Principala proprietate a proporției este produsul. Definiția conceptului de „proporții”

Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.

a :b =c :d. Aceasta este o proporție. Citit: A acest lucru se aplică b, Cum c se refera la d. Numerele AȘi d numit extrem termeni de proporție și numere bȘi c – in medie membri ai proporţiei.

Exemplu de proporție: 1 2 : 3 = 16 : 4 . Aceasta este egalitatea a două rapoarte: 12:3= 4 și 16:4= 4 . Ei au citit: doisprezece este la trei, precum șaisprezece este la patru. Aici 12 și 4 sunt termenii extremi ai proporției, iar 3 și 16 sunt termenii de mijloc ai proporției.

Principala proprietate a proporției.

Produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii.

Pentru proporție a :b =c :d sau a /b =c /d proprietatea principală este scrisă astfel: a·d =b·c .

Pentru proporția noastră 12 : 3 = 16 : 4 proprietatea principală se va scrie astfel: 12 4 = 3·16 . Se obține egalitatea corectă: 48=48 .

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al unei proporții, trebuie să împărțiți produsul termenilor de mijloc ai proporției la termenul extrem cunoscut.

Exemple.

1) x: 20 = 2: 5. Avem XȘi 5 sunt termenii extremi ai proporției și 20 Și 2 - in medie.

Soluţie.

x = (20 2):5— trebuie să înmulțiți termenii medii ( 20 Și 2 ) și împărțiți rezultatul la termenul extrem cunoscut (numărul 5 );

x = 40:5- produsul termenilor medii ( 40 ) împărțiți la termenul extrem cunoscut ( 5 );

x = 8. Am obținut termenul extrem necesar al proporției.

Este mai convenabil să scrieți constatarea termenului necunoscut al unei proporții folosind o fracție obișnuită. Astfel ar fi scris exemplul pe care l-am luat în considerare:

Termenul extrem necesar al proporției ( X) va fi egal cu produsul termenilor medii ( 20 Și 2 ), împărțit la termenul extrem cunoscut ( 5 ).

Reducem fracția cu 5 (împarte la 5 X.

Mai multe exemple de găsire a termenului extrem necunoscut al unei proporții.

Pentru a găsi termenul mediu necunoscut al unei proporții, trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi ai proporției la termenul mediu cunoscut.

Exemple. Găsiți termenul mediu necunoscut al proporției.

5) 9: x = 3: 14. Număr 3 - termenul mediu cunoscut al unei proporții date, număr 9 Și 14 - termeni extremi de proporție.

Soluţie.

x = (9 14):3 —înmulțiți termenii extremi ai proporției și împărțiți rezultatul la termenul mediu cunoscut al proporției;

x= 136:3;

x=42.

Soluția acestui exemplu poate fi scrisă diferit:

Termenul mediu dorit al proporției ( X) va fi egal cu produsul termenilor extremi ( 9 Și 14 ), împărțit la termenul mediu cunoscut ( 3 ).

Reducem fracția cu 3 (împarte la 3 atât numărătorul cât și numitorul fracției). Găsirea valorii X.

Dacă ați uitat cum să reduceți fracțiile obișnuite, repetați subiectul: „”

Mai multe exemple de găsire a termenului mediu necunoscut al unei proporții.

Formula proporțională

Proporția este egalitatea a două rapoarte când a:b=c:d

Proprietăți de bază ale proporției

Produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor mijlocii (în cruce): dacă a:b=c:d , atunci a⋅d=b⋅c

Inversarea proporției: dacă a:b=c:d atunci b:a=d:c

Rearanjarea termenilor de mijloc: dacă a:b=c:d atunci a:c=b:d

Rearanjarea termenilor extremi: dacă a:b=c:d atunci d:b=c:a

Rezolvarea unei proporții cu o necunoscută | Ecuația

Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă

Cum se calculează proporția

Sarcină: trebuie să bei 1 tabletă de cărbune activ la 10 kilograme de greutate. Câte comprimate ar trebui să luați dacă o persoană cântărește 70 kg?

Să facem o proporție: 1 tabletă - 10 kg X tablete - 70 kg Pentru a găsi X, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă: 1 tabletă X tablete✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Răspuns: 7 tablete

Sarcină:în cinci ore Vasya scrie două articole. Câte articole va scrie în 20 de ore?

Să facem o proporție: 2 articole - 5 ore X articole - 20 de ore X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Răspuns: 8 articole

Pot spune viitorilor absolvenți de școală că abilitatea de a întocmi proporții mi-a fost utilă atât pentru a reduce proporțional imaginile, cât și în aspectul HTML al unei pagini de internet, cât și în situații de zi cu zi.

Golovach Alexandru Grigorievici

Instituția de Învățământ de Stat „Școala Gimnazială Nr. 18 din Brest”

Subiect: Proporţie. Principala proprietate a proporției. (clasa a 6-a)

Tip de lecție: studierea și consolidarea primară a noilor cunoștințe

Educational: introducerea elevilor în conceptele: proporție și membri ai proporției; predați citirea proporțiilor și întocmirea proporțiilor din rapoarte; introducerea elevilor în proprietatea de bază a proporției și dezvoltarea abilității de a determina proporția corectă.

