Procesul evolutiv este descris matematic de un câmp vectorial în spațiu fazelor(un spațiu abstract cu un număr de dimensiuni egal cu numărul de variabile care caracterizează starea sistemului). Punctul spațiului de fază specifică stat sisteme. Vectorul aplicat în acest punct indică rata de schimbare a stării. În cazul amortizarii, traiectorii de fază pentru orice valoare inițială se termină într-un punct, care corespunde repausului. În astfel de puncte vectorul poate dispărea. Astfel de puncte se numesc poziții de echilibru (starea nu se schimbă în timp). Traiectorii de fază creează pliuri în spațiul de fază.

Se numește regiunea spațiului de fază plină cu traiectorii haotice atractori ciudati.

Cea mai importantă proprietate a atractorilor ciudați este fractalitatea. Fractali- acestea sunt obiecte care prezintă un număr tot mai mare de detalii pe măsură ce cresc. Haosul generează fractali, iar traiectoria de fază a fractalilor are autoasemănarea, adică atunci când selectați două puncte apropiate pe traiectoria de fază a unui fractal și, ulterior, creșteți scara, traiectoria dintre aceste puncte se va dovedi a fi la fel de haotică ca întregul. Introducerea mulțimilor fractale face posibilă explicarea și prezicerea multor fenomene într-o mare varietate de domenii.

Imaginile matematice ale teoriei catastrofelor sunt realizate în câmpuri de undă. Locația geometrică a punctelor în care este focalizat câmpul de undă se numește caustică în optică. La traversarea causticelor, are loc o schimbare bruscă a stării sistemului. Momentul tranziției este determinat de proprietățile sistemului și de nivelul de fluctuație al acestuia. Există două principii în timpul tranziției: principiul întârzierii maxime, determinată de existenţa unui nivel stabil şi principiul lui Maxwell definirea stării sistemului printr-un minim global.

Secvența de bifurcații care are loc pe măsură ce dezechilibrul se adâncește în sistem se modifică, iar procesul va urma diferite scenarii (de exemplu, o tranziție de la flux laminar la cel turbulent).

După ce parametrul trece printr-o valoare de bifurcare corespunzătoare nașterii unui ciclu, sau apariției blânde a auto-oscilațiilor, sistemul rămâne în vecinătatea stării instabile pentru o perioadă de timp, timp în care parametrul se schimbă la o valoare finită. După aceasta, sistemul trece într-un mod auto-oscilator (care a devenit deja greu) în momentul bifurcării.

Figura 4 prezintă un portret de fază al unui sistem care descrie relația dintre prădător și pradă (să zicem, știuca și carasul). Spațiul de fază este cadranul pozitiv al planului. Numărul de caras este reprezentat de-a lungul axei absciselor, iar numărul de știuce este reprezentat de-a lungul axei ordonatelor. Punctul P este poziția de echilibru. Punctul A corespunde numărului de echilibru al carasului, numărul 16 de știuce fiind mai mic decât numărul de echilibru. Se poate observa că în timp se stabilesc oscilații în sistem; starea de echilibru Fig. Instabil. Oscilațiile în regim de echilibru sunt reprezentate printr-o curbă închisă pe planul de fază. Această curbă se numește ciclu limită.

În apropierea unui punct care nu este o poziție de echilibru, împărțirea spațiului de fază în curbe de fază este aranjată în același mod ca și partiția în linii paralele: o familie de curbe de fază poate fi transformată într-o familie de linii paralele prin schimbarea coordonatelor. În vecinătatea poziției de echilibru imaginea este mai complicată.

Fig.4. Portret de fază al evoluției sistemului „prădător-pradă”.

Sistemele care descriu procese evolutive reale sunt, de regulă, generale. Într-adevăr, un astfel de sistem depinde întotdeauna de parametri care nu sunt niciodată cunoscuți exact.

Managementul fără feedback duce întotdeauna la dezastre: este important ca indivizii și organizațiile care iau decizii responsabile să fie dependente personal și financiar de consecințele acestor decizii.

