximarea prin exces sunt uneori numite rotunjirea unui număr.

Definiție. Eroarea de aproximare (eroarea absolută) este mărimea diferenței dintre valoarea exactă a lui x și valoarea sa aproximativă a: eroarea de aproximare este | x - a |.
De exemplu, eroarea egalității aproximative este exprimată ca sau, respectiv, ca ,
Se ridică o întrebare pur practică: care aproximare este mai bună, în termeni de deficiență sau în exces, adică în ce caz eroarea este mai mică? Acest lucru, desigur, depinde de numărul specific pentru care sunt făcute aproximările. De obicei, la rotunjirea numerelor pozitive, se folosesc următoarele reguli:
furculiţă:

Să aplicăm această regulă tuturor numerelor discutate în această secțiune; Pentru numerele luate în considerare, vom alege acele aproximări pentru care eroarea va fi cea mai mică.
1) = 3,141592... . Cu o precizie de 0,001 avem 3,142; aici prima cifră care trebuie aruncată este 5 (pe locul al patrulea după virgulă), așa că am luat aproximarea prin exces.
Cu o precizie de 0,0001, avem 3,1416 - și aici am luat aproximarea prin exces, deoarece prima cifră aruncată (pe locul cinci după virgulă zecimală) este egală cu 9. Dar cu o precizie de 0,01 trebuie să luăm aproximare prin deficienţă: 3.14.
2) = 2,236... . Cu o precizie de 0,01 avem 2,24
(aproximare prin exces). ¦
3) 2 + = 4,236... . Cu o precizie de 0,01 avem 2 + 4,24 (aproximare prin exces).
4) = 0,31818... . Cu o precizie de 0,001 avem 0,318 (aproximare prin dezavantaj).
Să ne uităm la ultimul exemplu mai detaliat. Să luăm un fragment mărit al liniei de coordonate (Fig. 114).

Punctul aparține segmentului, ceea ce înseamnă că distanța sa de la capetele segmentului nu depășește lungimea segmentului. Distanțele de puncte de la capete
segmentele sunt, respectiv, egale segmentul este egal cu 0,001. Mijloace, Și
Deci, în ambele cazuri (atât pentru aproximarea unui număr printr-o deficiență, cât și pentru aproximarea acestuia printr-un exces), eroarea nu depășește 0,001.
Până acum am spus: aproximări cu o precizie de până la 0,01, până la 0,001 etc. Acum putem pune ordine în folosirea terminologiei.
Dacă a este o valoare aproximativă a numărului x și , mo se spune că eroarea de aproximare nu depășește h sau că numărul x este egal cu numărul a c

precis la h.

De ce este important să poți găsi valori aproximative ale numerelor? Faptul este că este aproape imposibil să operezi cu fracții zecimale infinite și să le folosești pentru a măsura cantități. În practică, în multe cazuri, în loc de valori exacte, se iau aproximări cu o precizie (eroare) predeterminată. Această idee este încorporată și în calculatoare, pe afișajele cărora este afișată fracția zecimală finală, adică o aproximare a numărului afișat pe ecran (cu rare excepții când numărul afișat este o fracție zecimală finală care se potrivește pe ecran) .

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

Sarcina 6.12.

Extindeți într-o serie Fourier o funcție periodică f(x) definită pe intervalul .

Sarcina 6.13.

Extindeți funcția f (x) definită pe intervalul (0; π) într-o serie Fourier, continuând-o (extinzând-o) într-un mod par și impar. Construiți grafice pentru fiecare continuare.

Sarcina 6.14.

Extindeți funcția periodică f (x) cu perioadă într-o serie Fourier în intervalul indicat.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.

Sarcina 6.15.

Folosind extinderea funcției f(x) într-o serie Fourier în intervalul specificat, găsiți suma seriei de numere date.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Testul nr. 7.

"Teoria probabilității"

Sarcina 7.1.

1. Fiecare dintre cele două echipe de 5 sportivi trage la sorți pentru a atribui numere. Cei doi frați fac parte din echipe diferite. Aflați probabilitatea ca frații să primească: a) numărul 4; b) același număr.

2. Dispozitivul conține două unități identice care funcționează independent, cu o probabilitate de funcționare fără defecțiuni de 0,8. Aflați probabilitatea ca: a) un singur bloc să funcționeze fără eșec; b) cel puţin un bloc.

3. Baza a trimis marfa la două magazine. Probabilitatea de livrare la timp la fiecare dintre ele este de 0,8. Aflați probabilitatea ca mărfurile să fie primite la timp de către: a) un singur magazin; b) cel puţin un magazin.

