Ακρίβεια έως 0 1. Επέκταση σειράς Taylor

Τόσο στην 7η όσο και στην 8η τάξη λύναμε συχνά εξισώσεις γραφικά. Παρατηρήσατε ότι σχεδόν σε όλα αυτά τα παραδείγματα οι εξισώσεις είχαν «καλές» ρίζες; Αυτοί ήταν ακέραιοι αριθμοί που μπορούσαν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας γραφήματα, ειδικά σε καρό χαρτί. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα· έχουμε επιλέξει απλώς «καλά» παραδείγματα μέχρι τώρα.

Θεωρήστε δύο εξισώσεις: = 2 - x και = 4 - x. Η πρώτη εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = 1, αφού οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = και y = 2 - x τέμνονται σε ένα σημείο Α (1; 1) (Εικ. 112). Στη δεύτερη περίπτωση, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων - fc και y = 4 - x τέμνονται επίσης σε ένα σημείο Β (Εικ. 113), αλλά με «κακές» συντεταγμένες. Χρησιμοποιώντας το σχέδιο, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τετμημένη του σημείου Β είναι περίπου ίση με 2,5. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν μιλούν για μια ακριβή, αλλά για μια κατά προσέγγιση λύση της εξίσωσης και τη γράφουν ως εξής:

Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους οι μαθηματικοί αποφάσισαν να εισαγάγουν την έννοια της κατά προσέγγιση τιμής ενός πραγματικού αριθμού. Υπάρχει ένας δεύτερος λόγος, και ίσως ακόμη πιο σημαντικός: Τι είναι ένας πραγματικός αριθμός; Αυτό είναι ένα άπειρο δεκαδικό. Αλλά δεν είναι βολικό να πραγματοποιούνται υπολογισμοί με άπειρα δεκαδικά κλάσματα, επομένως στην πράξη χρησιμοποιούν κατά προσέγγιση τιμές πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, για έναν αριθμό χρησιμοποιούν την κατά προσέγγιση ισότητα 3.141 ή 3.142. Η πρώτη ονομάζεται κατά προσέγγιση τιμή (ή προσέγγιση) του αριθμού n με ανεπάρκεια με ακρίβεια 0,001. η δεύτερη ονομάζεται κατά προσέγγιση τιμή (προσέγγιση) του αριθμού k κατά περίσσεια με ακρίβεια 0,001. Μπορούν να γίνουν πιο ακριβείς προσεγγίσεις: για παράδειγμα,
3,1415 - προσέγγιση της ανεπάρκειας με ακρίβεια 0,0001. 3,1416 - προσέγγιση της υπέρβασης με ακρίβεια 0,0001. Μπορείτε να πάρετε λιγότερο ακριβείς προσεγγίσεις, ας πούμε, με ακρίβεια 0,01: για ανεπάρκεια 3,14, για υπέρβαση 3,15.
Χρησιμοποιήσατε το κατά προσέγγιση πρόσημο ισότητας «στο μάθημα των μαθηματικών Ε'-ΣΤ' δημοτικού και, πιθανώς, στο μάθημα της φυσικής, και το χρησιμοποιούσαμε και πριν, για παράδειγμα στην § 27.

Παράδειγμα 1.Βρείτε κατά προσέγγιση τιμές για ανεπάρκεια και υπέρβαση με ακρίβεια 0,01 για αριθμούς:

Λύση,

α) Γνωρίζουμε ότι = 2,236... (βλ. § 27), επομένως, το 2,23 είναι μια προσέγγιση κατά έλλειμμα με ακρίβεια 0,01. Το 2,24 είναι μια προσέγγιση της υπέρβασης εντός 0,01.
β) 2 + = 2.000... + 2.236... = 4.236... . Αυτό σημαίνει ότι το 2 + 4,23 είναι μια προσέγγιση της ανεπάρκειας με ακρίβεια 0,01. 2 + 4,24 είναι μια υπερβάλλουσα προσέγγιση με ακρίβεια εντός 0,01.
γ) Έχουμε 0,31818... (βλ. § 26). Έτσι, το 0,31 είναι μια προσέγγιση της ανεπάρκειας εντός 0,01. Το 0,32 είναι μια προσέγγιση της υπέρβασης εντός 0,01.
Η προσέγγιση κατά έλλειμμα και η προσέγγιση κατά περίσσεια ονομάζονται μερικές φορές στρογγυλοποίηση ενός αριθμού.

Ορισμός. Το σφάλμα προσέγγισης (απόλυτο σφάλμα) είναι το μέγεθος της διαφοράς μεταξύ της ακριβούς τιμής του x και της κατά προσέγγιση τιμής του a: το σφάλμα προσέγγισης είναι | x - a |.
Για παράδειγμα, το σφάλμα της κατά προσέγγιση ισότητας εκφράζεται ως ή, αντίστοιχα, ως ,
Τίθεται ένα καθαρά πρακτικό ερώτημα: ποια προσέγγιση είναι καλύτερη, ως προς την ανεπάρκεια ή την υπερβολή, δηλαδή σε ποια περίπτωση το σφάλμα είναι μικρότερο; Αυτό βέβαια εξαρτάται από τον συγκεκριμένο αριθμό για τον οποίο γίνονται οι προσεγγίσεις. Συνήθως, κατά τη στρογγυλοποίηση θετικών αριθμών, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες:
πιρούνι:

Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον κανόνα σε όλους τους αριθμούς που αναφέρονται σε αυτήν την ενότητα. Για τους αριθμούς που εξετάστηκαν, θα επιλέξουμε εκείνες τις προσεγγίσεις για τις οποίες το σφάλμα θα είναι το μικρότερο.
1) = 3,141592... . Με ακρίβεια 0,001 έχουμε 3,142. Εδώ το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι το 5 (στην τέταρτη θέση μετά την υποδιαστολή), οπότε λάβαμε την προσέγγιση κατά περίσσεια.
Με ακρίβεια 0,0001, έχουμε 3,1416 - και εδώ λάβαμε την προσέγγιση κατά περίσσεια, αφού το πρώτο ψηφίο που απορρίπτεται (στην πέμπτη θέση μετά την υποδιαστολή) είναι ίσο με 9. Αλλά με ακρίβεια 0,01 πρέπει να πάρουμε το προσέγγιση από έλλειψη: 3.14.
2) = 2.236... . Με ακρίβεια 0,01 έχουμε 2,24
(προσέγγιση κατά περίσσεια). ¦
3) 2 + = 4.236... . Με ακρίβεια 0,01 έχουμε 2 + 4,24 (προσέγγιση κατά περίσσεια).
4) = 0,31818... . Με ακρίβεια 0,001 έχουμε 0,318 (κατά προσέγγιση μειονέκτημα).
Ας δούμε το τελευταίο παράδειγμα με περισσότερες λεπτομέρειες. Ας πάρουμε ένα μεγεθυσμένο τμήμα της γραμμής συντεταγμένων (Εικ. 114).