Dificultatea problemei restructurării este asociată cu neliniaritatea acesteia. Metodele convenționale de management, în care rezultatele sunt proporționale cu eforturile, nu funcționează aici și este necesar să se dezvolte în mod specific intuiție neliniară, pe baza concluziilor uneori paradoxale ale teoriei neliniare.

Iată câteva concluzii calitative simple din teoria matematică a rearanjamentelor în raport cu un sistem neliniar situat în stare staționară, recunoscut ca fiind rău, întrucât în ​​limitele vizibilității există o stare stabilă mai bună, preferabilă a sistemului.

1. Mișcarea treptată către o stare mai bună duce imediat la deteriorare. Crește rata de deteriorare cu o mișcare uniformă către o stare mai bună.

2. Pe măsură ce treceți de la o stare mai proastă la una mai bună, rezistența sistemului la schimbarea stării crește.

3. Rezistența maximă este atinsă înainte de starea cea mai proastă, care trebuie trecută pentru a obține cea mai bună stare. După trecerea rezistenței maxime, starea continuă să se deterioreze.

4. Pe măsură ce te apropii de starea cea mai proastă pe calea restructurării, rezistența, începând de la un moment dat, începe să scadă, iar de îndată ce trece cea mai proastă stare, nu numai că rezistența dispare complet, dar sistemul începe să fie atras la o stare mai bună.

5. Cantitatea de deteriorare necesară pentru a trece la o stare mai bună este comparabilă cu îmbunătățirea finală și crește pe măsură ce sistemul se îmbunătățește. Un sistem slab dezvoltat poate trece la o stare mai bună fără aproape nicio deteriorare prealabilă, în timp ce un sistem dezvoltat, datorită stabilității sale, este incapabil de o astfel de îmbunătățire graduală, continuă.

6. Dacă sistemul poate fi transferat imediat, brusc și nu continuu dintr-o stare proastă stabilă suficient de apropiată la una bună, atunci va evolua de la sine către o stare bună.

Fără o teorie matematică a restructurării, controlul conștient al sistemelor neliniare complexe și puțin cunoscute este practic imposibil. Cu toate acestea, nu este necesară nicio teorie matematică specială pentru a înțelege că neglijarea legilor naturii și ale societății (fie ea legea gravitației, legea valorii sau nevoia de feedback), o scădere a competenței specialiștilor și o lipsă de competențe personale. responsabilitatea pentru deciziile luate duce mai devreme sau mai târziu la dezastru.

Revizuire

Bifurcarea este dobândirea unei noi calități în mișcările unui sistem dinamic cu o mică modificare a parametrilor acestuia.

Conceptul central al teoriei bifurcațiilor este conceptul de sistem (ne)grund (vezi mai jos). Luăm orice sistem dinamic și luăm în considerare o astfel de familie (multi-)parametrică de sisteme dinamice încât sistemul original să fie obținut ca caz special - pentru orice valoare a parametrului (parametrilor). Dacă, cu valorile parametrilor suficient de apropiate de cea dată, se păstrează o imagine calitativă a împărțirii spațiului de fază în traiectorii, atunci un astfel de sistem se numește stare brută. În caz contrar, dacă un astfel de cartier nu există, atunci sistemul este apelat nu aspru.

Astfel, în spațiul parametrilor, apar regiuni de sisteme brute, care sunt separate de suprafețe formate din sisteme non-brutale. Teoria bifurcațiilor studiază dependența unei imagini calitative de o modificare continuă a unui parametru de-a lungul unei anumite curbe. Se numește schema prin care se modifică imaginea calitativă diagrama de bifurcație.

Principalele metode ale teoriei bifurcațiilor sunt metodele teoriei perturbațiilor. În special, se aplică metoda parametrilor mici(Pontriagina).