4. O ambarcațiune programată poate întârzia din două motive independente: vreme rea și funcționarea defectuoasă a echipamentului. Probabilitatea de vreme rea este de 0,3, probabilitatea de defecțiune este de 0,4. Aflați probabilitatea ca barca să întârzie: a) numai din cauza vremii nefavorabile; b) din orice motiv.

5. Condițiile duelului prevăd câte 2 lovituri de la fiecare duelist pe rând până la prima lovitură. Probabilitățile de a-i lovi cu o singură lovitură sunt 0,2 și, respectiv, 0,3. Aflați probabilitatea ca primul duelist: a) să lovească adversarul cu a doua lovitură; b) lovește adversarul.

6. Probabilitatea ca un atacant să marcheze un gol cu ​​o lovitură pe poartă este de 0,3. Aflați probabilitatea ca după două șuturi: a) să se înscrie un singur gol; b) cel puţin un scop.

7. Probabilitatea detectării în timp util a unei rachete de croazieră de către o stație radar este de 0,8. Sunt două radare de serviciu. Aflați probabilitatea ca o rachetă să fie detectată de: a) un singur radar; b) cel puţin un radar.

8. Numărul mașinii conține patru cifre. Aflați probabilitatea ca suma cifrelor plăcuței de înmatriculare a mașinii care se apropie: a) să fie egală cu două; b) nu mai mult de două.

9. Aflați probabilitatea ca un număr de două cifre numit aleatoriu: a) să fie divizibil cu 3; b) are o sumă de cifre egală cu 1.

10. În cutie sunt cinci bile albe și două roșii. Aflați probabilitatea ca două bile extrase la întâmplare să fie: a) de aceeași culoare; b) alb.

11. Două persoane se urcă într-un tren electric cu opt vagoane, independent unul de celălalt. Găsiți probabilitatea întâlnirii lor.

12. O rachetă poartă două focoase multiple care lovesc ținta independent unul de celălalt, cu probabilități de 0,8 și 0,7. Aflați probabilitatea ca ținta să fie lovită: a) de un singur focos; b) cel puţin un focos.

13. În cutie sunt cinci bile albe și trei negre. Aflați probabilitatea ca două bile extrase la întâmplare să fie: a) culori diferite; b) negru.

14. Găsiți probabilitatea ca doi trecători pe care îi întâlniți să se fi născut: a) în aceeași lună; b) vara.

15. Aflați probabilitatea ca suma cifrelor unui număr de două cifre selectat aleatoriu: a) să fie egală cu cinci; b) mai puțin de cinci.

16. Aflați probabilitatea ca produsul cifrelor unui număr de două cifre ales aleatoriu: a) să fie egal cu trei; b) mai puțin de trei.

17. Probabilitățile de a prinde un pește atunci când mușcă sunt de 0,2 și, respectiv, 0,3 pentru pescari. Fiecare a avut o mușcătură. Aflați probabilitatea ca captura lor totală să fie: a) un pește; b) cel puțin un pește.

18. Numărul de telefon conține 6 cifre. Aflați probabilitatea ca suma cifrelor unui număr selectat aleatoriu: a) să fie egală cu 2; b) mai mic de 2.

19. Găsiți probabilitatea ca cu opt apăsări aleatorii ale tastelor mașinii de scris să fie tipărit cuvântul „excelent”. Tastatura conține 40 de taste.

20. Doi jucători de șah joacă un meci de două jocuri unul cu celălalt. Probabilitatea de a câștiga primul în fiecare joc este de 0,6. Care este probabilitatea ca acesta să câștige: a) un singur joc; 2) cel puțin un joc.

21. Doi trăgători au tras câte o lovitură într-o țintă cu probabilitatea p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Aflați probabilitatea de a: a) doar o lovitură; b) cel puțin o lovitură.

22. Probabilitățile de trecere a barei pentru doi săritori sunt p 1 = 0,8, respectiv p 2 = 0,7. Aflați probabilitatea ca: a) doar unul dintre ei să ajungă la înălțime; b) cel putin unul dintre ele va atinge inaltimea.

23. Numărul mașinii este format din patru cifre. Aflați probabilitatea ca plăcuța de înmatriculare a unei mașini care se apropie din sens opus să conțină: a) trei cincizeci la rând; b) trei A.

24. La locul incendiului au fost trimise două echipe care pot reuși să-l stingă în timp util cu probabilități p 1 = 0,9, p 2 = 0,8. Care este probabilitatea de a stinge un incendiu dacă: a) este suficientă o singură comandă; b) ambele comenzi sunt necesare.

