Procesi evolucionar përshkruhet matematikisht nga një fushë vektoriale në hapësirë ​​fazore(një hapësirë ​​abstrakte me një numër dimensionesh të barabartë me numrin e variablave që karakterizojnë gjendjen e sistemit). Pika e hapësirës së fazës specifikon shteti sistemeve. Vektori i aplikuar në këtë pikë tregon shkallën e ndryshimit të gjendjes. Në rastin e amortizimit, trajektoret fazore për çdo vlerë fillestare përfundojnë në një pikë, e cila korrespondon me pushimin. Në pika të tilla vektori mund të zhduket. Pika të tilla quhen pozicione ekuilibri (gjendja nuk ndryshon me kalimin e kohës). Trajektoret fazore krijojnë palosje brenda hapësirës fazore.

Rajoni i hapësirës fazore të mbushur me trajektore kaotike quhet tërheqës të çuditshëm.

Vetia më e rëndësishme e tërheqësve të çuditshëm është fraktaliteti. Fraktale- këto janë objekte që shfaqin një numër në rritje detajesh me rritjen e tyre. Kaosi gjeneron fraktale, dhe trajektorja fazore e fraktaleve ka vetëngjashmëria, d.m.th. kur zgjidhni dy pika të ngushta në trajektoren e fazës së një fraktal dhe më pas rritni shkallën, trajektorja midis këtyre pikave do të rezultojë të jetë po aq kaotike sa e tëra. Futja e grupeve fraktale bën të mundur shpjegimin dhe parashikimin e shumë fenomeneve në një gamë të gjerë fushash.

Imazhet matematikore të teorisë së katastrofave realizohen në fusha valore. Vendndodhja gjeometrike e pikave në të cilat fokusohet fusha valore quhet kaustikë në optikë. Kur kaloni kaustikët, ndodh një ndryshim i papritur në gjendjen e sistemit. Momenti i tranzicionit përcaktohet nga vetitë e sistemit dhe niveli i luhatjes në të. Ekzistojnë dy parime gjatë tranzicionit: parimi i vonesës maksimale, përcaktuar nga ekzistenca e një niveli të qëndrueshëm, dhe Parimi i Maksuellit duke përcaktuar gjendjen e sistemit me një minimum global.

Sekuenca e bifurkacioneve që ndodh kur çekuilibri thellohet në ndryshimet e sistemit dhe procesi do të ndjekë skenarë të ndryshëm (për shembull, një kalim nga rrjedha laminare në turbulente).

Pasi parametri kalon nëpër një vlerë bifurkacioni që korrespondon me lindjen e një cikli, ose shfaqjen e butë të vetëlëkundjeve, sistemi mbetet në afërsi të gjendjes së paqëndrueshme për ca kohë, gjatë së cilës parametri ndryshon në një vlerë të fundme. Pas kësaj, sistemi hidhet në një mënyrë vetëlëkundjeje (i cili tashmë është bërë i vështirë) në momentin e bifurkacionit.

Figura 4 tregon një portret fazor të një sistemi që përshkruan marrëdhënien midis grabitqarit dhe gjahut (të themi, krapi i pikut dhe kryqit). Hapësira e fazës është kuadranti pozitiv i planit. Numri i krapit të kryqit vihet në grafik përgjatë boshtit të abshisës dhe numri i pikes është paraqitur përgjatë boshtit të ordinatave. Pika P është pozicioni i ekuilibrit. Pika A korrespondon me numrin e ekuilibrit të krapit të kryqit, ku 16 numri i pikes është më i vogël se numri i ekuilibrit. Mund të shihet se me kalimin e kohës, në sistem krijohen lëkundje; gjendja e ekuilibrit Fig. E paqëndrueshme. Lëkundjet në gjendje të qëndrueshme përfaqësohen nga një kurbë e mbyllur në plani fazor. Kjo kurbë quhet cikël limit.

Në afërsi të një pike që nuk është pozicion ekuilibri, ndarja e hapësirës fazore në kthesa fazore është rregulluar në të njëjtën mënyrë si ndarja në vija paralele: një familje kurbash fazore mund të shndërrohet në një familje vijash paralele me ndryshimi i koordinatave. Në afërsi të pozicionit të ekuilibrit, fotografia është më e ndërlikuar.

Fig.4. Portreti fazor i evolucionit të sistemit "grabitqar-pre".

Sistemet që përshkruajnë proceset reale evolucionare janë, si rregull, të përgjithshme. Në të vërtetë, një sistem i tillë gjithmonë varet nga parametra që nuk dihen kurrë saktësisht.