Bifurcarea echilibrelor

În sistemele mecanice, de regulă, mișcările în regim de echilibru (poziții de echilibru sau echilibru relativ) depind de parametri. Valorile parametrilor la care se observă o modificare a numărului de echilibre se numesc lor valorile de bifurcație. Se numesc curbe sau suprafețe care descriu seturi de echilibre în spațiul stărilor și parametrilor curbe de bifurcație sau suprafețe de bifurcație. Trecerea unui parametru printr-o valoare de bifurcare este, de regulă, însoțită de o modificare a proprietăților de stabilitate ale echilibrelor. Bifurcațiile echilibrelor pot fi însoțite de nașterea mișcărilor periodice și a altor mișcări mai complexe.

Noțiuni de bază

Vezi si

Literatură

1. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. M., Mayer A. G. Teoria bifurcațiilor sistemelor dinamice pe un plan. M.: Nauka, 1967.
2. Bautin N. N., Leontovich E. A. Metode și tehnici pentru cercetarea calitativă a sistemelor dinamice pe un plan. M.: Știință. Ch. ed. fizica si matematica lit., 1990. 488 p. (Biblioteca de referință la matematică.)
3. Chetaev N. G. Stabilitatea mișcării. M.: Știință. 1955.

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „Teoria bifurcației” în alte dicționare:

Teoria catastrofelor este o ramură a matematicii care include teoria bifurcațiilor ecuațiilor diferențiale (sisteme dinamice) și teoria singularităților mapărilor netede. Termenii „catastrofă” și „teoria catastrofei” au fost introduși de René Thom și... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Teoria catastrofei (sensuri). Teoria catastrofelor este o ramură a matematicii care include teoria bifurcațiilor ecuațiilor diferențiale (sisteme dinamice) și teoria singularităților netedei... ... Wikipedia

Teoria catastrofei: Teoria catastrofei este o ramură a matematicii care include teoria bifurcațiilor ecuațiilor diferențiale (sisteme dinamice) și teoria singularităților mapărilor netede. Sistemul catastrofismului (teoria catastrofei)... ... Wikipedia

Articolul principal: Teoria bifurcațiilor O cascadă de bifurcații (scenariu Feigenbaum sau scenariul de dublare a perioadei) este unul dintre scenariile tipice pentru trecerea de la ordine la haos, de la un regim periodic simplu la unul aperiodic complex cu ... ... Wikipedia

Un set de aplicații ale teoriei singularităților mapărilor diferențiabile (netede) de H. Whitney și teoria bifurcațiilor de A. Poincare și A. A. Andronov. Nume introdus de R. Thorn în 1972. K. t. aplicat geom. si fizic...... Enciclopedie fizică

BIFURCARE, dobândirea unei noi calități în mișcările unui sistem dinamic cu o mică modificare a parametrilor acestuia. Bazele teoriei bifurcației au fost puse la început de A. Poincaré și A. M. Lyapunov. al XX-lea, apoi această teorie a fost dezvoltată de A. A. Andronov și studenții săi... Dicţionar enciclopedic

- (din grecescul katastrophe turn, revolution), 1) un set de aplicații ale teoriei singularităților mapărilor netede (diferențiabile) și ale teoriei bifurcațiilor. Deoarece hărțile netede sunt omniprezente, singularitățile lor sunt omniprezente... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Wikipedia are articole despre alte persoane cu acest nume de familie, vezi Yudovich. Victor Iosifovich Yudovici Data nașterii: 4 octombrie 1934 (1934 10 04) Locul nașterii: Tbilisi, URSS Data morții ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Coada de rândunică. O coadă de rândunică este o suprafață neregulată în spațiul tridimensional, care poate fi definită în mai multe moduri echivalente. Să luăm în considerare... ... Wikipedia

Articolul principal: Teoria bifurcațiilor Constanta lui Feigenbaum este o constantă universală care caracterizează o cascadă infinită de bifurcații de dublare a perioadei în timpul tranziției către haosul determinist (scenariul lui Feigenbaum). Descoperit de Mitchell... ... Wikipedia

