Deformarea unui corp solid. legea lui Hooke

Sub influența forțelor externe aplicate unui corp, acesta își poate schimba forma sau volumul - deforma.

Când un corp se deformează, în interiorul lui apar forțe opuse - forte elastice , care prin natura lor sunt forțe moleculare și în cele din urmă au o natură electrică (vezi Fig. 1).

În absența deformării, distanța dintre molecule este egală cu r o iar forțele de atracție și repulsie se anulează reciproc. Când corpul este comprimat ( r< r o) forţele de respingere vor fi mai mari decât forţele de atracţie ( din > pr ) și invers, când este întins ( r > r o)– forțele de atracție moleculară vor fi mari. În ambele cazuri, forțele moleculare (forțele de elasticitate) tind să restabilească forma sau volumul original al corpului. Această proprietate a corpurilor se numește elasticitate.

Dacă, după încetarea forței, corpul își restabilește complet forma (sau volumul) anterioară, atunci o astfel de deformare se numește elastic, iar corpul este elastic

Orez. 1

Dacă forma corpului (sau volumul acestuia) nu este complet restaurată, atunci se numește deformare neelastic sau plastic, iar corpul este din plastic. În mod ideal, corpurile elastice și plastice nu există. Corpurile reale, de regulă, păstrează elasticitatea numai sub deformații suficient de mici și devin plastice sub cele mari.

În funcție de forțele care acționează, se disting următoarele tipuri de deformații: tensiune, compresiune, încovoiere, forfecare, torsiune. Fiecare tip de deformare determină apariția unei forțe elastice corespunzătoare.

Experiența arată că forța elastică care apare în timpul deformărilor mici de orice fel este proporțională cu cantitatea de deformare (deplasare) - legea lui Hooke .

= , (1)

Unde La – coeficient de proporționalitate, o valoare constantă pentru o deformare dată a unui corp solid dat.

Semnul (-) indică direcțiile opuse ale forței elastice și deplasării.

Teoria elasticității sugerează că toate tipurile de deformare pot fi reduse la deformații simultane de tracțiune (sau compresie) și forfecare.

Să luăm în considerare deformarea la tracțiune mai detaliat.

Lăsați capătul inferior al unei tije fixe de lungime X și aria secțiunii transversale S (vezi Fig. 2) se aplică o forță de deformare. Tija se va alungi cu o cantitate și în ea ia naștere o forță elastică care, conform celei de-a treia legi a lui Newton, este egală ca mărime și opusă ca direcție forței de deformare.

Ținând cont de relația (2), legea lui Hooke poate fi scrisă după cum urmează:

sau mărimea deformării este direct proporţională cu deformaţia. forță.. Cu deformarea longitudinală, gradul de deformare,

Orez. 2 experimentat de corp este de obicei caracterizat nu prin alungire absolută, ci prin alungire relativă

ε = , (3)

iar acţiunea deformatoare a forţei este Voltaj

σ = , (4)

acestea. raportul dintre forța de deformare și aria secțiunii transversale a tijei.

Tensiunea se măsoară în Pa (1 Pa = 1 ).

Datorită interacțiunii părților corpului, stresul creat de forța de deformare este transmis în toate punctele corpului - întregul volum al corpului este într-o stare de stres.

Omul de știință englez Hooke a stabilit experimental că pentru deformații mici alungirea relativă ε este direct proporțională cu tensiunea

σ = ε (5) -

Legea lui Hooke pentru deformarea la tracțiune (compresivă).

Aici coeficientul de proporționalitate E– Modulul Young – nu depinde de dimensiunea corpului și caracterizează proprietățile elastice ale materialului din care este fabricat corpul.

Dacă în formula 5 luăm ε = , acestea . , atunci = σ acestea. Modulul lui Young este o valoare egală numeric cu tensiunea la care lungimea tijei crește de 2 ori. Măsurat în Pa (1 Pa = 1 ) .

De fapt, dublarea lungimii poate fi observată doar pentru cauciuc și unii polimeri. Pentru alte materiale, defectarea rezistenței are loc cu mult înainte ca lungimea probei să se dubleze.

Relația tipică între tensiune σ iar deformarea relativă este prezentată în (Fig. 3).

Orez. 3

La solicitări relativ scăzute, deformația este elastică (secțiunea OB), iar aici este îndeplinită legea lui Hooke, conform căreia tensiunea este proporțională cu deformarea. Cea mai mare tensiune control σîn care deformaţia rămâne încă elastică se numeşte limita elastica . În plus, deformarea devine plastică (secțiunea Soare), și la o valoare a tensiunii σ pr(rezistența la tracțiune) corpul este distrus. materiale,

pentru care regiunea de deformare plastică (Soare)

semnificativ, numit vâscos, pentru care practic lipsește – fragil. Proprietățile elastice ale țesuturilor vii sunt determinate de structura lor. Structura compozițională a osului îi conferă proprietățile mecanice necesare: duritate, elasticitate, rezistență. Pentru deformații mici, legea lui Hooke este îndeplinită. Modulul osos al lui Young E ~ 10 hPa, rezistență la tracțiune σ pr ~ 100 MPa.