Menaxhimi pa reagime çon gjithmonë në fatkeqësi: është e rëndësishme që individët dhe organizatat që marrin vendime të përgjegjshme të varen personalisht dhe financiarisht nga pasojat e këtyre vendimeve.

Vështirësia e problemit të ristrukturimit shoqërohet me jolinearitetin e tij. Metodat konvencionale të menaxhimit, në të cilat rezultatet janë proporcionale me përpjekjet, nuk funksionojnë këtu dhe është e nevojshme të zhvillohen në mënyrë specifike intuitë jolineare, bazuar në përfundime ndonjëherë paradoksale të teorisë jolineare.

Këtu janë disa përfundime cilësore të thjeshta nga teoria matematikore e rirregullimeve në lidhje me një sistem jolinear të vendosur në gjendje të qëndrueshme, i njohur si i keq, pasi brenda kufijve të dukshmërisë ekziston një gjendje e qëndrueshme më e mirë, e preferuar e sistemit.

1. Lëvizja graduale drejt një gjendjeje më të mirë çon menjëherë në përkeqësim. Shkalla e përkeqësimit me një lëvizje uniforme drejt një gjendjeje më të mirë rritet.

2. Ndërsa kaloni nga një gjendje më e keqe në një gjendje më të mirë, rezistenca e sistemit ndaj ndryshimit të gjendjes së tij rritet.

3. Rezistenca maksimale arrihet përpara gjendjes më të keqe, e cila duhet kaluar për të arritur gjendjen më të mirë. Pas kalimit të rezistencës maksimale, gjendja vazhdon të përkeqësohet.

4. Ndërsa i afrohesh gjendjes më të keqe në rrugën e ristrukturimit, rezistenca, duke filluar nga një moment i caktuar, fillon të ulet dhe sapo kalon gjendja më e keqe, jo vetëm që rezistenca zhduket plotësisht, por sistemi fillon të tërhiqet. në një gjendje më të mirë.

5. Sasia e përkeqësimit që kërkohet për të kaluar në një gjendje më të mirë është e krahasueshme me përmirësimin përfundimtar dhe rritet me përmirësimin e sistemit. Një sistem i zhvilluar dobët mund të kalojë në një gjendje më të mirë pa pothuajse asnjë përkeqësim të mëparshëm, ndërsa një sistem i zhvilluar, për shkak të qëndrueshmërisë së tij, është i paaftë për një përmirësim të tillë gradual dhe të vazhdueshëm.

6. Nëse sistemi mund të transferohet menjëherë, befas dhe jo vazhdimisht, nga një gjendje e keqe e qëndrueshme, mjaft afër një të mirë, atëherë ai do të evoluojë vetë drejt një gjendjeje të mirë.

Pa një teori matematikore të ristrukturimit, kontrolli i vetëdijshëm i sistemeve jolineare komplekse dhe pak të njohura është praktikisht i pamundur. Megjithatë, nuk kërkohet asnjë teori e veçantë matematikore për të kuptuar se neglizhenca e ligjeve të natyrës dhe shoqërisë (qoftë ligji i gravitetit, ligji i vlerës apo nevoja për reagime), një rënie në kompetencën e specialistëve dhe mungesë e aftësive personale. përgjegjësia për vendimet e marra çon herët a vonë në katastrofë.

Rishikimi

Bifurkacioni është përvetësimi i një cilësie të re në lëvizjet e një sistemi dinamik me një ndryshim të vogël në parametrat e tij.

Koncepti qendror i teorisë së bifurkacionit është koncepti i një sistemi (jo) të përafërt (shih më poshtë). Ne marrim çdo sistem dinamik dhe konsiderojmë një familje të tillë (shumë) parametrash të sistemeve dinamike që sistemi origjinal të merret si një rast i veçantë - për çdo vlerë të një parametri (parametra). Nëse, me vlera të parametrave mjaft afër asaj të dhënë, ruhet një pamje cilësore e ndarjes së hapësirës fazore në trajektore, atëherë një sistem i tillë quhet i përafërt. Përndryshe, nëse një lagje e tillë nuk ekziston, atëherë quhet sistemi jo i përafërt.

Kështu, në hapësirën e parametrave lindin rajone të sistemeve të përafërta, të cilat ndahen nga sipërfaqe të përbëra nga sisteme jo të përafërta. Teoria e bifurkacioneve studion varësinë e një tabloje cilësore nga një ndryshim i vazhdueshëm i një parametri përgjatë një kurbë të caktuar. Skema me të cilën ndryshon tabloja cilësore quhet diagrami i bifurkacionit.

Metodat kryesore të teorisë së bifurkacionit janë metodat e teorisë së perturbimit. Në veçanti, ajo zbatohet metoda me parametra të vegjël(Pontriagina).