Bifurcare

Bifurcația își are rădăcinile din cuvântul latin bifurcus – bifurcat – folosit pentru a desemna diverse procese din diverse domenii științifice. Frumusețea sistemelor complexe este comportamentul lor dinamic și dezvoltarea constantă. Pentru ca un sistem să se dezvolte, este necesară o tranziție de la o stare la alta. Tranziția în sine se numește bifurcație. Acest termen a fost introdus pentru a desemna un proces similar de către L. Poincaré. În ciuda domeniului larg de utilizare a acestui termen, acesta descrie de fapt același proces. O generalizare vagă a diferitelor surse conduce la următoarea definiție: bifurcarea este un proces în care un sistem se mișcă într-o stare stabilă și la un moment dat starea sa devine instabilă, în urma căreia continuă să se dezvolte nu de-a lungul vechii traiectorii, ci de-a lungul a două noi. Grafic arată așa.

Graficul arată că în timpul dezvoltării sistemului în timp (t), la un anumit punct, desemnat ca punct de bifurcare, sistemul, în loc de o stare stabilă, capătă două noi stări stabile, iar apoi acest proces se repetă de obicei. Există multe exemple diferite de bifurcare: bifurcarea râului - împărțirea albiei unui râu și a văii acestuia în două ramuri, care ulterior nu se contopesc și nu se varsă în bazine diferite; în medicină - împărțirea unui organ tubular (vas sau bronhie) în 2 ramuri de același calibru, extinzându-se în lateral în aceleași unghiuri; bifurcare mecanică - dobândirea unei noi calități în mișcările unui sistem dinamic cu o mică modificare a parametrilor acestuia; împărțirea claselor superioare ale instituției de învățământ în două departamente; bifurcarea timp-spațiu (în science fiction) - împărțirea timpului în mai multe fluxuri, în fiecare dintre ele apar propriile evenimente. În paralel timp-spațiu, eroii au vieți diferite.

Poate că este timpul să trecem la clasificarea bifurcațiilor și apoi la teoria catastrofelor.

Bifurcațiile sunt clasificate în moaleȘi greu.

Bifurcație moale- aceasta este o tranziție de la o stare stabilă la alta, în timp ce noua stare stabilă este în imediata apropiere a celei inițiale. Acestea. calitativ nu există diferențe semnificative foarte vizibile.

O bifurcație dură este o bifurcație, în urma căreia sistemul dobândește o stare stabilă calitativ nouă, care nu este similară cu cea originală.

Figura arată că, cu o mică modificare a parametrului, sistemul selectează un nou mod, care nu mai este în imediata apropiere a celui inițial și, prin urmare, are diferențe calitative. Bifurcațiile rigide au stat la baza teoriei catastrofelor.

Teoria catastrofei

Este posibil să se dovedească inevitabilitatea unor dezastre, cum ar fi boala sau moartea. Cunoașterea nu va fi neapărat o promisiune de succes sau de supraviețuire: poate duce și la certitudinea eșecului nostru, a sfârșitului nostru.

RENEE TOMA

Înainte de a pătrunde în esența teoriei dezastrelor, este necesar să înțelegem relevanța acestui subiect. Primul lucru pe care îl consider necesar să remarc sunt realizările existente în acest domeniu. În primul rând, conceptele filozofice despre predeterminarea universală și-au pierdut orice semnificație, ceea ce a dat speranță pentru oportunitatea de a influența presupusele transformări radicale ale situației. Odată cu speranța a venit și conștientizarea responsabilității pentru ceea ce se întâmplă, pentru dezechilibrul din natură, societate sau pentru lipsa de armonie de acolo. Rămâne problema furnizării acestor informații cât mai multor persoane; în plus, important nu este faptul că oamenii primesc aceste informații, ci faptul de a conștientiza și percepe această concluzie ca un stimulent la acțiune. Din păcate, aceasta este mai degrabă o utopie, așa că, în timp ce continuăm să reflectăm asupra beneficiilor teoriei, nu trebuie să uităm că termenul „catastrofă” nu reprezintă o viziune de zi cu zi a acestui eveniment. Un dezastru în acest caz este pur și simplu o schimbare fundamentală în sistemul existent. Sarcina principală, așa cum înțelegem acum, este doar să ghicim corect momentul și direcția acțiunii. În plus, acest fapt ne oferă posibilitatea de a presupune că chiar și cea mai fără speranță - un semn al unei „catastrofe” iminente înseamnă doar schimbare, și nu Armaghedon.