Proprietățile mecanice ale pielii, mușchilor, vaselor de sânge, care constau din colagen, elastină și țesut subiacent, sunt similare cu proprietățile mecanice ale polimerilor, constând din molecule lungi, flexibile, curbate complicat. Când se aplică o sarcină, fibrele se îndreaptă, iar după ce sarcina este îndepărtată, revin la starea inițială. Aceasta explică elasticitatea ridicată a țesuturilor moi. Legea lui Hooke nu este valabilă pentru ei, pentru că modulul lor de Young este o mărime variabilă.

Tensiune (compresie) tija ia naștere din acțiunea forțelor exterioare îndreptate de-a lungul axei sale. Tensiunea (compresia) se caracterizează prin: - ​​alungire absolută (scurtare) Δ l;

 deformarea longitudinală relativă ε= Δ l/l

 deformarea transversală relativă ε`= Δ A/ A= Δ b/ b

Cu deformari elastice intre σ și ε există o dependență descrisă de legea lui Hooke, ε=σ/E, unde E este modulul de elasticitate de primul fel (modulul Young), Pa. Semnificația fizică a modulului lui Young: Modulul de elasticitate este numeric egal cu efortul la care alungirea absolută a tijei este egală cu lungimea inițială, adică E= σ cu ε=1.

14. Proprietăţile mecanice ale materialelor structurale. Diagrama tensiunii.

Proprietățile mecanice ale materialelor includ indicatori de putere rezistența la tracțiune σ in, limita de curgere σ t și limita de rezistență σ -1; caracteristica de rigiditate modulul elastic E și modulul de forfecare G; caracteristicile rezistenței la stres de contact duritatea suprafeţei NV, HRC; indicatori de elasticitate alungirea relativă δ și contracția transversală relativă φ; puterea impactului A.

Reprezentare grafică a relației dintre forța care acționează F și alungire Δl numit diagrama de întindere eșantion (compresie). Δl= f(F).

X puncte și secțiuni caracteristice ale diagramei: 0-1  secțiunea relației liniare dintre solicitarea normală și alungirea relativă, care reflectă legea lui Hooke. Punct 1 corespunde limitei de proporționalitate σ pc =F pc /A 0, unde F pc este sarcina corespunzătoare limitei de proporționalitate. Punct 1` corespunde limitei elastice σ y, adică. efortul cel mai mare la care încă nu există deformații reziduale în material. ÎN punctul 2 diagramă, materialul intră în regiunea de plasticitate - apare fenomenul de fluiditate materială . Secțiunea 2-3 paralel cu axa x (zona de randament). Pe secțiunea 3-4 se observă întărirea materialului. ÎN punctul 4 are loc îngustarea locală a probei. Raportul σ în =F în /A 0 se numește rezistență la tracțiune. ÎN punctul 5 proba se rupe sub o sarcină distructivă dimensiune F.

15. Tensiuni admisibile. Calcule pe baza tensiunilor admisibile.

Se numesc tensiunile la care o mostră dintr-un material dat cedează sau la care se dezvoltă deformații plastice semnificative extrem. Aceste tensiuni depind de proprietatile materialului si de tipul deformarii. Tensiunea, a cărei valoare este reglementată de specificații tehnice, se numește acceptabil. Tensiunile admisibile sunt stabilite luând în considerare materialul structurii și variabilitatea proprietăților sale mecanice în timpul funcționării, gradul de responsabilitate al structurii, precizia sarcinilor, durata de viață a structurii, precizia calculelor pentru statice și putere dinamică.

Pentru materialele plastice, tensiunile admisibile [σ] sunt alese astfel încât, în cazul oricăror inexactități de calcul sau condiții de funcționare neprevăzute, să nu apară deformații reziduale în material, i.e. [σ] = σ 0,2 /[n] t, unde [n] t este factorul de siguranță în raport cu σ t.

Pentru materialele fragile, tensiunile admisibile sunt atribuite în funcție de condiția ca materialul să nu se prăbușească. În acest caz, [σ] = σ în /[n] în. Astfel, factorul de siguranță [n] are o structură complexă și are scopul de a garanta rezistența structurii împotriva oricăror accidente și inexactități care apar în timpul proiectării și exploatării structurii.

legea lui Hooke denumite de obicei relații liniare între componentele de deformare și componentele tensiunii.