Bifurkacioni i ekuilibrave

Në sistemet mekanike, si rregull, lëvizjet në gjendje të qëndrueshme (pozicionet e ekuilibrit ose ekuilibri relativ) varen nga parametrat. Vlerat e parametrave në të cilat vërehet një ndryshim në numrin e ekuilibrave quhen të tyre vlerat e bifurkacionit. Lakoret ose sipërfaqet që përshkruajnë grupe ekuilibrish në hapësirën e gjendjeve dhe parametrave quhen kurbat e bifurkacionit ose sipërfaqet e bifurkacionit. Kalimi i një parametri përmes një vlere bifurkacioni shoqërohet, si rregull, nga një ndryshim në vetitë e stabilitetit të ekuilibrave. Bifurkacionet e ekuilibrave mund të shoqërohen me lindjen e lëvizjeve periodike dhe të tjera, më komplekse.

Konceptet Bazë

Shiko gjithashtu

Letërsia

1. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. M., Mayer A. G. Teoria e bifurkacioneve të sistemeve dinamike në një plan. M.: Nauka, 1967.
2. Bautin N. N., Leontovich E. A. Metodat dhe teknikat për kërkimin cilësor të sistemeve dinamike në një plan. M.: Shkencë. Ch. ed. fizikës dhe matematikës lit., 1990. 488 f. (Biblioteka e referencës së matematikës.)
3. Chetaev N. G. Stabiliteti i lëvizjes. M.: Shkencë. 1955.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Teoria e Bifurkacionit" në fjalorë të tjerë:

Teoria e katastrofave është një degë e matematikës që përfshin teorinë e bifurkacioneve të ekuacioneve diferenciale (sistemet dinamike) dhe teorinë e singulariteteve të pasqyrimeve të lëmuara. Termat "katastrofë" dhe "teoria e katastrofës" u prezantuan nga René Thom dhe... ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih Teoria (kuptimet) e katastrofës. Teoria e katastrofës është një degë e matematikës që përfshin teorinë e bifurkacioneve të ekuacioneve diferenciale (sistemet dinamike) dhe teorinë e singulariteteve të lëmuara... ... Wikipedia

Teoria e katastrofës: Teoria e katastrofës është një degë e matematikës që përfshin teorinë e bifurkacioneve të ekuacioneve diferenciale (sistemet dinamike) dhe teorinë e singulariteteve të pasqyrimeve të lëmuara. Katastrofizmi (teoria e katastrofës) sistemi... ... Wikipedia

Artikulli kryesor: Teoria e bifurkacioneve Një kaskadë bifurkacionesh (sekuenca Feigenbaum ose skenari i dyfishimit të periodave) është një nga skenarët tipikë për kalimin nga rendi në kaos, nga një regjim i thjeshtë periodik në një regjim aperiodik kompleks me ... ... Wikipedia

Një grup aplikimesh të teorisë së singulariteteve të pasqyrimeve të diferencueshme (të lëmuara) nga H. Whitney dhe teorisë së bifurkacioneve nga A. Poincare dhe A. A. Andronov. Emri prezantuar nga R. Thorn në 1972. K. t. aplikuar në gjeom. dhe fizike...... Enciklopedia fizike

BIFURKACIONI, përvetësimi i një cilësie të re në lëvizjet e një sistemi dinamik me një ndryshim të vogël në parametrat e tij. Bazat e teorisë së bifurkacionit u hodhën në fillim nga A. Poincaré dhe A. M. Lyapunov. shekulli i 20-të, atëherë kjo teori u zhvillua nga A. A. Andronov dhe studentët e tij... fjalor enciklopedik

- (nga kthesa greke e katastrofës, revolucion), 1) një grup aplikimesh të teorisë së singulariteteve të pasqyrimeve të lëmuara (të diferencueshme) dhe teorisë së bifurkacioneve. Meqenëse hartat e lëmuara janë kudo, veçoritë e tyre janë të kudondodhura... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Wikipedia ka artikuj për njerëz të tjerë me këtë mbiemër, shihni Yudovich. Victor Iosifovich Yudovich Data e lindjes: 4 tetor 1934 (1934 10 04) Vendi i lindjes: Tbilisi, BRSS Data e vdekjes ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih bisht pëllumbi. Një bisht dallëndyshe është një sipërfaqe e parregullt në hapësirën tre-dimensionale, e cila mund të përcaktohet në disa mënyra ekuivalente. Le të shqyrtojmë... ... Wikipedia

Artikulli kryesor: Teoria e bifurkacioneve Konstanta e Feigenbaum-it është një konstante universale që karakterizon një kaskadë të pafundme periodash duke dyfishuar bifurkacionet gjatë kalimit në kaosin determinist (Skenari i Feigenbaum). Zbuluar nga Mitchell... ... Wikipedia

