Pse rrënja e 3 është një numër irracional? Më pëlqen matematika

Të kuptuarit e numrave, veçanërisht numrave natyrorë, është një nga "aftësitë" më të vjetra matematikore. Shumë qytetërime, madje edhe ato moderne, i kanë atribuar disa veçori mistike numrave për shkak të rëndësisë së tyre të madhe në përshkrimin e natyrës. Megjithëse shkenca dhe matematika moderne nuk i konfirmojnë këto veti "magjike", rëndësia e teorisë së numrave është e pamohueshme.

Historikisht, së pari u shfaqën një sërë numrash natyrorë, më pas atyre u shtuan mjaft shpejt thyesat dhe numrat irracionalë pozitivë. Numrat zero dhe negativë u prezantuan pas këtyre nëngrupeve të bashkësisë së numrave realë. Grupi i fundit, grupi i numrave kompleksë, u shfaq vetëm me zhvillimin e shkencës moderne.

Në matematikën moderne, numrat nuk futen sipas rendit historik, megjithëse mjaft afër tij.

Numrat natyrorë $\mathbb(N)$

Bashkësia e numrave natyrorë shpesh shënohet si $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, dhe shpesh është e mbushur me zero për të treguar $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ përcakton operacionet e mbledhjes (+) dhe shumëzimit ($\cdot$) me vetitë e mëposhtme për çdo $a,b,c\në \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ grupi $\mathbb(N)$ është i mbyllur nën veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativiteti
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativiteti
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ shpërndarja
5. $a\cdot 1=a$ është një element neutral për shumëzim

Meqenëse bashkësia $\mathbb(N)$ përmban një element neutral për shumëzim, por jo për mbledhje, shtimi i një zero në këtë grup siguron që ai të përfshijë një element neutral për mbledhje.

Përveç këtyre dy operacioneve, marrëdhëniet "më pak se" ($

1. trikotomia $a b$
2. nëse $a\leq b$ dhe $b\leq a$, atëherë antisimetria $a=b$
3. nëse $a\leq b$ dhe $b\leq c$, atëherë $a\leq c$ është kalimtare
4. nëse $a\leq b$ atëherë $a+c\leq b+c$
5. nëse $a\leq b$ atëherë $a\cdot c\leq b\cdot c$

Numrat e plotë $\mathbb(Z)$

Shembuj të numrave të plotë:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Zgjidhja e ekuacionit $a+x=b$, ku $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë të njohur, dhe $x$ është një numër natyror i panjohur, kërkon prezantimin e një veprimi të ri - zbritja(-). Nëse ka një numër natyror $x$ që plotëson këtë ekuacion, atëherë $x=b-a$. Megjithatë, ky ekuacion i veçantë nuk ka domosdoshmërisht një zgjidhje në bashkësinë $\mathbb(N)$, kështu që konsideratat praktike kërkojnë zgjerimin e grupit të numrave natyrorë për të përfshirë zgjidhjet e një ekuacioni të tillë. Kjo çon në prezantimin e një grupi numrash të plotë: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Meqenëse $\mathbb(N)\nënbashkësia \mathbb(Z)$, është logjike të supozohet se operacionet e prezantuara më parë $+$ dhe $\cdot$ dhe marrëdhëniet $ 1. $0+a=a+0=a$ ka një element neutral për shtim
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ ka një numër të kundërt $-a$ për $a$

Prona 5.:
5. nëse $0\leq a$ dhe $0\leq b$, atëherë $0\leq a\cdot b$

Kompleti $\mathbb(Z)$ është gjithashtu i mbyllur nën veprimin e zbritjes, domethënë $(\përgjithësisht a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Numrat racional $\mathbb(Q)$