Το σημείο ανήκει στο τμήμα, πράγμα που σημαίνει ότι η απόστασή του από τα άκρα του τμήματος δεν υπερβαίνει το μήκος του τμήματος. Σημειακές αποστάσεις από τα άκρα
τα τμήματα είναι ίσα αντίστοιχα τμήμα ισούται με 0,001. Που σημαίνει, Και
Άρα, και στις δύο περιπτώσεις (τόσο για την προσέγγιση ενός αριθμού με ανεπάρκεια όσο και για την προσέγγισή του κατά μια περίσσεια), το σφάλμα δεν υπερβαίνει το 0,001.
Μέχρι τώρα είπαμε: προσεγγίσεις με ακρίβεια έως 0,01, έως 0,001 κ.λπ. Τώρα μπορούμε να βάλουμε τάξη στη χρήση της ορολογίας.
Αν το a είναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού x και , mo λένε ότι το σφάλμα προσέγγισης δεν υπερβαίνει το h ή ότι ο αριθμός x είναι ίσος με τον αριθμό a c

ακριβής στο h.

Γιατί είναι σημαντικό να μπορούμε να βρίσκουμε κατά προσέγγιση τιμές αριθμών; Το γεγονός είναι ότι είναι σχεδόν αδύνατο να λειτουργήσει κανείς με άπειρα δεκαδικά κλάσματα και να τα χρησιμοποιήσει για τη μέτρηση μεγεθών. Στην πράξη, σε πολλές περιπτώσεις, αντί για ακριβείς τιμές, λαμβάνονται προσεγγίσεις με προκαθορισμένη ακρίβεια (σφάλμα). Αυτή η ιδέα ενσωματώνεται επίσης σε αριθμομηχανές, στις οθόνες των οποίων εμφανίζεται το τελικό δεκαδικό κλάσμα, δηλαδή μια προσέγγιση του αριθμού που εμφανίζεται στην οθόνη (με σπάνιες εξαιρέσεις όταν ο εμφανιζόμενος αριθμός είναι ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα που ταιριάζει στην οθόνη) .

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

Εργασία 6.12.

Αναπτύξτε σε μια σειρά Fourier μια περιοδική συνάρτηση f(x) που ορίζεται στο διάστημα .

Εργασία 6.13.

Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) που ορίζεται στο διάστημα (0; π) σε μια σειρά Fourier, συνεχίζοντας (επεκτείνοντάς την) με άρτιο και περιττό τρόπο. Κατασκευάστε γραφήματα για κάθε συνέχεια.

Εργασία 6.14.

Αναπτύξτε την περιοδική συνάρτηση f (x) με τελεία σε μια σειρά Fourier στο υποδεικνυόμενο διάστημα.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.

Εργασία 6.15.

Χρησιμοποιώντας την επέκταση της συνάρτησης f(x) σε μια σειρά Fourier στο καθορισμένο διάστημα, βρείτε το άθροισμα της δεδομένης σειράς αριθμών.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Τεστ Νο. 7.

"Θεωρία Πιθανοτήτων"

Εργασία 7.1.

1. Κάθε μία από τις δύο ομάδες των 5 αθλητών κληρώνει για να ορίσει αριθμούς. Τα δύο αδέρφια είναι σε διαφορετικές ομάδες. Βρείτε την πιθανότητα να λάβουν τα αδέρφια: α) τον αριθμό 4; β) τον ίδιο αριθμό.

2. Η συσκευή περιέχει δύο πανομοιότυπες μονάδες που λειτουργούν ανεξάρτητα με πιθανότητα λειτουργίας χωρίς βλάβες 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) μόνο ένα μπλοκ θα λειτουργήσει χωρίς αστοχία. β) τουλάχιστον ένα μπλοκ.

3. Η βάση έστειλε τα εμπορεύματα σε δύο καταστήματα. Η πιθανότητα έγκαιρης παράδοσης σε καθένα από αυτά είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ότι τα αγαθά θα παραληφθούν έγκαιρα από: α) μόνο ένα κατάστημα. β) τουλάχιστον ένα κατάστημα.

4. Ένα προγραμματισμένο σκάφος μπορεί να καθυστερήσει για δύο ανεξάρτητους λόγους: κακές καιρικές συνθήκες και δυσλειτουργία εξοπλισμού. Η πιθανότητα κακοκαιρίας είναι 0,3, η πιθανότητα δυσλειτουργίας είναι 0,4. Βρείτε την πιθανότητα ότι το σκάφος θα αργήσει: α) μόνο λόγω κακοκαιρίας. β) για οποιοδήποτε λόγο.

5. Οι συνθήκες της μονομαχίας προβλέπουν 2 βολές από κάθε μονομαχία με τη σειρά μέχρι το πρώτο χτύπημα. Οι πιθανότητες να τα χτυπήσετε με μία βολή είναι 0,2 και 0,3, αντίστοιχα. Βρείτε την πιθανότητα η πρώτη μονομαχία: α) να χτυπήσει τον αντίπαλο με τη δεύτερη βολή. β) χτυπάει τον αντίπαλο.

6. Η πιθανότητα ένας επιθετικός να πετύχει γκολ με ένα σουτ στο τέρμα είναι 0,3. Βρείτε την πιθανότητα ότι μετά από δύο βολές: α) θα μπει μόνο ένα γκολ. β) τουλάχιστον ένας στόχος.

7. Η πιθανότητα έγκαιρης ανίχνευσης βλήματος κρουζ από σταθμό ραντάρ είναι 0,8. Υπάρχουν δύο ραντάρ σε υπηρεσία. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένας πύραυλος θα εντοπιστεί από: α) μόνο ένα ραντάρ. β) τουλάχιστον ένα ραντάρ.

8. Ο αριθμός αυτοκινήτου περιέχει τέσσερα ψηφία. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των ψηφίων της πινακίδας του επερχόμενου αυτοκινήτου: α) να είναι ίσο με δύο. β) όχι περισσότερα από δύο.

9. Βρείτε την πιθανότητα ένας διψήφιος αριθμός με τυχαία ονομασία: α) να διαιρείται με το 3. β) έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με 1.

10. Υπάρχουν πέντε λευκές και δύο κόκκινες μπάλες στο κουτί. Βρείτε την πιθανότητα δύο τυχαίες μπάλες να έχουν: α) το ίδιο χρώμα. β) λευκό.

11. Δύο άτομα επιβιβάζονται σε ένα ηλεκτρικό τρένο με οκτώ αυτοκίνητα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Βρείτε την πιθανότητα συνάντησής τους.

12. Ένας πύραυλος φέρει δύο πολλαπλές κεφαλές που χτυπούν το στόχο ανεξάρτητα η μία από την άλλη με πιθανότητες 0,8 και 0,7. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος: α) από μία μόνο κεφαλή. β) τουλάχιστον μία κεφαλή.

13. Υπάρχουν πέντε άσπρες και τρεις μαύρες μπάλες στο κουτί. Βρείτε την πιθανότητα δύο τυχαίες μπάλες να είναι: α) διαφορετικά χρώματα. β) μαύρο.