Bifurkacioni

Bifurkacioni i merr rrënjët nga fjala latine bifurcus - bifurkuar - që përdoret për të treguar procese të ndryshme në fusha të ndryshme shkencore. Bukuria e sistemeve komplekse është sjellja e tyre dinamike dhe zhvillimi i vazhdueshëm. Që një sistem të zhvillohet, është i nevojshëm një kalim nga një gjendje në tjetrën. Vetë tranzicioni quhet bifurkacion. Ky term u prezantua për të përcaktuar një proces të ngjashëm nga L. Poincaré. Pavarësisht fushës së gjerë të përdorimit të këtij termi, ai në fakt përshkruan të njëjtin proces. Një përgjithësim i lirë i burimeve të ndryshme jep përkufizimin e mëposhtëm: bifurkacioni është një proces kur një sistem lëviz në një gjendje të qëndrueshme dhe në një moment gjendja e tij bëhet e paqëndrueshme, si rezultat i së cilës ai vazhdon të zhvillohet jo përgjatë trajektores së vjetër, por përgjatë dy te Rejat. Grafikisht duket kështu.

Grafiku tregon se gjatë zhvillimit të sistemit në kohën (t), në një pikë të caktuar, të caktuar si pikë bifurkimi, sistemi, në vend të një gjendjeje të qëndrueshme, fiton dy gjendje të reja të qëndrueshme dhe më pas ky proces zakonisht përsëritet. Ka shumë shembuj të ndryshëm të bifurkacionit: bifurkacioni i lumit - ndarja e shtratit të lumit dhe luginës së tij në dy degë, të cilat më pas nuk bashkohen dhe derdhen në pellgje të ndryshme; në mjekësi - ndarja e një organi tubular (enë ose bronk) në 2 degë të të njëjtit kalibër, që shtrihen në anët në të njëjtat kënde; bifurkacioni mekanik - përvetësimi i një cilësie të re në lëvizjet e një sistemi dinamik me një ndryshim të vogël në parametrat e tij; ndarja e klasave të larta të institucionit arsimor në dy departamente; bifurkacioni i kohës-hapësirës (në fantashkencë) - ndarja e kohës në disa rrjedha, në secilën prej të cilave ndodhin ngjarjet e veta. Paralelisht në kohë-hapësirë, heronjtë kanë jetë të ndryshme.

Ndoshta është koha për të kaluar në klasifikimin e bifurkacioneve, dhe më pas në teorinë e katastrofave.

Bifurkacionet klasifikohen në i butë Dhe e vështirë.

Bifurkacion i butë- ky është një kalim nga një gjendje e qëndrueshme në tjetrën, ndërsa gjendja e re e qëndrueshme është në afërsi të asaj origjinale. ato. cilësisht nuk ka dallime domethënëse shumë të dukshme.

Një bifurkacion i fortë është një bifurkacion, si rezultat i të cilit sistemi fiton një gjendje të qëndrueshme cilësisht të re që nuk është e ngjashme me atë origjinale.

Figura tregon se me një ndryshim të vogël të parametrit, sistemi zgjedh një modalitet të ri, i cili nuk është më në afërsi me origjinalin, dhe për këtë arsye ka dallime cilësore. Ishin bifurkacionet e ngurtë që formuan bazën e teorisë së katastrofave.

Teoria e katastrofës

Mund të jetë e mundur të vërtetohet pashmangshmëria e disa fatkeqësive, të tilla si sëmundja ose vdekja. Njohuria nuk do të jetë domosdoshmërisht një premtim suksesi ose mbijetese: ajo gjithashtu mund të çojë në sigurinë e dështimit tonë, në fundin tonë.

RENEE THOMA

Para se të thellohet në thelbin e teorisë së fatkeqësive, është e nevojshme të kuptohet rëndësia e kësaj teme. Gjëja e parë që e konsideroj të nevojshme të theksoj janë arritjet ekzistuese në këtë fushë. Së pari, konceptet filozofike për paracaktimin universal kanë humbur çdo kuptim, gjë që dha shpresë për mundësinë për të ndikuar në kthesat e supozuara radikale të situatës. Së bashku me shpresën erdhi një ndërgjegjësim i përgjegjësisë për atë që po ndodhte, për çekuilibrin në natyrë, shoqëri ose për mungesën e harmonisë atje. Problemi mbetet sigurimi i këtij informacioni për sa më shumë njerëz të jetë e mundur, përveç kësaj, ajo që është e rëndësishme nuk është fakti që njerëzit e marrin këtë informacion, por fakti i ndërgjegjësimit dhe perceptimit të këtij përfundimi si një nxitje për veprim. Fatkeqësisht, kjo është më shumë si një utopi, kështu që duke vazhduar të reflektojmë mbi përfitimet e teorisë, nuk duhet të harrojmë se termi "katastrofë" nuk përfaqëson një vizion të përditshëm të kësaj ngjarjeje. Një fatkeqësi në këtë rast është thjesht një ndryshim thelbësor në sistemin ekzistues. Detyra kryesore, siç e kuptojmë tani, është vetëm të hamendësosh saktë momentin dhe drejtimin e veprimit. Për më tepër, ky fakt na jep mundësinë të supozojmë se edhe situata më e pashpresë - një shenjë e një "katastrofe" të afërt, do të thotë vetëm ndryshim, dhe jo Harmagedon.