Shembuj të numrave racionalë:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Tani merrni parasysh ekuacionet e formës $a\cdot x=b$, ku $a$ dhe $b$ janë numra të plotë të njohur, dhe $x$ është një e panjohur. Që zgjidhja të jetë e mundur, është e nevojshme të prezantohet operacioni i ndarjes ($:$), dhe zgjidhja merr formën $x=b:a$, domethënë $x=\frac(b)(a)$ . Përsëri lind problemi që $x$ nuk i përket gjithmonë $\mathbb(Z)$, kështu që grupi i numrave të plotë duhet të zgjerohet. Kjo prezanton grupin e numrave racional $\mathbb(Q)$ me elementet $\frac(p)(q)$, ku $p\in \mathbb(Z)$ dhe $q\in \mathbb(N)$. Bashkësia $\mathbb(Z)$ është një nënbashkësi në të cilën çdo element $q=1$, prandaj $\mathbb(Z)\nënbashkësia \mathbb(Q)$ dhe veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit shtrihen në këtë grup sipas rregullat e mëposhtme, të cilat ruajnë të gjitha vetitë e mësipërme në grupin $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Ndarja paraqitet si më poshtë:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Në grupin $\mathbb(Q)$, ekuacioni $a\cdot x=b$ ka një zgjidhje unike për çdo $a\neq 0$ (pjestimi me zero është i papërcaktuar). Kjo do të thotë se ekziston një element i anasjelltë $\frac(1)(a)$ ose $a^(-1)$:
$(\përgjithësisht a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\ekziston \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Rendi i grupit $\mathbb(Q)$ mund të zgjerohet si më poshtë:
$\frac(p_1)(q_1)

Bashkësia $\mathbb(Q)$ ka një veti të rëndësishme: midis çdo dy numrash racionalë ka pafundësisht shumë numra të tjerë racionalë, prandaj, nuk ka dy numra racionalë fqinjë, ndryshe nga bashkësitë e numrave natyrorë dhe numrave të plotë.

Numrat iracional $\mathbb(I)$

Shembuj të numrave irracionalë:
$\sqrt(2) \përafërsisht 1,41422135...$
$\pi\ përafërsisht 3,1415926535...$

Meqenëse midis çdo dy numrash racionalë ka pafundësisht shumë numra të tjerë racionalë, është e lehtë të konkludohet gabimisht se grupi i numrave racionalë është aq i dendur sa nuk ka nevojë ta zgjerojmë më tej. Edhe Pitagora bëri një gabim të tillë në kohën e tij. Sidoqoftë, bashkëkohësit e tij tashmë e hodhën poshtë këtë përfundim kur studionin zgjidhjet e ekuacionit $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) në grupin e numrave racionalë. Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, është e nevojshme të prezantohet koncepti i rrënjës katrore, dhe më pas zgjidhja e këtij ekuacioni ka formën $x=\sqrt(2)$. Një ekuacion si $x^2=a$, ku $a$ është një numër racional i njohur dhe $x$ një i panjohur, nuk ka gjithmonë një zgjidhje për grupin e numrave racionalë dhe përsëri lind nevoja për të zgjeruar numrin vendosur. Ngrihet një grup numrash irracionalë dhe numra të tillë si $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... i përkasin këtij grupi.

Numrat real $\mathbb(R)$

Bashkimi i bashkësive të numrave racionalë dhe irracionalë është bashkësia e numrave realë. Meqenëse $\mathbb(Q)\nënbashkësia \mathbb(R)$, është përsëri logjike të supozohet se operacionet dhe marrëdhëniet aritmetike të prezantuara ruajnë vetitë e tyre në grupin e ri. Vërtetimi formal i kësaj është shumë i vështirë, kështu që vetitë e sipërpërmendura të veprimeve aritmetike dhe marrëdhënieve në bashkësinë e numrave realë prezantohen si aksioma. Në algjebër, një objekt i tillë quhet fushë, kështu që grupi i numrave realë thuhet se është një fushë e renditur.

Në mënyrë që përkufizimi i grupit të numrave realë të jetë i plotë, është e nevojshme të futet një aksiomë shtesë që dallon bashkësitë $\mathbb(Q)$ dhe $\mathbb(R)$. Supozoni se $S$ është një nëngrup jo bosh i grupit të numrave realë. Një element $b\in \mathbb(R)$ quhet kufiri i sipërm i një grupi $S$ nëse $\forall x\in S$ mban $x\leq b$. Atëherë themi se grupi $S$ është i kufizuar më lart. Kufiri i sipërm më i vogël i grupit $S$ quhet supremum dhe shënohet $\sup S$. Konceptet e kufirit të poshtëm, grupi i kufizuar më poshtë, dhe infinum $\inf S$ janë prezantuar në mënyrë të ngjashme. Tani aksioma që mungon formulohet si më poshtë:

Çdo nënbashkësi jo e zbrazët dhe me kufi të sipërm të bashkësisë së numrave realë ka një supremum.
Gjithashtu mund të vërtetohet se fusha e numrave realë e përcaktuar në mënyrën e mësipërme është unike.