Dezvoltare: să intensifice activitatea cognitivă a elevilor; dezvoltarea memoriei, gândirea logică;

Educational: cultivati ​​respectul pentru munca si munca in echipa.

Literatură: Matematică: manual. indemnizatie pentru clasa a VI-a. educatie generala instituţii cu limba rusă limba antrenament / E. P. Kuznetsova [etc.]; editat de L. B. Shneperman. – Minsk: Nat. Institutul de Educație, 2010. - 320 p.: ill.

Echipament: manual, tablă, cretă, prezentare, computer, proiector.

În timpul orelor:

Moment organizatoric (2 min)

Verificarea temelor (3 min)

Actualizarea cunoștințelor (8 min)

Învățarea de materiale noi (12 min)

Minut de educație fizică (2 min)

Consolidare primară (13 min)

Temă pentru acasă (1 min.)

Reflecţie. Rezumând. (4 min)

1. Moment organizatoric

Organizez atentia elevilor. Îți sugerez să te așezi. Notez elevii care lipsesc de la clasă.

Ei salută. Ei stau jos.

2. Verificarea temelor

Astăzi, în lecția noastră, avem un subiect nou „Proporția. Principala proprietate a proporției.”

Și obiectivele lecției noastre: familiarizați-vă cu definiția „Proporției”; din ce elemente constă proporția? studiază proprietatea de bază a proporțiilor.

Dar înainte de a începe să studiem un subiect nou, să ne verificăm temele.

3. Actualizarea cunoștințelor

/*sondaj frontal*/

În ultima lecție am avut subiectul „Relația dintre numere și cantități”.

1. Să ne amintim ce se numește o relație?

2. Cum se numesc aceste numere sau cantități în sine?

3. Spuneți-mi, ce se va întâmpla cu raportul dacă membrii săi sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr, altul decât zero?

Acum să ne amintim cum sunt citite relațiile și să le găsim sensul.

1. Câtul dintre două numere (sau două mărimi) se numește raport.

2. Aceste numere sau cantități sunt numite membri ai relației.

3. Raportul nu se va modifica dacă membrii săi sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr care nu este egal cu zero.

1. Raportul 25 la 5 este 5.

2. Raportul de la 33 la 11 este 3.

3. Raportul dintre numărul 6 la 14 este .

4. Raportul de la 12 la 4 este 3.

5. Raportul dintre numărul 30 la 70 este

6. Raportul 55 la 11 este 5.

4. Învățarea de materiale noi

Băieți, spuneți-mi sub ce numere relațiile noastre au aceleași semnificații.

Am ajuns să avem înregistrări ale relațiilor egale:

Deci egalitatea a două relații se numeșteproporţie .

Proporția se scrie:

sau

- atitudine A La b egal cu raportul c La d ;

- A se refera la b , Cum c se refera la d ;

- A , impartit de b , egal c , impartit de d .

Deoarece în înregistrare numereA Șid stau pe margine, se numesc de obiceitermeni extremi ai proporţiei . Ei bine, pentru că... numereb Șic sunt la mijloc, apoi sunt numite în consecință -termenii medii ai proporţiei .

Aceste nume sunt păstrate chiar și atunci când proporția este scrisă în formă
.

Să revenim la proporțiile pe care le-am obținut și să le numim membrii extremi și mijlocii.

Acum hai să facem niște matematică. Înmulțiți termenii extremi și medii în proporțiile noastre

Ce concluzie se poate trage?

Acea

Dreapta. Această afirmație se numeșteprincipala proprietate a proportiei .

Raportul 1 este egal cu raportul 6.

Raportul 2 este egal cu raportul 4.

Raportul 3 este egal cu raportul 5.

Extremele sunt 25 și 11, cele din mijloc sunt 5 și 55.

Extremele sunt 33 și 4, cele din mijloc sunt 11 și 12.

Extremele sunt 6 și 70, mediile sunt 14 și 30.

Produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii.

5. Minutul de educație fizică

Ei bine, acum hai să ne odihnim puțin. Să facem niște exerciții pentru ochi. Deoarece Dacă este deja iarnă, pe ecran vor apărea fulgi de zăpadă, iar sarcina ta este să le monitorizezi cu atenție mișcările.

6. Consolidare primară

Și acum, cu o vigoare reînnoită, vom începe să îndeplinim sarcinile.

№ 5.27 (oral)

5.29 (1;3)

5.30 (1;3)

5,31 (1;3) (ext. 5,32)

№ 5.27

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

№5.29 (1;3)

Alcătuiți o proporție dacăm Șin - membrii săi extremi, șiX Șiy - in medie:

1) ;

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.

După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o așezăm pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu numărul mare 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, să luăm în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.

Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.

Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.