Ka mjaft shembuj historikë kur mjaftuan përpjekjet minimale të bëra në momentin e duhur për të kthyer gjithçka "përmbys". Natyrisht, jo të gjitha përpjekjet për të "ndryshuar botën" u realizuan. Sigurisht, kjo varet nga cilësia e përpjekjeve të bëra, por koha dhe vendi i asaj që po ndodh luan një rol të rëndësishëm. Nëse e "merrni momentin" saktë, atëherë edhe me idenë më të pakuptimtë mund të arrini ndryshime rrënjësore, dhe nëse jo, atëherë edhe mendimi më i zgjuar nuk do ta ndryshojë situatën. Për të qenë në gjendje të përcaktoni distancën e sistemit deri në pikën e katastrofës (domethënë, kur kaloni nëpër këto pika ndodh gjëja më interesante), duhet të punoni shumë dhe të gjeni varësinë e sistemit nga parametrat e jashtëm në modelet matematikore. , por dyshoj se dikush e ka bërë këtë, përkundrazi kjo është prerogativë e së ardhmes.

Si të njohim qasjen e një sistemi të pikave kritike? Ekziston një gjë e tillë si "flamujt e fatkeqësive" - ​​tipare të sjelljes së sistemit me të cilat mund të përcaktohet kjo. Këtu janë: prania e disa gjendjeve të qëndrueshme, ekzistenca e gjendjeve të paqëndrueshme nga të cilat sistemi kërkon të dalë, mundësia e një ndryshimi të shpejtë në sistem me ndryshime të vogla në parametrat e jashtëm, pakthyeshmëria e sistemit.

Unë besoj se secili mund ta quajë veten një shembull shterues. Është e qartë se një person është një sistem kompleks, si dhe jeta e tij. Në disa momente, një individ përballet me një zgjedhje që do të përcaktojë të ardhmen e tij në një masë mjaft domethënëse (zgjedhja e vendit të studimit, e punës, e vendbanimit, etj.). Në të njëjtën kohë, vërehet një "gjendje e paqëndrueshme", e natyrshme në çdo qenie njerëzore, vetëm në shkallë të ndryshme (këtu është flamuri i dytë). Si rregull, duke kapërcyer "flamurin e parë", duke mbajtur vazhdimisht të dytin në dorë, një person e gjen veten ballë për ballë me "flamurin e tretë", duke e përshtatur atë me zgjedhjen e tij. Pasi të merret një vendim, si rregull, nuk ka kthim mbrapa, dhe kjo është një shenjë e sigurt se ju keni goditur "flamurin e katërt". Nëse një shkencëtar zbulon një nga këto shenja, atëherë nuk do të jetë e vështirë për të që të arrijë tek pjesa tjetër. Duhet të theksohet se ky nuk është grupi i vetëm i mundshëm i "flamujve".

Teoria është shumë e ndryshme nga praktika në atë që nuk mund të ndërmarrë asnjë veprim nëse diçka ndodh. Por është mjaft i aftë të kuptojë dhe shpjegojë dukuritë që hasim në jetën reale. Në kuptimin e përditshëm, një fatkeqësi ose kaos është diçka shkatërruese, domosdoshmërisht fatale dhe absolutisht e pakontrollueshme dhe e pashpjegueshme. Siç thotë doktori i Shkencave Fizike dhe Matematikore A. Çuliçkov: “Nga pikëpamja e matematikës, katastrofa dhe kaosi nuk janë domosdoshmërisht shembje e të gjitha shpresave apo ndonjë fatkeqësi tjetër.” dhe unë jam i prirur ta besoj atë. Çfarë është një "katastrofë" në këtë rast? Për një ndryshim, unë do të citoj një shkencëtar tjetër - V.I. Arnold: " Fatkeqësitë quhen ndryshime të papritura që ndodhin në formën e një reagimi të papritur të sistemit ndaj një ndryshimi të qetë të kushteve të jashtme. Detyra kryesore e teorisë është të mos ngatërroheni në një situatë të tillë (në prag të një krize) dhe të gjeni hapin e duhur që do të ndihmojë jo vetëm të mos prishni situatën, por edhe të joshni Lady Luck në anën tuaj. Dhe për të filluar një plan për të kapur fatin e mirë në kohë, ka lajmëtarë të një entiteti tjetër mitik - fatit. Ne i shikuam më herët dhe zbuluam se quhen "flamuj të fatkeqësisë". Mbetet vetëm të mësojmë të operojmë me këtë informacion, dhe më pas rruga drejt një të ardhmeje të ndritur është e garantuar, si dhe marrëdhëniet miqësore me zonjat e bukura - Fati dhe Fati.