Numrat kompleks$\mathbb(C)$

Shembuj të numrave kompleks:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ ku $i = \sqrt(-1)$ ose $i^2 = -1$

Bashkësia e numrave kompleks përfaqëson të gjitha çiftet e renditura të numrave realë, domethënë $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, në të cilat veprimet e mbledhja dhe shumëzimi përcaktohen si më poshtë:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Ekzistojnë disa forma të shkrimit të numrave kompleks, nga të cilët më e zakonshme është $z=a+ib$, ku $(a,b)$ është një çift numrash realë dhe numri $i=(0,1)$ quhet njësi imagjinare.

Është e lehtë të tregosh se $i^2=-1$. Zgjerimi i grupit $\mathbb(R)$ në bashkësinë $\mathbb(C)$ na lejon të përcaktojmë rrënjën katrore të numrave negativë, gjë që ishte arsyeja e prezantimit të grupit të numrave kompleks. Është gjithashtu e lehtë të tregohet se një nëngrup i grupit $\mathbb(C)$, i dhënë nga $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, plotëson të gjitha aksiomat për numrat realë, prandaj $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ose $R\nënbashkësi\mathbb(C)$.

Struktura algjebrike e bashkësisë $\mathbb(C)$ në lidhje me veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit ka këto veti:
1. komutativiteti i mbledhjes dhe shumëzimit
2. asociativiteti i mbledhjes dhe shumëzimit
3. $0+i0$ - element neutral për mbledhje
4. $1+i0$ - element neutral për shumëzim
5. Shumëzimi është shpërndarës në lidhje me mbledhjen
6. Ekziston një invers i vetëm për mbledhjen dhe shumëzimin.

Cilat janë numrat irracionalë? Pse quhen kështu? Ku përdoren dhe çfarë janë ato? Pak njerëz mund t'u përgjigjen këtyre pyetjeve pa u menduar. Por në fakt, përgjigjet ndaj tyre janë mjaft të thjeshta, megjithëse jo të gjithë kanë nevojë për to dhe në situata shumë të rralla

Thelbi dhe emërtimi

Numrat irracionalë janë numra të pafundëm joperiodikë.Nevoja për të prezantuar këtë koncept vjen nga fakti se për zgjidhjen e problemeve të reja që lindin nuk mjaftonin më konceptet ekzistuese të mëparshëm të numrave realë ose realë, të plotë, natyrorë dhe racionalë. Për shembull, për të llogaritur se cila sasi është katrori i 2, duhet të përdorni dhjetore të pafundme jo periodike. Për më tepër, shumë ekuacione të thjeshta gjithashtu nuk kanë zgjidhje pa prezantuar konceptin e një numri irracional.

Ky grup shënohet si I. Dhe, siç është tashmë e qartë, këto vlera nuk mund të përfaqësohen si një thyesë e thjeshtë, numëruesi i së cilës do të jetë një numër i plotë, dhe emëruesi do të jetë

Për herë të parë, në një mënyrë ose në një tjetër, matematikanët indianë e hasën këtë fenomen në shekullin e 7-të, kur u zbulua se rrënjët katrore të disa sasive nuk mund të tregohen në mënyrë eksplicite. Dhe prova e parë e ekzistencës së numrave të tillë i atribuohet Pitagorës Hippasus, i cili e bëri këtë duke studiuar një trekëndësh kënddrejtë izosceles. Disa shkencëtarë të tjerë që jetuan para epokës sonë dhanë një kontribut serioz në studimin e këtij grupi. Prezantimi i konceptit të numrave irracionalë solli një rishikim të sistemit ekzistues matematikor, kjo është arsyeja pse ata janë kaq të rëndësishëm.

origjina e emrit

Nëse raporti i përkthyer nga latinishtja është "fraksion", "raport", atëherë parashtesa "ir"
i jep kësaj fjale kuptimin e kundërt. Kështu, emri i grupit të këtyre numrave tregon se ata nuk mund të lidhen me një numër të plotë ose thyesë dhe të kenë një vend të veçantë. Kjo rrjedh nga thelbi i tyre.