14. Βρείτε την πιθανότητα να γεννήθηκαν δύο περαστικοί που συναντάτε: α) τον ίδιο μήνα. β) το καλοκαίρι.

15. Να βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των ψηφίων ενός τυχαία επιλεγμένου διψήφιου αριθμού: α) να ισούται με πέντε. β) λιγότερο από πέντε.

16. Να βρείτε την πιθανότητα το γινόμενο των ψηφίων ενός τυχαία επιλεγμένου διψήφιου αριθμού: α) να ισούται με τρία. β) λιγότερο από τρεις.

17. Οι πιθανότητες να πιάσετε ένα ψάρι όταν δαγκώνετε είναι 0,2 και 0,3 για τους ψαράδες, αντίστοιχα. Ο καθένας είχε μια μπουκιά. Βρείτε την πιθανότητα ότι το συνολικό τους αλιεύμα θα είναι: α) ένα ψάρι. β) τουλάχιστον ένα ψάρι.

18. Ο αριθμός τηλεφώνου περιέχει 6 ψηφία. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των ψηφίων ενός τυχαία επιλεγμένου αριθμού: α) να ισούται με 2. β) λιγότερο από 2.

19. Βρείτε την πιθανότητα ότι με οκτώ τυχαία πατήματα των πλήκτρων της γραφομηχανής θα εκτυπωθεί η λέξη «άριστα». Το πληκτρολόγιο περιέχει 40 πλήκτρα.

20. Δύο σκακιστές παίζουν έναν αγώνα δύο αγώνων μεταξύ τους. Η πιθανότητα να κερδίσετε σε κάθε παιχνίδι πρώτα είναι 0,6. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει: α) μόνο ένα παιχνίδι; 2) τουλάχιστον ένα παιχνίδι.

21. Δύο σκοπευτές έριξαν ο καθένας από μία βολή σε στόχο με πιθανότητα p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Βρείτε την πιθανότητα: α) μόνο ενός χτυπήματος. β) τουλάχιστον ένα χτύπημα.

22. Οι πιθανότητες διέλευσης της ράβδου για δύο άλτες είναι p 1 = 0,8, p 2 = 0,7, αντίστοιχα. Να βρείτε την πιθανότητα ότι: α) μόνο ένα από αυτά θα φτάσει στο ύψος. β) τουλάχιστον ένα από αυτά θα φτάσει στο ύψος.

23. Ο αριθμός αυτοκινήτου αποτελείται από τέσσερα ψηφία. Βρείτε την πιθανότητα η πινακίδα ενός αυτοκινήτου που έρχεται να περιέχει: α) τρεις πεντάδες στη σειρά. β) τρία Α.

24. Στο σημείο έχουν σταλεί δύο ομάδες, οι οποίες μπορούν να καταφέρουν να την σβήσουν έγκαιρα με πιθανότητες p 1 = 0,9, p 2 = 0,8. Ποια είναι η πιθανότητα να σβήσετε μια φωτιά εάν: α) αρκεί μια εντολή; β) χρειάζονται και οι δύο εντολές.

25. Δύο αεροσκάφη το καθένα εκτοξεύουν ένα βλήμα σε στόχο με πιθανότητες χτυπήματος p 1 =0,8, p 2 =0,9. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπήσετε έναν στόχο: α) με δύο βλήματα. β) μόνο ένας πύραυλος.

26. Η συσκευή αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά μπλοκ A, B, C με πιθανότητες λειτουργίας χωρίς βλάβες P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Βρείτε την πιθανότητα λειτουργίας της συσκευής χωρίς βλάβες εάν αυτό απαιτεί τη λειτουργία του μπλοκ Α και τουλάχιστον ενός από τα μπλοκ Β, Γ.

27. Οι πιθανότητες εκπλήρωσης του μηνιαίου προγράμματος από δύο συνεργεία της επιχείρησης είναι ίσες με p 1 =0,9, p 2 =0,7. Υποθέτοντας ότι τα εργαστήρια λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, βρείτε τις πιθανότητες ότι: α) μόνο ένα συνεργείο θα εκπληρώσει το σχέδιο. β) τουλάχιστον ένα συνεργείο θα εκπληρώσει το σχέδιο.

28. Ένα τμήμα ενός ηλεκτρικού κυκλώματος αποτελείται από στοιχεία Α και Β συνδεδεμένα σε σειρά με πιθανότητες αστοχίας p 1 = 0,1, p 2 = 0,2. Το στοιχείο Β αντιγράφεται με τη βοήθεια του στοιχείου C που είναι συνδεδεμένο παράλληλα με αυτό (p 3 = 0,2). Βρείτε την πιθανότητα λειτουργίας του τμήματος χωρίς αστοχία: α) απουσία στοιχείου C; β) εάν είναι διαθέσιμο.

29. Δύο όπλα εκτοξεύουν ένα βλήμα σε στόχο με πιθανότητες χτυπήματος p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος να χτυπήσει: α) μόνο ένα βλήμα. β) τουλάχιστον ένα βλήμα.

30. Οι ασθένειες Α και Β έχουν τα ίδια συμπτώματα που εντοπίζονται στον ασθενή. Οι πιθανότητες εμφάνισης ασθενειών είναι ίσες με P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. Υποθέτοντας ότι ένα άτομο μπορεί να αποκτήσει ασθένειες ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, βρείτε την πιθανότητα ο ασθενής να είναι άρρωστος: α) μόνο μία από τις ασθένειες. β) τουλάχιστον μία ασθένεια.

Εργασία 7.2.

1. Το 70% του ίδιου τύπου σίδερων που διατίθενται προς πώληση κατασκευάζονται στην επιχείρηση Α, το 30% - στην επιχείρηση Β. Το ποσοστό των ελαττωμάτων στην επιχείρηση Α είναι 5%, στην επιχείρηση Β - 2%. α) Βρείτε την πιθανότητα να αγοράσετε ένα ελαττωματικό σίδερο. β) το σίδερο που αγοράστηκε αποδείχθηκε ελαττωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα να κατασκευάστηκε στο εργοστάσιο Α;

2. Υπάρχουν 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες στην λάρνακα. Ένα από αυτά βγαίνει τυχαία και αφήνεται στην άκρη. Στη συνέχεια κληρώνεται η δεύτερη μπάλα. α) Βρείτε την πιθανότητα να είναι λευκός. β) η δεύτερη μπάλα που κληρώθηκε είναι λευκή. Ποια είναι η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να ήταν μαύρη;

3. Η συσκευή είναι εξοπλισμένη με μονάδα που κατασκευάζεται από τα εργοστάσια 1 (προμηθεύει το 60% των μονάδων), 2 (παρέχει το 40% των μονάδων). Το ποσοστό των ελαττωμάτων στο εργοστάσιο 1 είναι 0,05, στο εργοστάσιο 2 - 0,07. α) Βρείτε την πιθανότητα η συσκευή να είναι ελαττωματική. β) η συσκευή αποδείχθηκε ελαττωματική. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο ένοχος είναι το φυτό 1.