Siç u tha në fillim, teoria e katastrofës na jep një ide të skenarëve për zhvillimin e ngjarjeve pasi të ketë kaluar një fazë e caktuar në jetën e një sistemi kompleks. Ziman, në përgjigjen e tij ndaj Rene Thom, identifikoi shtatë lloje fatkeqësish.

Nuk do të hyj më thellë në teorinë e fatkeqësive, sepse qëllimi kryesor i kësaj pune është të ndajë konceptet "katastrofë" dhe "katastrofë". Dhe jo thjesht përshkruani dhe klasifikoni ato, por zbuloni arsyen e kaq shumë studimeve të kësaj teme dhe merrni parasysh rezultatet e punës së bërë.

Parathënie
Kapitulli 1. Bifurkacionet e pozicioneve të ekuilibrit
§ 1. Familjet dhe deformimet
1.1. Familje vektoriale në terren
1.2. Hapësira e avionëve
1.3. Lema e Sardit dhe teorema e transversalitetit
1.4. Zbatimet më të thjeshta: pikat singulare të fushave tipike vektoriale
1.5. Deformime topologjikisht joreale
1.6. Teorema e reduktimit
1.7. Familje tipike dhe kryesore
§ 2. Bifurkacionet e pikave njëjës në familjet tipike me një parametra
2.1. Filizat tipike dhe familjet kryesore
2.2. Përkulje e butë dhe e fortë
§ 3. Bifurkacionet e pikave njëjës në familjet shumëparametrash të pozicionit të përgjithshëm me një degjenerim të vetëm të pjesës lineare
3.1. Familjet kryesore
3.2. Diagramet e bifurkacionit të familjeve kryesore (3±)
3.3. Diagramet e bifurkacionit (në lidhje me ekuivalencën e dobët) dhe portretet fazore të familjeve kryesore (4±)
§ 4. Bifurkacionet e pikave njëjës të fushave vektoriale me degjenerim të dyfishtë të pjesës lineare
4.1. Lista e degjenerimeve
4.2. Dy vlera eigen Boolean
4.3. Reduktimet në sistemet dy-dimensionale
4.4. Zero dhe një palë eigenvlerash thjesht imagjinare
4.5. Dy çifte thjesht imagjinare
4.6. Deformimet kryesore të ekuacioneve të tipit të vështirë në problemin e dy çifteve imagjinare (sipas Zholondek)
§ 5. Treguesit e përkuljes së butë dhe të fortë
5.1. Përkufizimet
5.2. Tabela treguese
Kapitulli 2. Bifurkacionet e cikleve kufitare
§ 1. Bifurkacionet e cikleve kufitare në familjet tipike me një parametra
1.1. Shumëzuesi 1
1.2. Bifurkacioni i shumëzuesit -1 dhe dyfishimi i periodës
1.3. Një palë shumëzuesish komplekse të konjuguar
1.4. Bifurkacionet jolokale në familjet me një parametra të difeomorfizmave
1.5. Bifurkacionet jolokale të zgjidhjeve periodike
1.6. Bifurkacionet e prishjes së torit invariant
§ 2. Bifurkacionet e cikleve në familjet tipike me dy parametra me degjenerim të vetëm shtesë
2.1. Lista e degjenerimeve
2.2. Shumëzuesi 1 ose -1 me degjenerim shtesë në terma jolinearë
2.3. Një çift shumëzuesish në rrethin e njësisë me degjenerim shtesë në terma jolinearë
§ 3. Bifurkacionet e cikleve në familjet tipike me dy parametra me rezonanca të forta të rendit (?)
3.1. Forma normale në rastin e qelizës jordaneze unipotente
3.2. Homogjenizimi në gjethet Seifert dhe Möbius
3.3. Fushat kryesore dhe deformimet
3.4. Versiteti i deformimeve kryesore
3.5. Bifurkacionet e zgjidhjeve stacionare të ekuacioneve diferenciale periodike me rezonanca të forta të rendit (?)
§ 4. Bifurkacionet e cikleve kufi kur një çift shumëzuesish kalon nëpër (?)
4.1. Familje të degjeneruara
4.2. Familje të degjeneruara të gjetura në mënyrë analitike
4.3. Familje të degjeneruara gjenden numerikisht