25. Două aeronave trage fiecare câte o rachetă la o țintă cu probabilități de lovire p 1 = 0,8, p 2 = 0,9. Aflați probabilitatea de a lovi o țintă: a) cu două rachete; b) o singură rachetă.

26. Dispozitivul este format din trei blocuri de funcționare independentă A, B, C cu probabilități de funcționare fără defecțiuni P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Găsiți probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului dacă aceasta necesită funcționarea blocului A și a cel puțin unul dintre blocurile B, C.

27. Probabilitățile de îndeplinire a planului lunar de către două ateliere ale întreprinderii sunt egale cu p 1 =0,9, p 2 =0,7. Presupunând că atelierele funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitățile ca: a) un singur atelier să îndeplinească planul; b) cel puțin un atelier va îndeplini planul.

28. O secțiune a unui circuit electric este formată din elementele A și B conectate în serie cu probabilități de defecțiune p 1 = 0,1, p 2 = 0,2. Elementul B este duplicat cu ajutorul elementului C conectat în paralel cu acesta (p 3 = 0,2). Aflați probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a secțiunii: a) în absența elementului C; b) dacă este disponibil.

29. Două tunuri trag un proiectil către o țintă cu probabilități de lovire p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Aflați probabilitatea ca ținta să lovească: a) doar un proiectil; b) cel puţin un proiectil.

30. Bolile A și B au aceleași simptome întâlnite la pacient. Probabilitățile de îmbolnăvire sunt egale cu P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. Presupunând că o persoană poate dobândi boli independent una de cealaltă, găsiți probabilitatea ca pacientul să fie bolnav: a) doar una dintre boli; b) cel puţin o boală.

Sarcina 7.2.

1. 70% din același tip de fiare de călcat care intră în vânzare sunt fabricate la întreprinderea A, 30% - la întreprinderea B. Procentul de defecte la întreprinderea A este de 5%, la întreprinderea B - 2%. a) Aflați probabilitatea de a cumpăra un fier de călcat defect; b) fierul de călcat achiziționat s-a dovedit a fi defect. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost fabricat la fabrica A?

2. În urnă sunt 2 bile albe și 3 negre. Unul dintre ei este scos la întâmplare și pus deoparte. Apoi se extrage a doua minge. a) Aflați probabilitatea ca el să fie alb; b) a doua bila extrasa este alba. Care este probabilitatea ca prima minge să fie neagră?

3. Aparatul este echipat cu o unitate fabricată de fabricile 1 (furnizează 60% din unități), 2 (furnizează 40% din unități). Procentul defectelor la uzina 1 este de 0,05, la uzina 2 - 0,07. a) Aflați probabilitatea ca dispozitivul să fie defect; b) dispozitivul s-a dovedit a fi defect. Găsiți probabilitatea ca vinovatul să fie planta 1.

4. La asamblarea rulmentilor se folosesc bile, din care 30% sunt furnizate de atelierul 1 si 70% de catre atelierul 2. Procentul defectelor in ateliere este de 0,1 si respectiv 0,05. a) Aflați probabilitatea ca rulmentul să fie defect; b) rulmentul s-a dovedit a fi defect. Găsiți probabilitatea ca vinovatul să fie atelierul 1.

5. Două urne conțin 2 bile albe și 3 negre. O minge este transferată la întâmplare de la prima la a doua, apoi o minge este îndepărtată din a doua. a) Aflați probabilitatea ca el să fie alb; b) bila îndepărtată este albă. Care este probabilitatea ca bila neagră să fi fost mutată?

6. Două ateliere produc fiecare 50% din același tip de televizoare care ies la vânzare. Atelierul 1 produce 5% televizoare defecte, atelierul 2 - 7%. a) Aflați probabilitatea de a cumpăra un televizor defect; b) aflați probabilitatea ca televizorul achiziționat să fi fost produs de atelierul 1 dacă s-a dovedit a fi defect.

7. Rata de germinare (probabilitatea de germinare) a semințelor obținute la stația de reproducere 1 este de 0,9, la stația 2 - 0,8. Un număr egal de semințe de la ambele stații intră în vânzare. a) Aflați capacitatea de germinare a semințelor achiziționate; b) Sămânța aleasă aleatoriu nu a germinat la semănat. Care este probabilitatea de a-l crește la stația 1?