4. Κατά τη συναρμολόγηση ρουλεμάν χρησιμοποιούνται μπάλες, το 30% των οποίων προμηθεύεται από το συνεργείο 1 και το 70% από το συνεργείο 2. Το ποσοστό των ελαττωμάτων στα συνεργεία είναι 0,1 και 0,05, αντίστοιχα. α) Βρείτε την πιθανότητα να είναι ελαττωματικό. β) το ρουλεμάν αποδείχθηκε ελαττωματικό. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο ένοχος είναι το συνεργείο 1.

5. Δύο δοχεία περιέχουν 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. Μια μπάλα μεταφέρεται τυχαία από την πρώτη στη δεύτερη και στη συνέχεια μια μπάλα αφαιρείται από τη δεύτερη. α) Βρείτε την πιθανότητα να είναι λευκός. β) η μπάλα που αφαιρέθηκε είναι λευκή. Ποια είναι η πιθανότητα να μετακινήθηκε η μαύρη μπάλα;

6. Δύο συνεργεία παράγουν το 50% του ίδιου τύπου τηλεοράσεων που κυκλοφορούν. Το συνεργείο 1 παράγει το 5% των ελαττωματικών τηλεοράσεων, το συνεργείο 2 - 7%. α) Βρείτε την πιθανότητα να αγοράσετε μια ελαττωματική τηλεόραση. β) βρείτε την πιθανότητα ότι η τηλεόραση που αγοράσατε παρήχθη από το συνεργείο 1 εάν αποδεικνύεται ελαττωματική.

7. Ο ρυθμός βλάστησης (πιθανότητα βλάστησης) των σπόρων που ελήφθησαν στο σταθμό αναπαραγωγής 1 είναι 0,9, στο σταθμό 2 - 0,8. Ίσος αριθμός σπόρων και από τους δύο σταθμούς πωλούνται. α) Βρείτε τη βλαστική ικανότητα των αγορασθέντων σπόρων. β) Ο τυχαία επιλεγμένος σπόρος δεν φύτρωσε κατά τη σπορά. Ποια είναι η πιθανότητα να αναπτυχθεί στον σταθμό 1;

8. Δύο καταστήματα παρέχουν τον ίδιο αριθμό μπουλονιών για συναρμολόγηση. Το ποσοστό των ελαττωμάτων στο πρώτο συνεργείο είναι 0,1, στο δεύτερο - 0,2. α) Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα μπουλόνι που λαμβάνεται τυχαία για συναρμολόγηση είναι ελαττωματικό. β) το μπουλόνι αποδείχθηκε ελαττωματικό. Ποια είναι η πιθανότητα να φτιάχτηκε από το συνεργείο 2;

9. Η λανθάνουσα περίοδος της νόσου μπορεί να είναι μεγάλη στο 30% των περιπτώσεων και σύντομη στο 70% των περιπτώσεων. Οι πιθανότητες ανάκαμψης είναι 0,9 για μεγάλες περιόδους και 0,6 για μικρές περιόδους. α) Βρείτε την πιθανότητα ανάρρωσης για έναν τυχαία επιλεγμένο ασθενή. β) βρείτε την πιθανότητα ότι η λανθάνουσα περίοδος ήταν μεγάλη εάν ο ασθενής ανάρρωνε.

10. Σύμφωνα με στατιστικά στοιχεία, μεταξύ των μοσχαριών που αρρωσταίνουν κατά τη διάρκεια του έτους, το 20% αρρωσταίνει τη ζεστή εποχή και το 80% την κρύα εποχή. Η πιθανότητα ανάκαμψης ενός μοσχαριού που αρρώστησε τη ζεστή εποχή είναι 0,9, στην κρύα εποχή - 0,8. α) Βρείτε την πιθανότητα ανάρρωσης για έναν τυχαία επιλεγμένο ασθενή. β) βρείτε την πιθανότητα ότι το μοσχάρι αρρώστησε σε ζεστό καιρό, εάν αναρρώσει.

11. Η μονάδα είναι εξοπλισμένη με αντίσταση από ένα από τα τρία εργοστάσια που πραγματοποιούν το 60%, το 30% και το 20% των προμηθειών. Το ποσοστό των ελαττωμάτων μεταξύ των αντιστάσεων είναι 0,3 στη μονάδα 1, 0,2 στη μονάδα 2, 0,1 στη μονάδα 3. Α) Βρείτε την πιθανότητα ελαττωμάτων του παραγόμενου μπλοκ. β) βρείτε την πιθανότητα η ελαττωματική μονάδα να είναι εξοπλισμένη με αντίσταση από το εργοστάσιο 1.

12. Στο στάδιο της κρίσης, η ασθένεια μπορεί να περάσει με ίση πιθανότητα σε παροδική (Γ) και υποτονική (Β) μορφή. Οι πιθανότητες ανάρρωσης είναι 0,95 για τη μορφή Γ και 0,8 για τη μορφή Β. α) Βρείτε την πιθανότητα ανάρρωσης για έναν τυχαία επιλεγμένο ασθενή. β) βρείτε την πιθανότητα η νόσος να έχει περάσει στη μορφή Γ εάν ο ασθενής έχει αναρρώσει.

13. Κατά την προσβολή αυτής της ασθένειας, εξίσου συχνά ανιχνεύονται οι μορφές Α και Β, που καθορίζουν την περαιτέρω πορεία της. Στην περίπτωση Α, ο ασθενής αναρρώνει μέσα σε ένα μήνα με πιθανότητα 0,8, στην περίπτωση Β - με πιθανότητα 0,6. α) Βρείτε την πιθανότητα ανάρρωσης σε ένα μήνα για έναν τυχαία επιλεγμένο ασθενή. β) βρείτε την πιθανότητα εμφάνισης της νόσου στη μορφή Α, εάν ο ασθενής ανάρρωσε μέσα σε ένα μήνα.

14. Η πιθανότητα η μηχανότρατα να εκπληρώσει το σχέδιο εάν το δεξαμενόπλοιο ανεφοδιασμού φτάσει στην ώρα του είναι 0,8 και εάν φτάσει άκαιρα - 0,4. Το δεξαμενόπλοιο φτάνει στην ώρα του στο 90% των περιπτώσεων. α) Βρείτε την πιθανότητα η μηχανότρατα να εκτελέσει το σχέδιο. β) να υπολογίσετε την πιθανότητα έγκαιρου ανεφοδιασμού εάν είναι γνωστό ότι η μηχανότρατα ακολούθησε το σχέδιο.

15. Το καλοκαίρι μπορεί να είναι ξηρό το 20% του χρόνου, υπερβολικά υγρό το 30% του χρόνου και φυσιολογικό το υπόλοιπο. Οι πιθανότητες ωρίμανσης της καλλιέργειας είναι 0,7, 0,6 και 0,9, αντίστοιχα. α) Βρείτε την πιθανότητα ωρίμανσης της καλλιέργειας σε ένα τυχαία επιλεγμένο έτος. β) βρείτε την πιθανότητα ότι το καλοκαίρι ήταν ξηρό αν οι καλλιέργειες ήταν ώριμες.