Vendi në klasifikimin e përgjithshëm

Numrat irracionalë, së bashku me numrat racional, i përkasin grupit të numrave realë ose realë, të cilët nga ana e tyre i përkasin numrave kompleksë. Nuk ka nënbashkësi, por ka varietete algjebrike dhe transcendentale, të cilat do të diskutohen më poshtë.

Vetitë

Meqenëse numrat irracionalë janë pjesë e grupit të numrave realë, të gjitha vetitë e tyre që studiohen në aritmetikë (ato quhen edhe ligje bazë algjebrike) vlejnë për ta.

a + b = b + a (komutativiteti);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativiteti);

a + (-a) = 0 (ekzistenca e numrit të kundërt);

ab = ba (ligj komutativ);

(ab)c = a(bc) (shpërndarja);

a(b+c) = ab + ac (ligji i shpërndarjes);

a x 1/a = 1 (ekzistenca e një numri reciprok);

Krahasimi kryhet gjithashtu në përputhje me ligjet dhe parimet e përgjithshme:

Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (kalueshmëria e relacionit) dhe. etj.

Sigurisht, të gjithë numrat irracionalë mund të konvertohen duke përdorur aritmetikën bazë. Nuk ka rregulla të veçanta për këtë.

Për më tepër, aksioma e Arkimedit zbatohet për numrat irracionalë. Ai thotë se për çdo dy sasi a dhe b, është e vërtetë që nëse merrni a si term mjaft herë, mund ta mposhtni b.

Përdorimi

Përkundër faktit se nuk i hasni shumë shpesh në jetën e përditshme, numrat irracionalë nuk mund të numërohen. Ka një numër të madh të tyre, por ato janë pothuajse të padukshme. Numrat irracionalë janë rreth nesh. Shembuj që janë të njohur për të gjithë janë numri pi, i barabartë me 3.1415926..., ose e, që në thelb është baza e logaritmit natyror, 2.718281828... Në algjebër, trigonometri dhe gjeometri, ato duhet të përdoren vazhdimisht. Nga rruga, kuptimi i famshëm i "raportit të artë", domethënë raporti i pjesës më të madhe me pjesën më të vogël, dhe anasjelltas, gjithashtu

i përket këtij grupi. Ai më pak i njohur "argjendi" gjithashtu.

Në vijën numerike ato janë të vendosura shumë dendur, kështu që midis çdo dy sasie të klasifikuara si racionale, sigurisht që do të ndodhë një irracionale.

Ka ende shumë probleme të pazgjidhura që lidhen me këtë grup. Ekzistojnë kritere të tilla si masa e irracionalitetit dhe normaliteti i një numri. Matematikanët vazhdojnë të studiojnë shembujt më domethënës për të përcaktuar nëse ato i përkasin një grupi apo një tjetër. Për shembull, besohet se e është një numër normal, d.m.th., probabiliteti që shifra të ndryshme të shfaqen në shënimin e tij është i njëjtë. Sa i përket pi, kërkimet janë ende duke u zhvilluar në lidhje me të. Masa e irracionalitetit është një vlerë që tregon se sa mirë një numër i caktuar mund të përafrohet me numra racionalë.

Algjebrike dhe transcendentale

Siç është përmendur tashmë, numrat iracionalë ndahen në mënyrë konvencionale në algjebrikë dhe transcendentalë. Me kusht, pasi, duke folur në mënyrë rigoroze, ky klasifikim përdoret për të ndarë grupin C.

Ky emërtim fsheh numra kompleksë, të cilët përfshijnë numra realë ose realë.

Pra, algjebrike është një vlerë që është rrënja e një polinomi që nuk është identikisht i barabartë me zero. Për shembull, rrënja katrore e 2 do të ishte në këtë kategori sepse është një zgjidhje e ekuacionit x 2 - 2 = 0.