8. Două magazine furnizează același număr de șuruburi pentru asamblare. Procentul de defecte în primul atelier este de 0,1, în al doilea - 0,2. a) Aflați probabilitatea ca un șurub luat la întâmplare pentru asamblare să fie defect; b) șurubul s-a dovedit a fi defect. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost realizat de atelierul 2?

9. Perioada de latentă a bolii poate fi lungă în 30% din cazuri și scurtă în 70% din cazuri. Probabilitățile de recuperare sunt de 0,9 pentru perioade lungi și de 0,6 pentru perioade scurte. a) Găsiți probabilitatea de recuperare pentru un pacient selectat aleatoriu; b) găsiți probabilitatea ca perioada de latentă să fie lungă dacă pacientul și-a revenit.

10. Potrivit statisticilor, dintre vițeii care se îmbolnăvesc în timpul anului, 20% se îmbolnăvesc în sezonul cald și 80% în sezonul rece. Probabilitatea de recuperare a unui vițel care s-a îmbolnăvit în sezonul cald este de 0,9, în sezonul rece - 0,8. a) Găsiți probabilitatea de recuperare pentru un pacient selectat aleatoriu; b) aflați probabilitatea ca vițelul să se îmbolnăvească pe vreme caldă dacă și-a revenit.

11. Unitatea este echipată cu o rezistență de la una dintre cele trei fabrici care realizează 60%, 30% și 20% din aprovizionare. Procentul de defecte între rezistențe este de 0,3 la instalația 1, 0,2 la instalația 2, 0,1 la instalația 3. A) Aflați probabilitatea de defecte ale blocului produs; b) găsiți probabilitatea ca unitatea defectă să fie echipată cu o rezistență din fabrica 1.

12. În stadiul de criză, boala poate trece cu probabilitate egală în forme tranzitorii (C) și lene (B). Probabilitățile de recuperare sunt 0,95 pentru forma C și 0,8 pentru forma B. a) Aflați probabilitatea de recuperare pentru un pacient selectat aleatoriu; b) aflați probabilitatea ca boala să fi trecut în forma C dacă pacientul și-a revenit.

13. La contractarea acestei boli, formele A și B sunt la fel de des detectate, ceea ce determină evoluția ei ulterioară. În cazul A, pacientul se recuperează în decurs de o lună cu o probabilitate de 0,8, în cazul B - cu o probabilitate de 0,6. a) Aflați probabilitatea de recuperare într-o lună pentru un pacient selectat aleatoriu; b) aflați probabilitatea apariției bolii în forma A dacă pacientul și-a revenit în decurs de o lună.

14. Probabilitatea ca traulerul să îndeplinească planul dacă tancul de realimentare ajunge la timp este de 0,8, iar dacă sosește prematur - 0,4. Cisternul ajunge la timp în 90% din cazuri. a) Aflați probabilitatea ca traulerul să execute planul; b) calculați probabilitatea realimentării în timp util dacă se știe că traulerul a urmat planul.

15. Vara poate fi uscată în 20% din timp, excesiv de umedă în 30% din timp și normală în rest. Probabilitățile de maturare a culturii sunt de 0,7, 0,6 și, respectiv, 0,9. a) Găsiți probabilitatea de coacere a culturii într-un an ales aleatoriu; b) aflați probabilitatea ca vara să fie uscată dacă culturile erau coapte.

16. În această zonă se găsesc doar bolile A și B, ale căror simptome nu se pot distinge în exterior. Dintre pacienți, A apare în 30% din cazuri, B - în 70%. Probabilitățile de recuperare după boli sunt de 0,6, respectiv 0,3. a) să găsească probabilitatea ca un pacient selectat aleatoriu să se recupereze; b) care este probabilitatea ca persoana recuperată să aibă boala A?

17. Un obiect poate fi pus în funcțiune la timp cu o livrare planificată a echipamentelor cu o probabilitate de 0,9 și cu o întârziere a livrării - cu o probabilitate de 0,6. În medie, livrările planificate au fost observate în 80% dintre comenzi, livrările întârziate - în 20%. a) Care este probabilitatea ca proiectul să fie livrat la timp? b) găsiți probabilitatea livrării la timp dacă se știe că obiectul a fost livrat la timp.

18. O reacție nucleară poate produce particule de tip A în 70% din cazuri și particule de tip B în 30% din cazuri. Particulele A sunt înregistrate de dispozitiv cu o probabilitate de 0,8, particulele B - cu o probabilitate de 1. a) Aflați probabilitatea de înregistrare a unei particule în experimentul următor; b) Dispozitivul a notat aspectul unei particule. Cât de probabil este ca ea să aparțină tipului B?

