Η εξελικτική διαδικασία περιγράφεται μαθηματικά από ένα διανυσματικό πεδίο στο χώρος φάσης(αφηρημένος χώρος με αριθμό διαστάσεων ίσο με τον αριθμό των μεταβλητών που χαρακτηρίζουν την κατάσταση του συστήματος). Το σημείο του χώρου φάσης καθορίζει κατάστασησυστήματα. Το διάνυσμα που εφαρμόζεται σε αυτό το σημείο δείχνει το ρυθμό μεταβολής της κατάστασης. Στην περίπτωση απόσβεσης, οι τροχιές φάσης για τυχόν αρχικές τιμές τελειώνουν σε ένα σημείο, το οποίο αντιστοιχεί σε ηρεμία. Σε τέτοια σημεία το διάνυσμα μπορεί να εξαφανιστεί. Τέτοια σημεία ονομάζονται θέσεις ισορροπίας (η κατάσταση δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου). Οι τροχιές φάσεων δημιουργούν πτυχές εντός του χώρου φάσης.

Η περιοχή του χώρου φάσης που είναι γεμάτη με χαοτικές τροχιές ονομάζεται παράξενοι ελκυστές.

Η πιο σημαντική ιδιότητα των παράξενων ελκυστών είναι η fractality. Φράκταλ- αυτά είναι αντικείμενα που παρουσιάζουν αυξανόμενο αριθμό λεπτομερειών καθώς αυξάνονται. Το χάος δημιουργεί φράκταλ και η τροχιά φάσης των φράκταλ έχει αυτο-ομοιότητα, δηλ. όταν επιλέγετε δύο κοντινά σημεία στην τροχιά φάσης ενός φράκταλ και στη συνέχεια αυξάνετε την κλίμακα, η τροχιά μεταξύ αυτών των σημείων θα αποδειχθεί τόσο χαοτική όσο το σύνολο. Η εισαγωγή των συνόλων φράκταλ καθιστά δυνατή την εξήγηση και την πρόβλεψη πολλών φαινομένων σε μια μεγάλη ποικιλία πεδίων.

Οι μαθηματικές εικόνες της θεωρίας των καταστροφών πραγματοποιούνται σε κυματικά πεδία. Η γεωμετρική θέση των σημείων στα οποία εστιάζεται το κυματικό πεδίο ονομάζεται καυστική στην οπτική. Κατά τη διασταύρωση καυστικών, εμφανίζεται μια απότομη αλλαγή στην κατάσταση του συστήματος. Η στιγμή της μετάβασης καθορίζεται από τις ιδιότητες του συστήματος και το επίπεδο διακύμανσης σε αυτό. Υπάρχουν δύο αρχές κατά τη μετάβαση: την αρχή της μέγιστης καθυστέρησης,καθορίζεται από την ύπαρξη ενός σταθερού επιπέδου, και Αρχή Maxwellορίζοντας την κατάσταση του συστήματος με ένα συνολικό ελάχιστο.

Η ακολουθία των διακλαδώσεων που εμφανίζεται καθώς η ανισορροπία βαθαίνει στο σύστημα αλλάζει και η διαδικασία θα ακολουθήσει διαφορετικά σενάρια (για παράδειγμα, μετάβαση από τη στρωτή στην τυρβώδη ροή).

Αφού η παράμετρος περάσει από μια τιμή διακλάδωσης που αντιστοιχεί στη γέννηση ενός κύκλου ή την ήπια εμφάνιση αυτοταλαντώσεων, το σύστημα παραμένει κοντά στην ασταθή κατάσταση για κάποιο χρονικό διάστημα, κατά τη διάρκεια του οποίου η παράμετρος αλλάζει σε μια πεπερασμένη τιμή. Μετά από αυτό, το σύστημα μεταβαίνει σε λειτουργία αυτοταλάντωσης (η οποία έχει ήδη γίνει σκληρή) τη στιγμή της διχοτόμησης.