16. Στην περιοχή αυτή εντοπίζονται μόνο ασθένειες Α και Β, τα συμπτώματα των οποίων είναι εξωτερικά δυσδιάκριτα. Μεταξύ των ασθενών, το Α εμφανίζεται στο 30% των περιπτώσεων, το Β - στο 70%. Οι πιθανότητες ανάρρωσης από ασθένειες είναι 0,6 και 0,3, αντίστοιχα. α) βρείτε την πιθανότητα να αναρρώσει ένας τυχαία επιλεγμένος ασθενής. β) ποια είναι η πιθανότητα ο αναρρωμένος να είχε νόσο Α;

17. Ένα αντικείμενο μπορεί να τεθεί σε λειτουργία εγκαίρως με προγραμματισμένη παράδοση εξοπλισμού με πιθανότητα 0,9 και με καθυστέρηση παράδοσης - με πιθανότητα 0,6. Κατά μέσο όρο, οι προγραμματισμένες παραδόσεις παρατηρήθηκαν στο 80% των παραγγελιών, οι καθυστερημένες παραδόσεις - στο 20%. α) Ποια είναι η πιθανότητα να παραδοθεί έγκαιρα το έργο; β) βρείτε την πιθανότητα έγκαιρης παράδοσης εάν είναι γνωστό ότι το αντικείμενο παραδόθηκε έγκαιρα.

18. Μια πυρηνική αντίδραση μπορεί να παράγει σωματίδια τύπου Α στο 70% των περιπτώσεων και σωματίδια τύπου Β στο 30% των περιπτώσεων. Τα σωματίδια Α καταγράφονται από τη συσκευή με πιθανότητα 0,8, τα σωματίδια Β - με πιθανότητα 1. α) Βρείτε την πιθανότητα εγγραφής ενός σωματιδίου στο επερχόμενο πείραμα. β) Η συσκευή σημείωσε την εμφάνιση ενός σωματιδίου. Πόσο πιθανό είναι να ανήκε στον τύπο Β;

19. Μεταξύ των παιδιών που γεννήθηκαν το πρώτο εξάμηνο του έτους, το μέσο βάρος υπερβαίνει το 60% των νεογνών, το δεύτερο εξάμηνο του έτους - 30%. Υποθέτοντας ότι το ποσοστό γεννήσεων και στα δύο εξάμηνα είναι το ίδιο, βρείτε: α) την πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο παιδί να είναι υπέρβαρο. β) την πιθανότητα να αποκτήσει παιδί το πρώτο εξάμηνο, εάν είναι υπέρβαρο.

20. Ένα ηλεκτρόνιο που εκπέμπεται από την κάθοδο μπορεί να είναι «γρήγορο» με πιθανότητα 0,7 και «αργό» με πιθανότητα 0,3. Η πιθανότητα «γρήγορων» ηλεκτρονίων να χτυπήσουν τον στόχο είναι 0,9, «αργή» - 0,4. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) το ηλεκτρόνιο θα χτυπήσει τον στόχο. β) το ηλεκτρόνιο ήταν «αργό» αν έφτανε στον στόχο.

21. Μια αλεπού που κυνηγά έναν γκρίζο λαγό τον προλαβαίνει στο 30% των περιπτώσεων, ένας λευκός λαγός - στο 20% των περιπτώσεων. Και οι δύο τύποι λαγών βρίσκονται στο δάσος με την ίδια συχνότητα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια αλεπού να πιάσει έναν λαγό που συναντήθηκε τυχαία; β) βρείτε την πιθανότητα ότι ο λαγός που προσπεράστηκε ήταν γκρίζος.

22. Η πιθανότητα να καθυστερήσει ένα αεροπλάνο υπό δυσμενείς συνθήκες (κακές καιρικές συνθήκες, τεχνικοί λόγοι) είναι 0,6 και υπό ευνοϊκές συνθήκες - 0,1. Δυσμενείς συνθήκες παρατηρήθηκαν στο 20% των πτήσεων, ευνοϊκές - στο 80%. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) το αεροπλάνο θα αργήσει στην επόμενη πτήση. β) η καθυστέρηση συνοδεύτηκε από δυσμενείς συνθήκες.

23. Προϊόντα του ίδιου τύπου κυκλοφορούν από τα εργοστάσια 1 και 2, προμηθεύοντας το 60% και το 40% των προϊόντων. Το ποσοστό των ελαττωμάτων στο εργοστάσιο 1 είναι 0,05, στο εργοστάσιο 2 - 0,07. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) το αγορασμένο προϊόν θα είναι ελαττωματικό. β) το ελαττωματικό προϊόν παρήχθη από το εργοστάσιο 2.

24. Δύο παρτίδες περιέχουν τον ίδιο αριθμό εξαρτημάτων του ίδιου τύπου και έχουν ποσοστά ελαττωμάτων (πιθανότητες ελαττωματικών εξαρτημάτων) ίσα με 0,1 και 0,2, αντίστοιχα. Μία από τις παρτίδες επιλέγεται τυχαία από την οποία αφαιρείται το τμήμα. α) Να βρείτε την πιθανότητα να είναι ελαττωματικό. β) Να βρείτε την πιθανότητα ότι το εξάρτημα που αποδείχθηκε ελαττωματικό ανήκε στην πρώτη παρτίδα.

25. Η πιθανότητα να χτυπήσει ένα στόχο από ένα βομβαρδιστικό με καθαρό καιρό είναι 0,9, σε κακές καιρικές συνθήκες - 0,7. Αίθριος καιρός την 1η Ιουνίου παρατηρήθηκε στο 60% των περιπτώσεων, κακοκαιρία - στο 40%. Βρείτε την πιθανότητα ότι την 1η Ιουνίου: α) ο στόχος θα χτυπηθεί. β) ο καιρός ήταν καθαρός αν είναι γνωστό ότι ο στόχος χτυπήθηκε.

26. Δύο σκακιστές Α και Β παίζουν ένα παιχνίδι. Η πιθανότητα να κερδίσει ο Α αν έχει λευκά κομμάτια είναι 0,7, αν έχει μαύρα - 0,4. Το χρώμα των κομματιών καθορίζεται πριν από το παιχνίδι με κλήρωση. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) ο σκακιστής Α θα κερδίσει. β) Ο Α έπαιξε με μαύρα κομμάτια, αν είναι γνωστό ότι κέρδισε.

27. Η πιθανότητα έγκαιρης άφιξης του πλοίου εάν ο κινητήρας λειτουργεί χωρίς βλάβη είναι 0,8 και εάν χαλάσει - 0,1. Ο κινητήρας προηγουμένως λειτουργούσε χωρίς βλάβη στο 90% των ταξιδιών του σκάφους. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) το πλοίο δεν θα αργήσει στο επόμενο ταξίδι του. β) βλάβη κινητήρα, εάν είναι γνωστό ότι το πλοίο καθυστέρησε.