19. În rândul copiilor născuți în prima jumătate a anului, greutatea medie depășește 60% a nou-născuților, în a doua jumătate a anului - 30%. Presupunând că natalitatea în ambele semestre este aceeași, găsiți: a) probabilitatea ca un copil selectat aleatoriu să fie supraponderal; b) probabilitatea de a avea un copil în prima jumătate a anului, dacă este supraponderal.

20. Un electron emis de catod poate fi „rapid” cu o probabilitate de 0,7 și „lent” cu o probabilitate de 0,3. Probabilitatea ca electronii „rapidi” să lovească ținta este de 0,9, „lent” - 0,4. Aflați probabilitatea ca: a) electronul să lovească ținta; b) electronul era „lent” dacă ajungea la țintă.

21. O vulpe care urmărește un iepure cenușiu îl ajunge din urmă în 30% din cazuri, un iepure alb - în 20% din cazuri. Ambele tipuri de iepuri se găsesc în pădure cu aceeași frecvență. a) Care este probabilitatea ca o vulpe să prindă un iepure întâlnit la întâmplare; b) aflați probabilitatea ca iepurele depășit să fie gri.

22. Probabilitatea ca un avion să întârzie în condiții nefavorabile ( vreme rea, motive tehnice) este de 0,6 și în condiții favorabile - 0,1. Condiții nefavorabile au fost observate în 20% dintre zboruri, favorabile - în 80%. Aflați probabilitatea ca: a) avionul să întârzie la următorul zbor; b) întârzierea a fost însoțită de condiții nefavorabile.

23. Produsele de același tip intră în vânzare din fabricile 1 și 2, furnizând 60% și 40% din produse. Procentul defectelor la uzina 1 este de 0,05, la uzina 2 - 0,07. Aflați probabilitatea ca: a) produsul achiziționat să fie defect; b) produsul defect a fost produs de fabrica 2.

24. Două loturi conțin același număr de piese de același tip și au rate de defecte (probabilități de piese defecte) egale cu 0,1 și, respectiv, 0,2. Unul dintre loturi este selectat la întâmplare din care piesa este îndepărtată. a) Aflați probabilitatea ca acesta să fie defect; b) Aflați probabilitatea ca piesa care s-a dovedit a fi defectă să aparțină primului lot.

25. Probabilitatea de a lovi o țintă de către un bombardier pe vreme senină este de 0,9, pe vreme rea - 0,7. Vreme senină pe 1 iunie a fost observată în 60% din cazuri, vreme rea - în 40%. Aflați probabilitatea ca la 1 iunie: a) ținta să fie lovită; b) vremea era senină dacă se știe că ținta a fost lovită.

26. Doi jucători de șah A și B joacă un singur joc. Probabilitatea ca A să câștige dacă are piese albe este de 0,7, dacă are piese negre - 0,4. Culoarea pieselor este determinată înainte de joc prin tragere la sorți. Aflați probabilitatea ca: a) șahista A să câștige; b) A jucat cu piese negre, dacă se știe că a câștigat.

27. Probabilitatea de a ajunge la timp a navei dacă motorul funcționează fără defecțiune este de 0,8 și dacă se defectează - 0,1. Motorul a funcționat anterior fără defecțiuni în 90% din călătoriile navei. Găsiți probabilitatea ca: a) nava să nu întârzie la următoarea călătorie; b) defecțiune a motorului, dacă se știe că nava a întârziat.

28. Aparatul poate fi operat în 30% din cazuri în condiții dificile, unde se defectează cu o probabilitate de 0,3, iar în 70% din cazuri în condiții favorabile, unde se defectează cu o probabilitate de 0,1. Aflați probabilitatea ca: a) dispozitivul să se defecteze; b) aparatul defect a fost operat în condiții nefavorabile.

29. Dintr-o urnă care conține 3 bile albe și 2 negre, se extrag pe rând 2 bile. Culoarea primei este necunoscută. Aflați probabilitatea ca: a) a doua bilă să fie albă; b) prima bila era neagra daca a doua s-a dovedit alba.

30. Două ateliere furnizează același tip de componente pentru asamblarea produsului. Primul dintre ele furnizează 60% din toate nodurile, al doilea - 40%. Probabilitatea ca o unitate să fie defectă este de 0,2 pentru atelierul 1 și 0,3 pentru atelierul 2. Aflați probabilitatea ca: a) o unitate aleasă aleatoriu să fie defectă; b) unitatea defectă provine de la atelierul 1.