Të gjithë numrat e tjerë realë që nuk e plotësojnë këtë kusht quhen transcendental. Kjo shumëllojshmëri përfshin shembujt më të famshëm dhe të përmendur tashmë - numrin pi dhe bazën e logaritmit natyror e.

Interesante, as njëra dhe as tjetra nuk u zhvilluan fillimisht nga matematikanët në këtë cilësi; irracionaliteti dhe transcendenca e tyre u vërtetuan shumë vite pas zbulimit të tyre. Për pi, prova u dha në 1882 dhe u thjeshtua në 1894, duke i dhënë fund një debati 2500-vjeçar rreth problemit të katrorit të rrethit. Ende nuk është studiuar plotësisht, kështu që matematikanët modernë kanë diçka për të punuar. Nga rruga, llogaritja e parë mjaft e saktë e kësaj vlere u krye nga Arkimedi. Para tij, të gjitha llogaritjet ishin shumë të përafërta.

Për e (numrin e Euler ose Napier), prova e transcendencës së tij u gjet në 1873. Përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike.

Shembuj të tjerë përfshijnë vlerat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes për çdo vlerë algjebrike jozero.

1. Provat janë shembuj të arsyetimit deduktiv dhe janë të ndryshme nga argumentet induktive ose empirike. Një provë duhet të tregojë se pohimi që provohet është gjithmonë i vërtetë, ndonjëherë duke renditur të gjitha rastet e mundshme dhe duke treguar se pohimi qëndron në secilën prej tyre. Një provë mund të mbështetet në fenomene ose raste të dukshme ose të pranuara përgjithësisht të njohura si aksioma. Ndryshe nga kjo, vërtetohet irracionaliteti i "rrënjës katrore të dy".
2. Ndërhyrja e topologjisë këtu shpjegohet me vetë natyrën e gjërave, që do të thotë se nuk ka asnjë mënyrë thjesht algjebrike për të vërtetuar irracionalitetin, veçanërisht bazuar në numrat racionalë. Ja një shembull, zgjedhja është e juaja: 1 + 1/ 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 ose 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Nëse pranoni 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, që konsiderohet qasja “algjebrike”, atëherë nuk është aspak e vështirë të tregohet se ekziston n/m ∈ ℚ, e cila në një sekuencë e pafundme është numër irracional dhe i fundëm.Kjo sugjeron që numrat irracionalë janë mbyllja e fushës ℚ, por kjo i referohet një singulariteti topologjik.
Pra, për numrat Fibonacci, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Kjo tregon vetëm se ekziston një homomorfizëm i vazhdueshëm ℚ → I, dhe mund të tregohet rigorozisht se ekzistenca e një izomorfizmi të tillë nuk është një pasojë logjike e aksiomave algjebrike.

Shembull:
\(4\) është një numër racional, sepse mund të shkruhet si \(\frac(4)(1)\) ;
\(0.0157304\) është gjithashtu racionale, sepse mund të shkruhet në formën \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0.333(3)...\) - dhe ky është një numër racional: mund të përfaqësohet si \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) është racional, pasi mund të përfaqësohet si \(\frac(1)(2)\) . Në të vërtetë, ne mund të kryejmë një zinxhir transformimesh \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Numër irracionalështë një numër që nuk mund të shkruhet si thyesë me numërues dhe emërues numër të plotë.

Është e pamundur sepse është pafund thyesat, madje edhe ato jo periodike. Prandaj, nuk ka numra të plotë që, kur ndahen me njëri-tjetrin, do të jepnin një numër irracional.

Shembull:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) është një numër irracional;
\(π≈3.1415926… \) është një numër irracional;
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) është një numër irracional.

Shembull (Detyrë nga OGE). Kuptimi i cilës prej shprehjeve është numër racional?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Zgjidhja:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - rrënja e \(14\) nuk mund të merret, që do të thotë Është gjithashtu e pamundur të paraqitet një numër si thyesë me numra të plotë, prandaj numri është irracional.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nuk ka mbetur asnjë rrënjë, numri mund të paraqitet lehtësisht si thyesë, për shembull \(\frac(-5)(1)\), që do të thotë se është racional.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) - rrënja nuk mund të nxirret - numri është irracional.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) është gjithashtu irracionale.