28. Η συσκευή μπορεί να λειτουργήσει στο 30% των περιπτώσεων σε δύσκολες συνθήκες, όπου αποτυγχάνει με πιθανότητα 0,3, και στο 70% των περιπτώσεων σε ευνοϊκές συνθήκες, όπου αστοχεί με πιθανότητα 0,1. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) η συσκευή θα αποτύχει. β) η συσκευή που απέτυχε λειτουργούσε σε δυσμενείς συνθήκες.

29. Από ένα δοχείο που περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες, βγαίνουν 2 μπάλες με τη σειρά. Το χρώμα του πρώτου είναι άγνωστο. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) η δεύτερη μπάλα θα είναι λευκή. β) η πρώτη μπάλα ήταν μαύρη αν η δεύτερη αποδεικνυόταν άσπρη.

30. Δύο συνεργεία παρέχουν τον ίδιο τύπο εξαρτημάτων για τη συναρμολόγηση του προϊόντος. Το πρώτο από αυτά παρέχει το 60% όλων των κόμβων, το δεύτερο - 40%. Η πιθανότητα μια μονάδα να είναι ελαττωματική είναι 0,2 για το συνεργείο 1 και 0,3 για το συνεργείο 2. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) μια τυχαία επιλεγμένη μονάδα θα είναι ελαττωματική. β) η ελαττωματική μονάδα προήλθε από το συνεργείο 1.

Εργασία 7.3.

Κατασκευάστε μια σειρά διανομής, μια συνάρτηση κατανομής και τη γραφική παράσταση της, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των εμφανίσεων ενός τυχαίου γεγονότος Α στη σειρά ανεξάρτητων δοκιμών που αναφέρονται παρακάτω.

1. Το κέρμα πετιέται 4 φορές. A - απώλεια του εθνόσημου κατά τη διάρκεια μιας ρίψης, P(A)=0,5.

2. Ο σκοπευτής πυροβολεί στον στόχο 3 φορές. Α - χτύπημα με μία βολή, Ρ(Α)=0,6.

3. Ο ψαράς ρίχνει το καλάμι του τρεις φορές. A - δάγκωμα κατά τη διάρκεια ενός γύψου, P(A) = 0,3.

4. Από ένα δοχείο που περιέχει 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες, σύρεται τυχαία μια μπάλα (αν είναι άσπρη, τότε έχει συμβεί το Α), η οποία στη συνέχεια επιστρέφεται στην τεφροδόχο. Το πείραμα επαναλαμβάνεται 3 φορές.

5. Σπέρνονται 3 κολοκυθόσποροι. Η βλάστηση (πιθανότητα βλάστησης Α ενός σπόρου) ισούται με P(A) = 0,8.

6. Ένα στοιχειώδες σωματίδιο μπορεί να καταχωρηθεί από μια συσκευή (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,7. Τρία σωματίδια πετούν εναλλάξ μπροστά από τη συσκευή.

7. Το Α είναι ένα γεγονός που συμβαίνει όταν το πρώτο ψηφίο της πινακίδας ενός αυτοκινήτου που έρχεται είναι μηδέν. Δύο αυτοκίνητα περνούν ένα-ένα.

8. A - βλάβη του ηλεκτρικού εξοπλισμού του οχήματος κατά τη διάρκεια του έτους, P(A)=0,3. Τρία οχήματα εξετάζονται.

9. Το Α είναι ένα γεγονός που αποτελείται από έναν αθλητή που καταρρίπτει ένα παγκόσμιο ρεκόρ, P(A)=0,2. Στους αγώνες συμμετέχουν τρεις αθλητές.

10. Το όπλο εκτοξεύει τρεις οβίδες στον στόχο. Α - χτύπημα βλήματος, Ρ(Α)=0,8.

11. Ένα βιβλίο που λαμβάνεται τυχαία από ένα ράφι μπορεί να αποδειχθεί σχολικό βιβλίο (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,4. Τρία βιβλία αφαιρούνται.

12. Ένα ποζιτρόνιο κατά τη γέννηση μπορεί να αποκτήσει δεξιό (γεγονός Α) ή αριστερό προσανατολισμό περιστροφής, P(A) = 0,6. Θεωρούνται 3 ποζιτρόνια.

13. Η παρουσία μπλε αργίλου υποδηλώνει την πιθανότητα εναποθέσεως διαμαντιού (γεγονός Α) με πιθανότητα Ρ(Α)=0,4. Σε τρεις περιοχές βρέθηκε μπλε πηλός.

14. Κατά την περίοδο της ανθοφορίας ένα φυτό μπορεί να επικονιαστεί (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,8. Εξετάζονται 4 φυτά.

15. Ένας ψαράς μπορεί να πιάσει ένα ψάρι όταν δαγκώνει (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,4. Ο ψαράς είχε τρεις μπουκιές.

16. Μια πυρηνική αντίδραση μπορεί να παράγει συντονισμένο σωματίδιο (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,2. Θεωρούνται τρεις αντιδράσεις.

17. Δενδρύλλιο τοποθετημένο στο έδαφος μπορεί να γίνει δεκτό (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,7. Φυτεύτηκαν τρία σπορόφυτα.

18. Μια γεννήτρια σταθμού ηλεκτροπαραγωγής μπορεί να αποτύχει εντός ενός έτους (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,2. Θεωρείται τριετής περίοδος λειτουργίας της γεννήτριας.

19. Κατά τη διάρκεια της ημέρας το γάλα στην κατσαρόλα μπορεί να ξινίσει (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,4. Εξετάζεται η περίπτωση τριών δοχείων.

20. Σε φωτογραφία που τραβήχτηκε σε θάλαμο νέφους, καταγράφεται ένα σωματίδιο στο πείραμα (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A) = 0,5. Πραγματοποιήθηκαν 4 πειράματα.

21. Α - η εμφάνιση ζυγού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ζαριού. Η μήτρα τυλίγεται 4 φορές.

22. Τρία πυροβόλα πυροβολούν στους στόχους τους, Α - το βλήμα χτυπά τον στόχο, Ρ(Α) = 0,7.

23. Όταν ένας ψαράς δαγκώνει, μπορεί να βγάλει ένα ψάρι (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,6. Το δάγκωμα σημειώθηκε μεταξύ 4 ψαράδων.

24. Η διαρροή του ρότορα του ηλεκτροκινητήρα οδηγεί σε αστοχία του με πιθανότητα P(A)=0,8. Θεωρούνται τρεις κινητήρες του ίδιου τύπου.

25. Κατά την κατασκευή ενός εξαρτήματος μπορεί να αποδειχθεί ελαττωματικό (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,2. Κατασκευάστηκαν τρία μέρη.

26. Το μηχάνημα λειτουργεί χωρίς βλάβη για ένα έτος (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,8. Στο συνεργείο υπάρχουν 4 μηχανήματα.