Το σχήμα 4 δείχνει ένα πορτρέτο φάσης ενός συστήματος που περιγράφει τη σχέση μεταξύ αρπακτικού και θηράματος (ας πούμε, λούτσος και σταυροειδές κυπρίνος). Ο χώρος φάσης είναι το θετικό τεταρτημόριο του επιπέδου. Ο αριθμός του σταυροειδούς κυπρίνου σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και ο αριθμός των λούτσων κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων. Το σημείο P είναι η θέση ισορροπίας. Το σημείο Α αντιστοιχεί στον αριθμό ισορροπίας του σταυροειδούς κυπρίνου με 16 αριθμούς λούτσων να είναι μικρότεροι από τον αριθμό ισορροπίας. Μπορεί να φανεί ότι με την πάροδο του χρόνου, δημιουργούνται ταλαντώσεις στο σύστημα. κατάσταση ισορροπίας Εικ. Ασταθής. Οι ταλαντώσεις σταθερής κατάστασης αντιπροσωπεύονται από μια κλειστή καμπύλη επάνω επίπεδο φάσης. Αυτή η καμπύλη ονομάζεται οριακός κύκλος.

Στη γειτονιά ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε θέση ισορροπίας, η κατανομή του χώρου φάσης σε καμπύλες φάσης είναι διατεταγμένη με τον ίδιο τρόπο όπως η κατάτμηση σε παράλληλες γραμμές: μια οικογένεια καμπυλών φάσης μπορεί να μετατραπεί σε οικογένεια παράλληλων γραμμών αλλαγή συντεταγμένων. Στην περιοχή της θέσης ισορροπίας η εικόνα είναι πιο περίπλοκη.

Εικ.4. Φάση πορτρέτο της εξέλιξης του συστήματος «αρπακτικών-θηραμάτων».

Τα συστήματα που περιγράφουν πραγματικές εξελικτικές διαδικασίες είναι, κατά κανόνα, γενικά. Πράγματι, ένα τέτοιο σύστημα εξαρτάται πάντα από παραμέτρους που ποτέ δεν είναι γνωστές ακριβώς.

Η διαχείριση χωρίς ανατροφοδότηση οδηγεί πάντα σε καταστροφές: είναι σημαντικό τα άτομα και οι οργανισμοί που λαμβάνουν υπεύθυνες αποφάσεις να εξαρτώνται προσωπικά και οικονομικά από τις συνέπειες αυτών των αποφάσεων.

Η δυσκολία του προβλήματος της αναδιάρθρωσης συνδέεται με τη μη γραμμικότητά του. Οι συμβατικές μέθοδοι διαχείρισης, στις οποίες τα αποτελέσματα είναι ανάλογα με τις προσπάθειες, δεν λειτουργούν εδώ και είναι απαραίτητο να αναπτυχθούν ειδικά μη γραμμική διαίσθηση,με βάση μερικές φορές παράδοξα συμπεράσματα της μη γραμμικής θεωρίας.

Ακολουθούν ορισμένα ποιοτικά απλά συμπεράσματα από τη μαθηματική θεωρία των αναδιατάξεων σε σχέση με ένα μη γραμμικό σύστημα που βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση, που αναγνωρίζεται ως κακό, αφού εντός των ορίων της ορατότητας υπάρχει μια καλύτερη, προτιμότερη σταθερή κατάσταση του συστήματος.

1. Η σταδιακή κίνηση προς μια καλύτερη κατάσταση οδηγεί αμέσως σε επιδείνωση. Ο ρυθμός επιδείνωσης με ομοιόμορφη κίνηση προς μια καλύτερη κατάσταση αυξάνεται.

2. Καθώς μετακινείστε από μια χειρότερη κατάσταση σε μια καλύτερη, η αντίσταση του συστήματος στην αλλαγή της κατάστασής του αυξάνεται.

3. Η μέγιστη αντίσταση επιτυγχάνεται πριν από τη χειρότερη κατάσταση, η οποία πρέπει να περάσει για να επιτευχθεί η καλύτερη κατάσταση. Αφού περάσετε τη μέγιστη αντίσταση, η κατάσταση συνεχίζει να επιδεινώνεται.

4. Καθώς πλησιάζετε τη χειρότερη κατάσταση στο μονοπάτι της αναδιάρθρωσης, η αντίσταση, ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη στιγμή, αρχίζει να μειώνεται, και μόλις περάσει η χειρότερη κατάσταση, όχι μόνο η αντίσταση εξαφανίζεται εντελώς, αλλά το σύστημα αρχίζει να έλκεται σε μια καλύτερη κατάσταση.