4.4. Bifurkacionet në familjet jo të degjeneruara
4.5. Kufizoni ciklet e sistemeve me simetri të rendit të katërt
§ 5. Forma normale fundore të lëmuara të familjeve vendase
5.1. Rishikimi i rezultateve
5.2. Përkufizime dhe shembuj
5.3. Teorema të përgjithshme dhe deformime të mikrobeve pa rezonancë
5.4. Reduktimi në formë normale lineare
5.5. Deformimet e mikrobeve të difeomorfizmave të tipit Poincaré
5.6. Deformimet e mikrobeve hiperbolike diorezoiane
5.7. Deformimet e mikrobeve, fusha vektoriale me një vlerë eigen zero në një pikë njëjës
5.8. Invariantet funksionale të difeomorfizmave të linjës
5.9. Invariantet funksionale të familjeve lokale të difeomorfizmave
5.10. Funksionale -invariante të familjeve të fushave vektoriale
5.11. Invariantet funksionale të klasifikimit topologjik të familjeve lokale të difeomorfizmave të linjës (sipas Russari)
§ 6. Universaliteti Feigenbaum për difeomorfizmat dhe rrjedhat
6.1. Kaskada e dyfishimeve
6.2. Rirregullimet e pikave fikse
6.3. Kaskada e (?)-fish rritet në periudhë
6.4. Dyfishimi në sistemet Hamiltoniane
6.5. Operatori i dyfishimit për "mapping" njëdimensionale
6.6. Mekanizmi universal i dyfishimit për difeomorfizmat
Kapitulli 3. Bifurkacionet jolokale
§ 1. Degjenerimi i kodimensionit 1. Përmbledhje e rezultateve
1.1. Bifurkacionet lokale dhe jo lokale
1.2. Pika singulare johiperbolike
1.3. Ciklet jo hiperbolike
1.4. Kryqëzimet jo tërthore të manifoldeve
1.5. Përvijimet
1.6. Sipërfaqet e bifurkacionit
1.7. Karakteristikat e bifurkacioneve
1.8. Përmbledhje e rezultateve
§ 2. Bifurkacionet jolokale të prurjeve në sipërfaqe dydimensionale
2.1. Bifurkacionet gjysmëlokale të prurjeve në sipërfaqe
2.2. Bifurkacionet jolokale në një sferë; rast me një parametr
2.3. Familjet tipike të fushave vektoriale
2.4. Kushtet e tipitetit
2.5. Familje me një parametra në sipërfaqe të ndryshme nga një sferë
2.6. Bifurkacionet globale të sistemeve, me një sekant global në torus
2.7. Disa bifurkacione globale në shishen Klein
2.8. Bifurkacionet në një sferë dydimensionale. Rasti me shumë parametra
2.9. Disa pyetje të hapura
§ 3. Bifurkacionet e trajektoreve homoklinike të një pike singulare johiperbolike
3.1. Nyjë në ndryshore hiperbolike
3.2. Shalë në variabla hiperbolike: një trajektore homoklinike
3.3. Diagrami topologjik i Bernulit
3.4. Pika e shalës në variablat hiperbolike: disa trajektore homoklinike
3.5. Familjet kryesore
§ 4. Bifurkacionet e trajektoreve homoklinike4 dhe një cikël hiperbolik
4.1. Struktura e familjes së trajektoreve homokliane
4.2. Ciklet kritike dhe jo kritike
4.3. Lindja e një tërheqëse të qetë dy-dimensionale
4.4. Lindja e grupeve komplekse invariante (rast jo kritik)
4.5. Rast kritik
4.6. Tranzicioni me dy hapa nga stabiliteti në turbulencë
4.7. Komplet jo kompakt i trajektoreve homoklinike
4.8. Ndërprerje
4.9. Arritshmëria, paarritshmëria
4.10. Stabiliteti i familjeve të difeomorfizmave
4.11. Disa pyetje të hapura
§ 5. Pika njëjës hiperbolike me trajektore homoklinike
5.1. Konceptet paraprake: drejtimet drejtuese dhe sasitë e shalës
5.2. Bifurkacionet e trajektoreve të shalës homokliane që ndodhin në kufirin e një grupi sistemesh Morse-Smale
5.3. Kërkesat e përgjithshme
5.4. Familjet kryesore në R3 dhe pronat e tyre