27. Α - η εμφάνιση περιττού αριθμού πόντων κατά τη ρίψη ζαριών. Η μήτρα τυλίγεται 4 φορές.

28. Το τρένο μπορεί να φτάσει στο πρόγραμμα (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,9. Τρεις πτήσεις εξετάζονται.

29. Κατά μέσο όρο, όταν πληκτρολογείτε μια σελίδα κειμένου, ο χειριστής κάνει ένα σφάλμα (συμβάν Α) στο 30% των περιπτώσεων. Το άρθρο περιέχει 4 σελίδες κειμένου.

30. Ένα αναγνωριστικό αεροσκάφος μπορεί να ανιχνεύσει στόχο (γεγονός Α) με πιθανότητα P(A)=0,8. Τρία αεροσκάφη στάλθηκαν για τον εντοπισμό του στόχου.

Εργασία 7.4.

Με δεδομένη τη συνάρτηση κατανομής F(x) της τυχαίας μεταβλητής SV X, βρείτε την πυκνότητα κατανομής και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της. Υπολογίστε την πιθανότητα P( ένα≤X≤ σι) εάν η τιμή SV εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα, μαθηματική προσδοκία και διασπορά.

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Εργασία 7.5.

Βρείτε την πιθανότητα να πέσετε σε ένα δεδομένο διάστημα [ α, β] τιμές μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής Χ, αν είναι γνωστή η μαθηματική του προσδοκία Μ[Χ] και διακύμανση ρε[Χ].

Ας απαιτείται να βρεθεί με ακρίβεια μέχρι (με μειονέκτημα). Ας κανονίσουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

Βρίσκουμε πρώτα την κατά προσέγγιση ρίζα, με ακρίβεια 1, μόνο από τον ακέραιο αριθμό 2. Παίρνουμε 1 (και το υπόλοιπο είναι 1). Γράφουμε τον αριθμό 1 στη ρίζα και μετά βάζουμε κόμμα. Τώρα βρίσκουμε τον αριθμό των δέκατων. Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε στο υπόλοιπο 1 τους αριθμούς 3 και 5, που βρίσκονται στα δεξιά της υποδιαστολής, και συνεχίζουμε την εξαγωγή σαν να εξάγαμε τη ρίζα του ακέραιου αριθμού 235. Γράφουμε τον αριθμό 5 που προκύπτει στη ρίζα στη θέση των δέκατων. Δεν χρειαζόμαστε τα υπόλοιπα ψηφία του ριζικού αριθμού (104). Το ότι ο αριθμός 1.5 που θα προκύψει θα είναι στην πραγματικότητα μια κατά προσέγγιση ρίζα εντός , φαίνεται από τα παρακάτω. αν βρίσκαμε τη μεγαλύτερη ακέραια ρίζα του 235 με ακρίβεια 1, θα παίρναμε 15, που σημαίνει

Διαιρώντας κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς με το 100, παίρνουμε:

(Προσθέτοντας τον αριθμό 0,00104, το διπλό πρόσημο ≤ θα πρέπει προφανώς να αλλάξει στο πρόσημο<, а знак >παραμένει (από 0,00104< 0,01).)

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε ένα κατά προσέγγιση με μειονέκτημα, μέχρι μια ακρίβεια. Ας βρούμε τον ακέραιο αριθμό, μετά τον αριθμό των δέκατων και μετά τον αριθμό των εκατοστών. Η ρίζα ενός ακέραιου είναι 15 ακέραιοι. Για να πάρουμε το δέκατο ψηφίο, πρέπει, όπως είδαμε, να προσθέσουμε δύο ακόμη ψηφία στο υπόλοιπο 23, στα δεξιά της υποδιαστολής:

Στο παράδειγμά μας, αυτοί οι αριθμοί δεν υπάρχουν καθόλου. βάλε μηδενικά στη θέση τους. Προσθέτοντάς τα στο υπόλοιπο και συνεχίζοντας σαν να βρίσκαμε τη ρίζα του ακέραιου αριθμού 24800, θα βρούμε τα δέκατα το σχήμα 7. Μένει να βρούμε το σχήμα των εκατοστών. Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε άλλα δύο μηδενικά στο υπόλοιπο 151 και συνεχίζουμε την εξαγωγή, σαν να βρίσκαμε τη ρίζα του ακέραιου αριθμού 2480000. Παίρνουμε 15,74. Το ότι αυτός ο αριθμός είναι πραγματικά μια κατά προσέγγιση ρίζα του 248 με ακρίβεια έως και μειονέκτημα φαίνεται από τα παρακάτω. Αν βρίσκαμε τη μεγαλύτερη ακέραια τετραγωνική ρίζα του ακέραιου αριθμού 2480000, θα παίρναμε 1574, που σημαίνει

Διαιρώντας κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς με το 10000 (1002), παίρνουμε:

15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.

Αυτό σημαίνει ότι το 15,74 είναι εκείνο το δεκαδικό κλάσμα που ονομάσαμε κατά προσέγγιση ρίζα με μειονέκτημα με ακρίβεια έως και 248.

Κανόνας. Για να εξαγάγετε από έναν δεδομένο ακέραιο ή από ένα δεδομένο δεκαδικό κλάσμα μια κατά προσέγγιση ρίζα με έλλειμμα με ακρίβεια της ρίζας έχει 0 ακέραιους).

Στη συνέχεια βρίσκουν τον αριθμό των δέκατων. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε δύο ψηφία του κατακτημένου αριθμού στα δεξιά της υποδιαστολής στο υπόλοιπο (αν δεν υπάρχουν, προσθέστε δύο μηδενικά στο υπόλοιπο) και συνεχίστε την εξαγωγή όπως γίνεται κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ακέραιου αριθμού. Ο αριθμός που προκύπτει γράφεται στη ρίζα στη θέση των δέκατων.

Στη συνέχεια βρείτε τον αριθμό των εκατοστών. Για να γίνει αυτό, δύο αριθμοί στα δεξιά από αυτούς που μόλις αφαιρέθηκαν προστίθενται στο υπόλοιπο κ.λπ.

Έτσι, κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ακέραιου με δεκαδικό κλάσμα ο αριθμός πρέπει να χωριστεί σε ακμές με δύο ψηφία η καθεμία, ξεκινώντας από την υποδιαστολή, τόσο προς τα αριστερά (στο ακέραιο μέρος του αριθμού) όσο και προς τα δεξιά (στο κλασματικό μέρος).

Παραδείγματα.

Στο τελευταίο παράδειγμα, μετατρέψαμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό υπολογίζοντας οκτώ δεκαδικά ψηφία για να δημιουργήσουμε τις τέσσερις όψεις που απαιτούνται για να βρούμε τα τέσσερα δεκαδικά ψηφία της ρίζας.