Există destul de multe exemple istorice când eforturile minime aplicate la momentul potrivit au fost suficiente pentru a întoarce totul „cu susul în jos”. Desigur, nu toate încercările de a „schimba lumea” s-au adeverit. Desigur, asta depinde de calitatea încercărilor făcute, dar timpul și locul a ceea ce se întâmplă joacă un rol important. Dacă „primiți momentul” corect, atunci chiar și cu cea mai lipsită de sens puteți obține schimbări radicale, iar dacă nu, atunci nici cel mai ingenios gând nu va schimba situația. Pentru a putea determina distanța sistemului până la punctul de catastrofă (și anume, la trecerea prin aceste puncte se întâmplă cel mai interesant lucru), trebuie să munciți din greu și să găsiți dependența sistemului de parametrii externi în modelele matematice. , dar mă îndoiesc că cineva a făcut acest lucru, mai degrabă aceasta este apanajul viitorului.

Cum să recunoaștem abordarea unui sistem de puncte critice? Există așa ceva ca „steaguri de dezastru” - caracteristici ale comportamentului sistemului prin care acest lucru poate fi determinat. Iată-le: prezența mai multor stări stabile, existența unor stări instabile din care sistemul încearcă să iasă, posibilitatea unei schimbări rapide a sistemului cu modificări minore ale parametrilor externi, ireversibilitatea sistemului

Cred că toată lumea se poate numi un exemplu exhaustiv. Este evident că o persoană este un sistem complex, la fel ca și viața lui. În unele momente, un individ se confruntă cu o alegere care îi va determina viitorul într-o măsură destul de semnificativă (alegerea locului de studiu, a muncii, a locului de reședință etc.). În același timp, se observă o „stare instabilă”, inerentă oricărei ființe umane, doar în grade diferite (aici este al doilea steag). De regulă, după ce a depășit „primul steag”, ținând constant pe al doilea în mână, o persoană se află față în față cu „al treilea steag”, adaptându-l cu alegerea sa. Odată luată o decizie, de regulă, nu există întoarcere, iar acesta este un semn sigur că ați lovit „al patrulea steag”. Dacă un om de știință descoperă unul dintre aceste semne, atunci nu îi va fi greu să ajungă la restul. Trebuie remarcat faptul că acesta nu este singurul set posibil de „steaguri”.

Teoria este foarte diferită de practică prin faptul că nu poate lua nicio măsură dacă se întâmplă ceva. Dar este destul de capabil să înțeleagă și să explice fenomenele pe care le întâlnim în viața reală. În sensul cotidian, un dezastru sau haos este ceva distructiv, neapărat fatal și absolut incontrolabil și inexplicabil. După cum afirmă doctorul în științe fizice și matematice A. Chulichkov: „Din punctul de vedere al matematicii, catastrofa și haosul nu sunt neapărat prăbușirea tuturor speranțelor sau vreo altă nenorocire.” și înclin să-l cred. Ce este o „catastrofă” în acest caz? Pentru o schimbare, voi cita un alt om de știință - V.I. Arnold: „ Dezastre sunt numite schimbări bruște care apar sub forma unui răspuns brusc al sistemului la o schimbare lină a condițiilor externe.” Sarcina principală a teoriei este să nu te încurci într-o astfel de situație (în ajunul unei crize) și să găsești pasul potrivit care să ajute nu numai să nu strici situația, ci și să ademenești Lady Luck de partea ta. Și pentru a începe să vină cu un plan pentru a profita de norocul la timp, există mesageri ai unei alte entități mitice - soarta. Ne-am uitat la ele mai devreme și am aflat că se numesc „steaguri de dezastru”. Tot ce rămâne este să înveți să operezi cu aceste informații, iar apoi drumul către un viitor luminos este garantat, precum și relații de prietenie cu frumoasele doamne - Soarta și Norocul.