Sarcina 7.3.

Construiți o serie de distribuție, o funcție de distribuție și graficul acesteia, aflați așteptarea matematică și dispersia variabilei aleatoare X - numărul de apariții ale unui eveniment aleator A în seria de teste independente indicate mai jos.

1. Moneda este aruncată de 4 ori. A - pierderea stemei în timpul unei aruncări, P(A)=0,5.

2. Tragatorul trage in tinta de 3 ori. A - lovit cu o lovitură, P(A)=0,6.

3. Pescarul își aruncă undița de trei ori. A - mușcătură în timpul unei aruncări, P(A) = 0,3.

4. Dintr-o urnă care conține 2 bile albe și 3 negre, se extrage la întâmplare o minge (dacă este albă, atunci a apărut A), care este apoi returnată în urnă. Experimentul se repetă de 3 ori.

5. Se seamănă 3 semințe de dovleac. Germinarea (probabilitatea germinării A a unei sămânțe) este egală cu P(A) = 0,8.

6. O particulă elementară poate fi înregistrată de un dispozitiv (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,7. Trei particule zboară alternativ în fața dispozitivului.

7. A este un eveniment care are loc atunci când prima cifră a plăcuței de înmatriculare a unui autoturism care se apropie este zero. Două mașini trec una câte una.

8. A - defecțiune a echipamentului electric al vehiculului pe parcursul anului, P(A)=0,3. Sunt luate în considerare trei vehicule.

9. A este un eveniment care constă într-un atlet care dobândește un record mondial, P(A)=0,2. La competiție participă trei sportivi.

10. Pistolul trage trei obuze către țintă. A - lovitura de proiectil, P(A)=0,8.

11. O carte luată la întâmplare dintr-un raft se poate dovedi a fi un manual (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,4. Trei cărți sunt îndepărtate.

12. Un pozitron la naștere poate dobândi o orientare de rotație la dreapta (eveniment A) sau la stânga, P(A) = 0,6. Se consideră 3 pozitroni.

13. Prezența argilei albastre indică posibilitatea unui depozit de diamant (eveniment A) cu probabilitate P(A)=0,4. Argila albastră a fost găsită în trei zone.

14. În perioada de înflorire, o plantă poate fi polenizată (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,8. Sunt luate în considerare 4 plante.

15. Un pescar poate prinde un pește când mușcă (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,4. Pescarul a avut trei mușcături.

16. O reacție nucleară poate produce o particulă rezonantă (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,2. Sunt luate în considerare trei reacții.

17. Se poate accepta un puieț plasat în pământ (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,7. Au fost plantate trei puieți.

18. Un generator de centrală electrică se poate defecta în decurs de un an (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,2. Se are în vedere o perioadă de funcționare de trei ani a generatorului.

19. În timpul zilei, laptele din oală se poate acri (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,4. Este luat în considerare cazul a trei oale.

20. Într-o fotografie realizată într-o cameră cu nori, o particulă este înregistrată în experiment (eveniment A) cu probabilitatea P(A) = 0,5. Au fost efectuate 4 experimente.

21. A - apariția unui număr par de puncte la aruncarea unui zar. zarul este aruncat de 4 ori.

22. Trei tunuri trag în ținta lor, A - proiectilul lovește ținta, P(A) = 0,7.

23. Când un pescar mușcă, el poate scoate un pește (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,6. Mușcătura a avut loc în rândul a 4 pescari.

24. Deplasarea rotorului motorului electric duce la defectarea acestuia cu probabilitatea P(A)=0,8. Sunt luate în considerare trei motoare de același tip.

25. În timpul fabricării unei piese, aceasta se poate dovedi a fi defectă (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,2. Au fost realizate trei părți.

26. Mașina funcționează fără defecțiune timp de un an (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,8. În atelier sunt 4 mașini.

27. A - apariția unui număr impar de puncte la aruncarea unui zar. zarul este aruncat de 4 ori.

28. Trenul poate ajunge în program (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,9. Sunt luate în considerare trei zboruri.

29. În medie, la tastarea unei pagini de text, operatorul face o eroare (eveniment A) 30% din timp. Articolul conține 4 pagini de text.

30. O aeronavă de recunoaștere poate detecta o țintă (eveniment A) cu probabilitatea P(A)=0,8. Trei avioane au fost trimise pentru a localiza ținta.

Sarcina 7.4.

Având în vedere funcția de distribuție F(x) a variabilei aleatoare SV X, găsiți densitatea distribuției și construiți graficul acesteia. Calculați probabilitatea P( A≤X≤ b) dacă valoarea SV se încadrează într-un interval dat, așteptări matematice și dispersie.