Să luăm un paralelipiped dreptunghiular elementar cu fețe paralele cu axele de coordonate, încărcat cu efort normal σ x, distribuite uniform pe două fețe opuse (Fig. 1). în care σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Până la limita proporționalității, alungirea relativă este dată de formula

Unde E— modulul de elasticitate la tracțiune. Pentru oțel E = 2*10 5 MPa, prin urmare, deformațiile sunt foarte mici și se măsoară ca procent sau 1 * 10 5 (în aparatele de extensometru care măsoară deformațiile).

Extinderea unui element în direcția axei Xînsoţită de îngustarea acestuia pe direcţia transversală, determinată de componentele de deformare

Unde μ - o constantă numită raportul de compresie laterală sau raportul lui Poisson. Pentru oțel μ de obicei considerată a fi 0,25-0,3.

Dacă elementul în cauză este încărcat simultan cu solicitări normale σ x, σy, σ z, distribuit uniform de-a lungul fețelor sale, apoi se adaugă deformații

Suprapunerea componentelor de deformare cauzate de fiecare dintre cele trei tensiuni se obtin relatiile

Aceste relații sunt confirmate de numeroase experimente. Aplicat metoda de suprapunere sau suprapuneri a afla deformarile si tensiunile totale cauzate de mai multe forte este legitim atata timp cat deformarile si tensiunile sunt mici si dependente liniar de fortele aplicate. În astfel de cazuri, neglijăm micile modificări ale dimensiunilor corpului deformat și mișcările mici ale punctelor de aplicare a forțelor externe și ne bazăm calculele pe dimensiunile inițiale și pe forma inițială a corpului.

De remarcat faptul că micimea deplasărilor nu înseamnă neapărat că relațiile dintre forțe și deformații sunt liniare. Deci, de exemplu, într-o forță comprimată Q tija încărcată suplimentar cu forță tăietoare R, chiar și cu abateri mici δ apare un punct suplimentar M = Qδ, ceea ce face problema neliniară. În astfel de cazuri, deviațiile totale nu sunt funcții liniare ale forțelor și nu pot fi obținute prin suprapunere simplă.

S-a stabilit experimental că dacă tensiunile de forfecare acționează de-a lungul tuturor fețelor elementului, atunci distorsiunea unghiului corespunzător depinde numai de componentele corespunzătoare ale efortului de forfecare.

Constant G numit modul de elasticitate de forfecare sau modul de forfecare.

Cazul general de deformare a unui element datorita actiunii a trei componente normale si a trei componente tangentiale de tensiuni asupra acestuia poate fi obtinut prin suprapunere: trei deformatii de forfecare, determinate de relatiile (5.2b), sunt suprapuse pe trei deformatii liniare determinate de expresii ( 5.2a). Ecuațiile (5.2a) și (5.2b) determină relația dintre componentele deformațiilor și tensiunilor și se numesc legea lui Hooke generalizată. Să arătăm acum că modulul de forfecare G exprimată în termeni de modul de elasticitate la întindere Eși raportul lui Poisson μ . Pentru a face acest lucru, luați în considerare cazul special când σ x = σ , σy = -σ Și σ z = 0.

Să decupăm elementul abcd plane paralele cu axa zși înclinată la un unghi de 45° față de axe XȘi la(Fig. 3). După cum rezultă din condițiile de echilibru ale elementului 0 bс, stres normal σ v pe toate fețele elementului abcd sunt egale cu zero, iar tensiunile tăietoare sunt egale

Această stare de tensiune se numește forfecare pură. Din ecuațiile (5.2a) rezultă că

adică extensia elementului orizontal este 0 c egal cu scurtarea elementului vertical 0 b: εy = -εx.

Unghiul dintre fețe abȘi bc modificări și valoarea deformarii de forfecare corespunzătoare γ poate fi găsită din triunghiul 0 bс:

Rezultă că

DEFINIȚIE

Deformarea este elastic, în cazul în care dispare complet la încetarea forței de deformare.

Deformarea elastică devine inelastică (plastică), depășind limita elastică. În timpul deformării elastice, particulele deplasate în noi poziții de echilibru în rețeaua cristalină își ocupă vechile poziții după ce forța de deformare este îndepărtată. Corpul își restabilește complet dimensiunea și forma după îndepărtarea sarcinii.