După cum s-a spus la început, teoria catastrofei ne oferă o idee despre scenariile de desfășurare a evenimentelor după ce a trecut o anumită etapă din viața unui sistem complex. Ziman, în răspunsul său la Rene Thom, a identificat șapte tipuri de dezastre.

Nu voi aprofunda teoria dezastrelor, deoarece scopul principal al acestei lucrări este de a separa conceptele de „dezastru” și „catastrofă”. Și nu doar să le descrieți și să le clasificați, ci să aflați motivul atâtor studii pe acest subiect și să luați în considerare rezultatele muncii depuse.

Prefaţă
Capitolul 1. Bifurcaţiile poziţiilor de echilibru
§ 1. Familii şi deformaţii
1.1. Familii de câmpuri vectoriale
1.2. Spațiu de avioane
1.3. Lema lui Sard și teoremele de transversalitate
1.4. Cele mai simple aplicații: puncte singulare ale câmpurilor vectoriale tipice
1.5. Deformari nerealiste din punct de vedere topologic
1.6. Teorema reducerii
1.7. Familii tipice și principale
§ 2. Bifurcaţii de puncte singulare în familii tipice cu un parametru
2.1. Lăstarii tipice și familiile principale
2.2. flambaj moale și dur
§ 3. Bifurcații de puncte singulare în familii multiparametrice de poziție generală cu o singură degenerare a părții liniare
3.1. Familiile principale
3.2. Diagramele de bifurcație ale familiilor principale (3±)
3.3. Diagrame de bifurcație (relativ la echivalența slabă) și portrete de fază ale familiilor principale (4±)
§ 4. Bifurcaţii de puncte singulare ale câmpurilor vectoriale cu dublă degenerare a părţii liniare
4.1. Lista degenereștilor
4.2. Două valori proprii booleene
4.3. Reduceri la sisteme bidimensionale
4.4. Zero și o pereche de valori proprii pur imaginare
4.5. Două perechi pur imaginare
4.6. Principalele deformații ale ecuațiilor de tip dificil în problema a două perechi imaginare (după Zholondek)
§ 5. Indicatori de flambaj moale și dur
5.1. Definiții
5.2. Tabelul indicatorilor
Capitolul 2. Bifurcațiile ciclurilor limită
§ 1. Bifurcaţii ale ciclurilor limită în familii tipice cu un parametru
1.1. Multiplicatorul 1
1.2. Multiplicatorul -1 și bifurcația de dublare a perioadei
1.3. O pereche de multiplicatori conjugați complexi
1.4. Bifurcații nelocale în familii cu un parametru de difeomorfisme
1.5. Bifurcații nelocale ale soluțiilor periodice
1.6. Bifurcații de dezintegrare a tori invarianți
§ 2. Bifurcații de cicluri în familii tipice cu doi parametri cu o singură degenerare suplimentară
2.1. Lista degenereștilor
2.2. Multiplicator 1 sau -1 cu degenerare suplimentară în termeni neliniari
2.3. O pereche de multiplicatori pe cercul unitar cu degenerare suplimentară în termeni neliniari
§ 3. Bifurcații de cicluri în familii tipice cu doi parametri cu rezonanțe puternice de ordin (?)
3.1. Forma normală în cazul celulei iordaniene unipotente
3.2. Omogenizarea în folii Seifert și Möbius
3.3. Principalele câmpuri și deformații
3.4. Versalitatea deformațiilor principale
3.5. Bifurcații ale soluțiilor staționare ale ecuațiilor diferențiale periodice cu rezonanțe puternice de ordin (?)
§ 4. Bifurcații ale ciclurilor limită când o pereche de multiplicatori trece prin (?)
4.1. Familii degenerate
4.2. Familiile degenerate găsite analitic