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Sarcina 7.5.

Găsiți probabilitatea de a se încadra într-un interval dat [ a,b] valorile unei variabile aleatoare distribuite normal X, dacă se cunoaște așteptările sale matematice M[X] și varianță D[X].

Să fie necesar să se găsească cu precizie până la (cu dezavantaj). Să aranjam calculele astfel:

Mai întâi găsim rădăcina aproximativă, exactă la 1, numai din întregul 2. Obținem 1 (și restul este 1). Scriem numărul 1 la rădăcină și punem o virgulă după el. Acum găsim numărul de zecimi. Pentru a face acest lucru, adăugăm la restul 1 numerele 3 și 5, situate în dreapta punctului zecimal, și continuăm extragerea ca și cum am extrage rădăcina întregului 235. Scriem în rădăcină numărul rezultat 5. în loc de zecimi. Nu avem nevoie de cifrele rămase ale numărului radical (104). Că numărul rezultat 1,5 va fi de fapt o rădăcină aproximativă în , se poate vedea din următoarele; dacă ar fi să găsim cea mai mare rădăcină întreagă a lui 235 cu o precizie de 1, am obține 15, ceea ce înseamnă

Împărțind fiecare dintre aceste numere la 100, obținem:

(Adăugând numărul 0,00104, semnul dublu ≤ ar trebui să se schimbe în mod evident în semn<, а знак >rămâne (din 0,00104< 0,01).)

Să presupunem că vrem să găsim unul aproximativ cu un dezavantaj, până la o precizie. Să găsim numărul întreg, apoi cifra zecimilor, apoi cifra sutimii. Rădăcina unui număr întreg este de 15 numere întregi. Pentru a obține cifra zecimii, trebuie, după cum am văzut, să mai adăugăm două cifre la restul de 23, la dreapta punctului zecimal:

În exemplul nostru, aceste numere nu sunt prezente deloc; pune zerouri în locul lor. Adăugându-le la restul și continuând ca și cum am găsi rădăcina numărului întreg 24800, vom găsi cifra zecimii 7. Rămâne să găsim cifra sutimiilor. Pentru a face acest lucru, mai adăugăm două zerouri la restul 151 și continuăm extracția, ca și cum am găsi rădăcina întregului 2480000. Obținem 15,74. Că acest număr este într-adevăr o rădăcină aproximativă a lui 248 cu o precizie de până la un dezavantaj se poate vedea din următoarele. Dacă ar fi să găsim cea mai mare rădăcină pătrată a întregului 2480000, am obține 1574, ceea ce înseamnă

Împărțind fiecare dintre aceste numere la 10000 (1002), obținem:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Aceasta înseamnă că 15,74 este acea fracție zecimală pe care am numit-o rădăcină aproximativă cu un dezavantaj cu o precizie de până la 248.

Regulă. Pentru a extrage dintr-un număr întreg sau dintr-o fracție zecimală dată o rădăcină aproximativă cu o deficiență cu o acuratețe a rădăcinii are 0 numere întregi).

Apoi găsesc numărul de zecimi. Pentru a face acest lucru, adăugați două cifre ale numărului cucerit la dreapta punctului zecimal la rest (dacă nu sunt acolo, adăugați două zerouri la rest) și continuați extragerea așa cum se face atunci când extrageți rădăcina unui număr întreg. Numărul rezultat este scris la rădăcină în locul zecimilor.

Apoi găsiți numărul sutimiilor. Pentru a face acest lucru, două numere din dreapta celor care tocmai au fost eliminate sunt adăugate la restul etc.

Astfel, la extragerea rădăcinii unui număr întreg cu o fracție zecimală numărul trebuie împărțit în muchii cu două cifre fiecare, începând de la virgulă zecimală, atât la stânga (în partea întreagă a numărului), cât și la dreapta (în partea fracțională).

Exemple.

În ultimul exemplu, am convertit o fracție într-o zecimală calculând opt zecimale pentru a crea cele patru fețe necesare pentru a găsi cele patru zecimale ale rădăcinii.

Walter A. Aue / flickr.com

Fizicienii americani au clarificat dimensiunea spațiu-timp comparând distanța până la sursă, calculată din atenuarea undelor gravitaționale și din deplasarea la roșu a radiației electromagnetice. Oamenii de știință au efectuat astfel de calcule pentru evenimentul GW170817 și au descoperit că dimensiunea spațiu-timpului nostru este aproximativ egală cu D≈ 4,0 ± 0,1. În plus, au stabilit o limită inferioară a duratei de viață a gravitonului, care a fost de aproximativ 450 de milioane de ani. Un preprint al articolului este postat pe arXiv.org.