Legea deformarii elastice

Naturalistul englez R. Hooke a obținut experimental o legătură directă între forța de deformare (F) și alungirea arcului deformat (x). Forța externă generează forțe elastice ale corpului. Aceste forțe sunt egale ca mărime; forța elastică echilibrează acțiunea forței de deformare. Legea lui Hooke este scrisă astfel:

unde este proiecția forței pe axa X; x - extinderea arcului de-a lungul axei X; k este coeficientul de elasticitate al arcului (rigiditatea arcului). Când se folosește o cantitate cum ar fi forța elastică () pentru un arc deformat, legea lui Hooke ia forma:

unde este proiecția forței elastice pe axa X. Coeficientul k este o valoare care depinde de material, de dimensiunea spiralei arcului și de lungimea acestuia. Legea lui Hooke este valabilă pentru alungiri mici și sarcini mici.

Legea deformarii elastice este valabila pentru tensiunea (compresiunea) unei tije elastice. De obicei, în acest caz, forțele elastice din tijă sunt descrise folosind efort.

În acest caz, se presupune că forța este distribuită uniform pe secțiune și este perpendiculară pe suprafața secțiunii. title="Redată de QuickLaTeX.com" height="12" width="40" style="vertical-align: 0px;">, если происходит растяжение и при сжатии. Напряжение называют нормальным. При этом тангенциальное напряжение равно:!}

unde este forța elastică care acționează de-a lungul stratului corpului; S este aria stratului luat în considerare.

Modificarea lungimii tijei () este egală cu:

unde E este modulul lui Young; l este lungimea tijei. Modulul Young caracterizează proprietățile elastice ale unui material.

Legea deformarii elastice la forfecare

Forfecarea este o deformare în care straturile plate ale unui corp solid se deplasează paralel unul cu celălalt. Cu acest tip de deformare, straturile nu își schimbă forma și dimensiunea. Măsura acestei deformări este unghiul de forfecare () sau cantitatea de forfecare (). Legea lui Hooke pentru deformarea prin forfecare elastică se scrie astfel:

unde G este modulul elastic transversal (modulul de forfecare), h este grosimea stratului deformabil; - unghi de forfecare.

Toate tipurile de deformare elastică pot fi reduse la deformații de tracțiune sau de compresiune care apar simultan.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Proiectarea dinamometrelor - dispozitive pentru determinarea forțelor - se bazează pe faptul că deformarea elastică este direct proporțională cu forța care provoacă această deformare. Un exemplu în acest sens este binecunoscutul oțel de primăvară.

Legătura dintre deformațiile elastice și forțele interne dintr-un material a fost stabilită pentru prima dată de omul de știință englez R. Hooke. În prezent, legea lui Hooke este formulată astfel: solicitarea mecanică într-un corp deformat elastic este direct proporțională cu deformația relativă a acestui corp.

Valoarea care caracterizează dependența tensiunii mecanice dintr-un material de tipul acestuia din urmă și de condițiile externe se numește modul elastic. Modulul elastic se măsoară prin efortul mecanic care trebuie să apară în material atunci când deformația elastică relativă este egală cu unitatea.

Rețineți că deformația elastică relativă este de obicei exprimată printr-un număr mult mai mic decât unitatea. Cu rare excepții, este aproape imposibil să ajungi la egalitate cu unul, deoarece materialul este distrus cu mult înainte. Totuși, modulul de elasticitate poate fi găsit din experiență ca raport și la o valoare mică, deoarece în formula (11.5) este o valoare constantă.

Unitatea SI a modulului de elasticitate este 1 Pa. (Dovedește-o.)

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea legii lui Hooke la deformarea tensiunii sau compresiei unilaterale. Formula (11.5) pentru acest caz ia forma

unde E reprezintă modulul de elasticitate pentru acest tip de deformare; se numeste modul lui Young. Modulul Young este o măsură a tensiunii normale care trebuie să apară într-un material

la o deformare relativă egală cu unitatea, adică atunci când lungimea probei este dublată, valoarea numerică a modulului lui Young se determină din experimente efectuate în limitele deformației elastice, iar în calcule este luată din tabele.

Deoarece din (11.6) obținem

Astfel, deformarea absolută în timpul tensiunii longitudinale sau compresiei este direct proporțională cu forța și lungimea corpului care acționează asupra corpului, invers proporțională cu aria secțiunii transversale a corpului și depinde de tipul de substanță.

Cea mai mare stres dintr-un material, după care se restabilește forma și volumul corpului, se numește limită elastică. Formulele (11.5) și (11.7) sunt valabile până la depășirea limitei elastice. Când se atinge limita elastică, în corp apar deformații plastice. În acest caz, poate veni un moment în care, sub aceeași sarcină, deformația începe să crească și materialul se prăbușește. Sarcina la care apare cea mai mare solicitare mecanică posibilă în material se numește distructivă.

La construirea de mașini și structuri, se creează întotdeauna o marjă de siguranță. Factorul de siguranță este o valoare care arată de câte ori sarcina maximă reală în locul cel mai solicitat al structurii este mai mică decât sarcina de rupere.