Fraksioni m/n ne do ta konsiderojmë të pareduktueshme (në fund të fundit, një fraksion i reduktueshëm mund të reduktohet gjithmonë në një formë të pareduktueshme). Duke kuadruar të dyja anët e barazisë, marrim m^2=2n^ 2. Nga këtu përfundojmë se m^2, dhe pas kësaj numri m- madje. ato. m = 2k. Kjo është arsyeja pse m^2 = 4k^2 dhe për rrjedhojë 4 k^2 =2n^2 ose 2 k^2 = n^ 2. Por më pas rezulton se nështë gjithashtu një numër çift, por ky nuk mund të jetë, pasi thyesa m/n e pareduktueshme. Shfaqet një kontradiktë. Mbetet të konkludojmë: supozimi ynë është i pasaktë dhe numri racional m/n, e barabartë me √2, nuk ekziston.”

Kjo është e gjithë prova e tyre.

Një vlerësim kritik i dëshmive të grekëve të lashtë

1) Në numrin racional të miratuar nga grekët m/n numrat m Dhe n- e tërë, por i panjohur(qofshin ata madje, qofshin ata i çuditshëm). Dhe kështu është! Dhe për të krijuar disi ndonjë varësi midis tyre, është e nevojshme të përcaktohet saktësisht qëllimi i tyre;

2) Kur të lashtët vendosën që numri m– madje, pastaj në barazi që pranuan m = 2k ata (qëllimisht ose nga padituria!) nuk e karakterizuan shumë "korrekt" numrin " k " Por ja ku është numri k- Kjo e tërë(E GJITHË!) dhe mjaft i famshëm një numër që përcakton mjaft qartë atë që u gjet madje numri m. Dhe mos ji në këtë mënyrë gjetur numrat" k"Të lashtët nuk munden në të ardhmen" përdorni" dhe numri m ;

3) Dhe kur nga barazia 2 k^2 = n^2 të lashtët morën numrin n^2 është çift, dhe në të njëjtën kohë n– madje, atëherë do të duhej mos u ngut me konkluzionin për " kontradikta që ka lindur“, por është më mirë të sigurohemi për maksimumin saktësi pranuar prej tyre" zgjedhje» numrat » n ».

Si mund ta bënin këtë? Po, e thjeshtë!
Shikoni: nga barazia që ata morën 2 k^2 = n^2 mund të merret lehtësisht barazia e mëposhtme k√2 = n. Dhe këtu nuk ka asgjë të dënueshme - në fund të fundit, ata morën nga barazia m/n=√2 është një tjetër barazi adekuate për të m^2=2n^2! Dhe askush nuk i kundërshtoi!

Por në barazinë e re k√2 = n për GJERËT E PLOTË të dukshëm k Dhe nështë e qartë se prej saj Gjithmonë merrni numrin √2 - racionale . Gjithmonë! Sepse përmban numra k Dhe n- Të gjithë të famshëm!

Por kështu që nga barazia e tyre 2 k^2 = n^2 dhe, si pasojë, nga k√2 = n merrni numrin √2 - irracionale (si kjo" dëshiroi"Grekët e lashtë!), atëherë është e nevojshme të kemi në to, më së paku , numri " k"si jo e tërë (!!!) numrat. Dhe kjo është pikërisht ajo që grekët e lashtë NUK kishin!

Prandaj KONKLUZIONI: prova e mësipërme e irracionalitetit të numrit √2, e bërë nga grekët e lashtë 2400 vjet më parë, është sinqerisht e pasaktë dhe matematikisht e pasaktë, për të mos thënë vrazhdë - është thjesht e rreme .

Në broshurën e vogël F-6 të treguar më lart (shih foton më lart), lëshuar në Krasnodar (Rusi) në 2015 me një tirazh total prej 15,000 kopjesh. (padyshim me investim sponsorizimi) jepet një provë e re, jashtëzakonisht korrekte nga pikëpamja e matematikës dhe jashtëzakonisht korrekte e irracionalitetit të numrit √2, që mund të kishte ndodhur shumë kohë më parë nëse nuk do të ishte e vështirë " mësuesi n" për studimin e antikiteteve të Historisë.