4.3. Familii degenerate găsite numeric
4.4. Bifurcații în familii nedegenerate
4.5. Cicluri limită ale sistemelor cu simetrie de ordinul al patrulea
§ 5. Forme normale finit netede ale familiilor locale
5.1. Revizuirea rezultatelor
5.2. Definiții și exemple
5.3. Teoreme generale și deformații ale germenilor fără rezonanță
5.4. Reducere la forma normală liniară
5.5. Deformări ale germenilor de difeomorfisme de tip Poincaré
5.6. Deformări ale germenilor hiperbolici diorezoieni
5.7. Deformări ale germenilor, câmpuri vectoriale cu o valoare proprie zero la un punct singular
5.8. Invarianți funcționali ai difeomorfismelor de linii
5.9. Invarianți funcționali ai familiilor locale de difeomorfisme
5.10. -invarianţi funcţionali ai familiilor de câmpuri vectoriale
5.11. Invarianți funcționali ai clasificării topologice a familiilor locale de difeomorfisme de linii (după Russari)
§ 6. Universalitatea Feigenbaum pentru difeomorfisme și fluxuri
6.1. Cascada de dublari
6.2. Rearanjarea punctelor fixe
6.3. Cascada de (?)-ori crește în perioada
6.4. Dublarea în sistemele hamiltoniene
6.5. Operator de dublare pentru „mapări” unidimensionale
6.6. Mecanism universal de dublare pentru difeomorfisme
Capitolul 3. Bifurcații nonlocale
§ 1. Degenerarea codimensionii 1. Rezumatul rezultatelor
1.1. Bifurcații locale și non-locale
1.2. Puncte singulare non-hiperbolice
1.3. Cicluri non-hiperbolice
1.4. Intersecții netransversale ale varietăților
1.5. Contururi
1.6. Suprafețele de bifurcație
1.7. Caracteristicile bifurcațiilor
1.8. Rezumatul rezultatelor
§ 2. Bifurcaţii nelocale ale fluxurilor pe suprafeţe bidimensionale
2.1. Bifurcații semilocale ale fluxurilor pe suprafețe
2.2. Bifurcații nelocale pe o sferă; caz cu un parametru
2.3. Familii tipice de câmpuri vectoriale
2.4. Condiții de tipicitate
2.5. Familii cu un parametru pe alte suprafețe decât o sferă
2.6. Bifurcații globale ale sistemelor, cu o secantă globală pe tor
2.7. Câteva bifurcații globale pe sticla Klein
2.8. Bifurcații într-o sferă bidimensională. Caz multiparametru
2.9. Câteva întrebări deschise
§ 3. Bifurcaţii ale traiectoriilor homoclinice ale unui punct singular nehiperbolic
3.1. Înnodați-vă variabilele hiperbolice
3.2. Șaua în variabile hiperbolice: o traiectorie homoclinică
3.3. Diagrama topologică Bernoulli
3.4. Punctul de șa în variabile hiperbolice: mai multe traiectorii homoclinice
3.5. Familiile principale
§ 4. Bifurcaţiile traiectoriilor homoclinice4 şi un ciclu hiperbolic
4.1. Structura familiei traiectoriilor homocliene
4.2. Cicluri critice și necritice
4.3. Nașterea unui atractor bidimensional neted
4.4. Nașterea mulțimilor complexe invariante (caz non-critic)
4.5. Caz critic
4.6. Tranziție în două etape de la stabilitate la turbulență
4.7. Ansamblu necompact de traiectorii homoclinice
4.8. Intermitență
4.9. Accesibilitate, imposibilitate de atins
4.10. Stabilitatea familiilor de difeomorfisme
4.11. Câteva întrebări deschise
§ 5. Puncte singulare hiperbolice cu traiect homoclinic
5.1. Concepte preliminare: direcții de conducere și cantități de șa
5.2. Bifurcații ale traiectoriilor șai homocliene care apar la limita unui set de sisteme Morse-Smale