Actualizat: în iulie 2018, articolul a fostpublicat în Jurnalul de Cosmologie și Fizica Astroparticulelor.

Relativitatea generală și Modelul Standard sunt construite pe presupunerea că trăim în spațiu-timp cu patru dimensiuni. Mai exact, într-o (3+1)-dimensională: 3 dimensiuni spațiale și o dimensiune temporală. Pe de altă parte, oamenii de știință tind să se îndoiască de cele mai elementare afirmații. Poate că dimensiunea spațiu-timpului nostru nu este exact egală cu patru, ci doar foarte aproape de această valoare? De fapt, există teorii în care spațiul nostru-timp este înglobat în spații cu dimensiuni mai mari. Prin urmare, în general vorbind, patrudimensionalitatea lumii noastre trebuie să fie dovedită și nu luată de bună.

O echipă de fizicieni condusă de David Spergel a stabilit limite precise ale dimensiunii spațiu-timpului nostru analizând undele gravitaționale și electromagnetice care sosesc aproape simultan pe Pământ, emise în timpul fuziunii a două stele neutronice. Pe de o parte, distanța până la sursa de undă poate fi determinată de componenta electromagnetică. Pe de altă parte, poate fi calculată din atenuarea undelor gravitaționale. Evident, ambele aceste distanțe trebuie să coincidă, ceea ce impune restricții asupra diferenței dintre rata de dezintegrare și rata prezisă de relativitatea generală. Este de remarcat faptul că o eroare suplimentară în distanța determinată de deplasarea către roșu este introdusă de faptul că valorile constantei Hubble, măsurate din viteza de retragere a galaxiilor și din fluctuațiile radiației cosmice de fond cu microunde, sunt cu reciproc. În acest articol, pentru orice eventualitate, oamenii de știință au efectuat calcule pentru ambele valori, dar eroarea din datele experimentale a depășit încă această diferență.

În Teoria Generală a Relativității, intensitatea undelor gravitaționale scade invers proporțional cu prima putere a distanței de la sursă: h ~ 1/r. Cu toate acestea, în teoriile cu mai multe dimensiuni, această lege este modificată, iar dezintegrarea are loc mai repede: h ~ 1/rγ, unde γ = ( D− 2)/2 și D- numărul de măsurători. Se pare că energia undei pare să „se scurgă” în dimensiuni suplimentare. Calculând distanța „electromagnetică” și „gravitațională” față de stelele neutronice, fizicienii au determinat că gradul de dependență γ ≈ 1,00 ± 0,03, adică dimensiunea spațiului nostru D≈ 4,0 ± 0,1.

Distribuția probabilității în care trăim D-spaţiul dimensional. Liniile de culori diferite corespund unor valori diferite ale constantei Hubble utilizate în calcule

Pe de altă parte, într-un alt tip de teorii alternative, gravitația este ecranată - la distanțe mici se comportă în același mod ca în teoria patrudimensională, iar la distanțe mari seamănă D-dimensională. Luând în considerare limitările evenimentului GW170817, fizicienii au determinat raza minimă de screening a unor astfel de teorii - a fost de aproximativ douăzeci de megaparsecs. În acest caz, sursa undelor este situată în galaxia NGC 4993 la o distanță de aproximativ patruzeci de megaparsecs.

În cele din urmă, poate apărea o atenuare suplimentară a undelor gravitaționale, deoarece gravitonii sunt particule instabile și se descompun în timpul călătoriei lor de la sursă la detector. Pe baza acestei presupuneri, fizicienii au calculat o limită inferioară a duratei de viață a gravitonului. S-a dovedit că nu poate fi mai puțin de 4,5 × 10 8 ani.

Detectarea simultană a componentelor gravitaționale și electromagnetice a avut o mare influență asupra teoriilor alternative ale gravitației. De exemplu, la sfârșitul lunii decembrie a anului trecut, în Scrisori de revizuire fizicăÎn același timp, au fost publicate patru articole dedicate evenimentului GW170817 și restricțiilor asupra diferitelor teorii cuantice ale gravitației. În plus, acest eveniment impune restricții foarte stricte asupra vitezei gravitației - acum raportul dintre viteza gravitației și viteza luminii poate diferi de unitate cu cel mult 3 × 10 -15.

Dmitri Trunin