5.5. Shkathtësia e familjeve kryesore
5.6. Shalë me drejtim drejtues të integruar në R3
5.7. Shtim: bifurkacionet e sytheve homokliane jashtë "kufirit të grupit të sistemeve Morse-Smale".
§ 6. Bifurkacionet e shoqëruara me kryqëzime jo tërthore
6.1. Fushat vektoriale pa konture dhe trajektore homoklinike
6.2. Teorema e paarritshmërisë
6.3. Modulet
6.4. Sisteme me sythe
6.5. Difeomorfizma me grupe bazë jo të parëndësishme
6.6. Fushat vektoriale në R3 me trajektore të ciklit homoklian
6.7. Dinamika simbolike
6.8. Bifurkacionet e "patkonjve të vogëlushit"
6.9. Fushat vektoriale në një sipërfaqe bifurkacioni
6.10. Difeomorfizma me një grup të pafund trajektoresh periodike të qëndrueshme
§ 7. Komplete të pafundme jo endacake
7.1. Fushat vektoriale në një torus dydimensional
7.2. Bifurkacionet e sistemeve me dy kthesa të shalës homokliane
7.3. Sisteme me tërheqës Feigenbaum
7.4. Lindja e grupeve jo endacake
7.5. Ruajtja dhe lëmimi i manifoldeve të pandryshueshme (sipas Fenichel)
7.6. Familja e degjeneruar dhe lagjja e saj në hapësirën funksionale
7.7. Lindja e tori në hapësirën fazore tredimensionale
§ 8. Tërheqësit dhe bifurkacionet e tyre
8.1. Kompet e kufirit probabilistik (sipas Milnor)
8.2. Kufizoni statistikisht grupet
8.3. Bifurkacionet e brendshme dhe krizat e tërheqësve
8.4. Bifurkacionet e brendshme dhe krizat e pozicioneve dhe cikleve të ekuilibrit
8.5. Bifurkacionet e një torusi dydimensional
Kapitulli 4. Lëkundjet e relaksimit
§ 1. Konceptet bazë
1.1. Shembull. Ekuacioni Van der Pol
1.2. Lëvizje të shpejta dhe të ngadalta
1.3. Sipërfaqe e ngadaltë dhe ekuacion i ngadaltë
1.4. Lëvizja e ngadaltë si një përafrim i të trazuarit
1.5. Fenomeni stall
§ 2. Veçoritë e lëvizjeve të shpejta dhe të ngadalta
2.1. Veçoritë e lëvizjes së shpejtë në pikat e prishjes së sistemeve me një ndryshore të shpejtë
2.2. Karakteristikat e dizajnit të sipërfaqes së ngadaltë
2.3. Lëvizja e ngadaltë e sistemeve me një ndryshore të ngadaltë
2.4. Lëvizja e ngadaltë e sistemeve me dy ndryshore të ngadalta
2.5. Forma normale të kthesave të fazës me lëvizje të ngadaltë
2.6. Lidhja me teorinë e ekuacioneve nuk zgjidhet në lidhje me derivatin
2.7. Degjenerimi i strukturës së kontaktit
§ 3. Sjellja asimptotike e lëkundjeve të relaksimit
3.1. Sisteme të degjeneruara
3.2. Sistemet e para të përafrimit
3.3. Normalizimi i ekuacioneve shpejt-ngadalë me dy ndryshore të ngadalta për (?)>0
3.4. Derivimi i sistemeve të përafrimit të parë
3.5. Studimi i sistemeve të përafrimit të parë
3.6. Gypat
3.7. Lëkundjet periodike të relaksimit në një aeroplan
§ 4. Zgjatja e humbjes së stabilitetit kur një palë eigenvlerash kalon nëpër boshtin imagjinar
4.1. Sisteme tipike
4.2. Zgjatja e përkuljes
4.3. Ashpërsia e përkuljes në sistemet analitike të tipit 2
4.4. Histereza
4.5. Mekanizmi shtrëngues
4.6. Llogaritja e momentit të dështimit në sistemet analitike
4.7. Shtrëngimi gjatë ciklit të përkuljes
4.8. Shtrëngimi i humbjes së stabilitetit dhe "rosave"
§ 5. Zgjidhje rosë
5.1. Shembull: një pikë e vetme në një palosje të një sipërfaqe të ngadaltë
5.2. Ekzistenca e solucioneve rosë
5.3. Evolucioni i rosave të thjeshta të degjeneruara
5.4. Fenomeni gjysmë lokal: rosat me relaksim
5.5. Rosat dhe (?) dhe (?)
Lexim i rekomanduar
Letërsia