5.3. Cerințe de generalitate
5.4. Principalele familii din R3 și proprietățile acestora
5.5. Versatilitatea principalelor familii
5.6. Şa cu direcţie de conducere integrată în R3
5.7. Adăugare: bifurcații de bucle homocliene în afara „limitei setului de sisteme Morse-Smale
§ 6. Bifurcaţii asociate intersecţiilor netransversale
6.1. Câmpuri vectoriale fără contururi și traiectorii homoclinice
6.2. Teorema de inaccesibilitate
6.3. Module
6.4. Sisteme cu bucle
6.5. Difeomorfisme cu seturi de baze netriviale
6.6. Câmpuri vectoriale în R3 cu traiectorie ciclului homoclian
6.7. Dinamica simbolică
6.8. Bifurcațiile „potcoavelor lui Smale”
6.9. Câmpuri vectoriale pe o suprafață de bifurcație
6.10. Difeomorfisme cu un set infinit de traiectorii periodice stabile
§ 7. Seturi infinite nerătăcitoare
7.1. Câmpuri vectoriale pe un tor bidimensional
7.2. Bifurcații de sisteme cu două curbe de șa homocliene
7.3. Sisteme cu atractori Feigenbaum
7.4. Nașterea decorurilor nerătăcitoare
7.5. Conservarea și netezimea varietăților invariante (după Fenichel)
7.6. Familia degenerată și vecinătatea ei în spațiul funcțional
7.7. Nașterea lui tori în spațiul de fază tridimensional
§ 8. Atractoare şi bifurcaţiile lor
8.1. Seturi de limite probabilistice (după Milnor)
8.2. Seturi de limite statistic
8.3. Bifurcații interne și crize ale atractorilor
8.4. Bifurcații interne și crize de poziții și cicluri de echilibru
8.5. Bifurcațiile unui tor bidimensional
Capitolul 4. Oscilații de relaxare
§ 1. Concepte de bază
1.1. Exemplu. Ecuația Van der Pol
1.2. Mișcări rapide și lente
1.3. Suprafață lentă și ecuație lentă
1.4. Mișcarea lentă ca o aproximare a perturbatului
1.5. Fenomen de blocaj
§ 2. Caracteristici ale mișcărilor rapide și lente
2.1. Particularități ale mișcării rapide în punctele de avarie ale sistemelor cu o variabilă rapidă
2.2. Caracteristici de proiectare lentă a suprafeței
2.3. Mișcarea lentă a sistemelor cu o variabilă lentă
2.4. Mișcarea lentă a sistemelor cu două variabile lente
2.5. Forme normale ale curbelor de fază cu mișcare lentă
2.6. Legătura cu teoria ecuațiilor nerezolvată în raport cu derivata
2.7. Degenerarea structurii de contact
§ 3. Comportamentul asimptotic al oscilaţiilor de relaxare
3.1. Sisteme degenerate
3.2. Sisteme de prima aproximare
3.3. Normalizarea ecuațiilor rapid-lent cu două variabile lente pentru (?)>0
3.4. Derivarea sistemelor de prima aproximare
3.5. Studiul sistemelor de prima aproximare
3.6. Pâlnii
3.7. Oscilații periodice de relaxare pe un plan
§ 4. Prelungirea pierderii stabilității atunci când o pereche de valori proprii trece prin axa imaginară
4.1. Sisteme tipice
4.2. Prelungirea flambajului
4.3. Severitatea flambajului în sistemele analitice de tip 2
4.4. Histerezis
4.5. Mecanism de strângere
4.6. Calculul momentului de defectare în sistemele analitice
4.7. Strângerea la ciclul de flambaj
4.8. Strângerea pierderii stabilității și a „rațelor”
§ 5. Soluții de rață
5.1. Exemplu: un punct singular pe un pliu al unei suprafețe lente
5.2. Existența soluțiilor de rață
5.3. Evoluția rațelor simple degenerate
5.4. Fenomen semi-local: rațe cu relaxare
5.5. Rațe și (?) și (?)
Lectură recomandată
Literatură