Walter A. Aue / flickr.com

Αμερικανοί φυσικοί διευκρίνισαν τη διάσταση του χωροχρόνου συγκρίνοντας την απόσταση από την πηγή, που υπολογίζεται από την εξασθένηση των βαρυτικών κυμάτων και από την κόκκινη μετατόπιση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Οι επιστήμονες έκαναν τέτοιους υπολογισμούς για το συμβάν GW170817 και βρήκαν ότι η διάσταση του χωροχρόνου μας είναι περίπου ίση με ρε≈ 4,0 ± 0,1. Επιπλέον, έθεσαν ένα χαμηλότερο όριο στη διάρκεια ζωής του γκραβιτόν, που ήταν περίπου 450 εκατομμύρια χρόνια. Μια προεκτύπωση του άρθρου δημοσιεύεται στο arXiv.org.

Ενημερώθηκε: τον Ιούλιο του 2018, το άρθρο ήτανδημοσίευσε στο Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.

Η Γενική Σχετικότητα και το Καθιερωμένο Μοντέλο βασίζονται στην υπόθεση ότι ζούμε σε τετραδιάστατο χωροχρόνο. Πιο συγκεκριμένα, σε (3+1)-διάσταση: 3 χωρικές διαστάσεις και μία χρονική διάσταση. Από την άλλη πλευρά, οι επιστήμονες τείνουν να αμφιβάλλουν για τις πιο βασικές δηλώσεις. Ίσως η διάσταση του χωροχρόνου μας να μην είναι ακριβώς ίση με τέσσερα, αλλά πολύ κοντά σε αυτήν την τιμή; Στην πραγματικότητα, υπάρχουν θεωρίες στις οποίες ο χωροχρόνος μας είναι ενσωματωμένος σε χώρους με μεγαλύτερες διαστάσεις. Επομένως, μιλώντας γενικά, η τετραδιάσταση του κόσμου μας πρέπει να αποδειχθεί και όχι να θεωρείται δεδομένη.

Μια ομάδα φυσικών με επικεφαλής τον Ντέιβιντ Σπέργκελ έχει καθορίσει ακριβή όρια στη διάσταση του χωροχρόνου μας, αναλύοντας τα σχεδόν ταυτόχρονα φθίνοντα βαρυτικά και ηλεκτρομαγνητικά κύματα στη Γη, που εκπέμπονται κατά τη συγχώνευση δύο άστρων νετρονίων. Από τη μία πλευρά, η απόσταση από την πηγή κύματος μπορεί να προσδιοριστεί από την ηλεκτρομαγνητική συνιστώσα. Από την άλλη πλευρά, μπορεί να υπολογιστεί από την εξασθένηση των βαρυτικών κυμάτων. Προφανώς, και οι δύο αυτές αποστάσεις πρέπει να συμπίπτουν, γεγονός που επιβάλλει περιορισμούς στη διαφορά μεταξύ του ρυθμού διάσπασης και του ρυθμού που προβλέπεται από τη γενική σχετικότητα. Αξίζει να σημειωθεί ότι ένα επιπλέον σφάλμα στην απόσταση που προσδιορίζεται από την ερυθρή μετατόπιση εισάγεται από το γεγονός ότι οι τιμές της σταθεράς Hubble, που μετρώνται από την ταχύτητα υποχώρησης των γαλαξιών και από τις διακυμάνσεις της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου μικροκυμάτων, είναι με ο ένας τον άλλον. Σε αυτό το άρθρο, για κάθε ενδεχόμενο, οι επιστήμονες πραγματοποίησαν υπολογισμούς και για τις δύο τιμές, αλλά το σφάλμα στα πειραματικά δεδομένα εξακολουθούσε να αντισταθμίζει αυτήν τη διαφορά.

Στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, η ένταση των βαρυτικών κυμάτων μειώνεται σε αντίστροφη αναλογία με την πρώτη δύναμη της απόστασης από την πηγή: η ~ 1/r. Ωστόσο, σε θεωρίες με περισσότερες διαστάσεις, αυτός ο νόμος τροποποιείται και η διάσπαση συμβαίνει πιο γρήγορα: η ~ 1/rγ, όπου γ = ( ρε− 2)/2, και ρε- αριθμός μετρήσεων. Αποδεικνύεται ότι η ενέργεια του κύματος φαίνεται να «διαρρέει» σε πρόσθετες διαστάσεις. Υπολογίζοντας την «ηλεκτρομαγνητική» και «βαρυτική» απόσταση από τα αστέρια νετρονίων, οι φυσικοί προσδιόρισαν ότι ο βαθμός εξάρτησης γ ≈ 1,00 ± 0,03, δηλαδή η διάσταση του διαστήματος μας ρε≈ 4,0 ± 0,1.

Κατανομή πιθανοτήτων στην οποία ζούμε ρε-διαστατικός χώρος. Γραμμές διαφορετικών χρωμάτων αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές της σταθεράς Hubble που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς

Από την άλλη πλευρά, σε έναν άλλο τύπο εναλλακτικών θεωριών, η βαρύτητα ελέγχεται - σε μικρές αποστάσεις συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην τετραδιάστατη θεωρία και σε μεγάλες αποστάσεις μοιάζει με ρε-διαστατικός. Λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς του συμβάντος GW170817, οι φυσικοί προσδιόρισαν την ελάχιστη ακτίνα διαλογής τέτοιων θεωριών - ήταν περίπου είκοσι megaparsec. Σε αυτή την περίπτωση, η πηγή των κυμάτων βρίσκεται στον γαλαξία NGC 4993 σε απόσταση περίπου σαράντα megaparsecs.

Τέλος, μπορεί να προκύψει πρόσθετη εξασθένηση των βαρυτικών κυμάτων επειδή τα γκραβιτόνια είναι ασταθή σωματίδια και διασπώνται κατά τη διάρκεια του ταξιδιού τους από την πηγή στον ανιχνευτή. Με βάση αυτή την υπόθεση, οι φυσικοί έχουν υπολογίσει ένα χαμηλότερο όριο στη διάρκεια ζωής του βαρυτονίου. Αποδείχθηκε ότι δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 4,5 × 10 8 χρόνια.

Η ταυτόχρονη ανίχνευση βαρυτικών και ηλεκτρομαγνητικών στοιχείων είχε μεγάλη επίδραση στις εναλλακτικές θεωρίες της βαρύτητας. Για παράδειγμα, στα τέλη Δεκεμβρίου πέρυσι στο Επιστολές Φυσικής ΑνασκόπησηςΤαυτόχρονα, δημοσιεύτηκαν τέσσερα άρθρα αφιερωμένα στο συμβάν GW170817 και στους περιορισμούς σε διάφορες κβαντικές θεωρίες της βαρύτητας. Επιπλέον, αυτό το γεγονός επιβάλλει πολύ αυστηρούς περιορισμούς στην ταχύτητα της βαρύτητας - τώρα ο λόγος της ταχύτητας της βαρύτητας προς την ταχύτητα του φωτός μπορεί να διαφέρει από τη μονάδα όχι περισσότερο από 3 × 10 −15.

Ντμίτρι Τρούνιν