5. Το μέγεθος της φθοράς που απαιτείται για τη μετάβαση σε καλύτερη κατάσταση είναι συγκρίσιμο με την τελική βελτίωση και αυξάνεται καθώς βελτιώνεται το σύστημα. Ένα ανεπαρκώς ανεπτυγμένο σύστημα μπορεί να μεταβεί σε καλύτερη κατάσταση χωρίς σχεδόν καμία προηγούμενη φθορά, ενώ ένα ανεπτυγμένο σύστημα, λόγω της σταθερότητάς του, είναι ανίκανο για τέτοια σταδιακή, συνεχή βελτίωση.

6. Εάν το σύστημα μπορεί να μεταφερθεί αμέσως, απότομα και όχι συνεχώς, από μια κακή σταθερή κατάσταση αρκετά κοντά σε μια καλή, τότε θα εξελιχθεί από μόνο του προς μια καλή κατάσταση.

Χωρίς μια μαθηματική θεωρία αναδιάρθρωσης, ο συνειδητός έλεγχος πολύπλοκων και ελάχιστα γνωστών μη γραμμικών συστημάτων είναι πρακτικά αδύνατος. Ωστόσο, δεν απαιτείται ειδική μαθηματική θεωρία για να κατανοήσουμε ότι η παραμέληση των νόμων της φύσης και της κοινωνίας (είτε είναι ο νόμος της βαρύτητας, ο νόμος της αξίας ή η ανάγκη για ανατροφοδότηση), η μείωση των ικανοτήτων των ειδικών και η έλλειψη προσωπικών Η ευθύνη για τις αποφάσεις που λαμβάνονται οδηγεί αργά ή γρήγορα στην καταστροφή.

Ανασκόπηση

Διχοτόμηση είναι η απόκτηση μιας νέας ποιότητας στις κινήσεις ενός δυναμικού συστήματος με μια μικρή αλλαγή στις παραμέτρους του.

Η κεντρική έννοια της θεωρίας διακλάδωσης είναι η έννοια του (μη) τραχιού συστήματος (βλ. παρακάτω). Παίρνουμε οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα και θεωρούμε μια τέτοια οικογένεια (πολλαπλών) παραμέτρων δυναμικών συστημάτων που το αρχικό σύστημα λαμβάνεται ως ειδική περίπτωση - για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου (παραμέτρων). Εάν, με τιμές παραμέτρων αρκετά κοντά στη δεδομένη, διατηρείται μια ποιοτική εικόνα της διαίρεσης του χώρου φάσης σε τροχιές, τότε ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται τραχύς. Διαφορετικά, αν δεν υπάρχει τέτοια γειτονιά, τότε καλείται το σύστημα όχι τραχύ.

Έτσι, στον χώρο των παραμέτρων προκύπτουν περιοχές ακατέργαστων συστημάτων, οι οποίες διαχωρίζονται από επιφάνειες που αποτελούνται από μη τραχιά συστήματα. Η θεωρία των διακλαδώσεων μελετά την εξάρτηση μιας ποιοτικής εικόνας από μια συνεχή αλλαγή μιας παραμέτρου κατά μήκος μιας ορισμένης καμπύλης. Το σχήμα με το οποίο αλλάζει η ποιοτική εικόνα ονομάζεται διάγραμμα διακλάδωσης.

Οι κύριες μέθοδοι της θεωρίας των διακλαδώσεων είναι οι μέθοδοι της θεωρίας των διαταραχών. Ειδικότερα, ισχύει μέθοδος μικρής παραμέτρου(Ποντρυαγίνα).

Διχασμός ισορροπιών

Στα μηχανικά συστήματα, κατά κανόνα, οι κινήσεις σταθερής κατάστασης (θέσεις ισορροπίας ή σχετική ισορροπία) εξαρτώνται από παραμέτρους. Οι τιμές των παραμέτρων στις οποίες παρατηρείται μια αλλαγή στον αριθμό των ισορροπιών ονομάζονται δικές τους τιμές διακλάδωσης. Οι καμπύλες ή οι επιφάνειες που απεικονίζουν σύνολα ισορροπιών στο χώρο των καταστάσεων και των παραμέτρων ονομάζονται καμπύλες διακλάδωσηςή επιφάνειες διακλάδωσης. Το πέρασμα μιας παραμέτρου μέσα από μια τιμή διακλάδωσης συνοδεύεται κατά κανόνα από αλλαγή στις ιδιότητες σταθερότητας των ισορροπιών. Οι διακλαδώσεις των ισορροπιών μπορεί να συνοδεύονται από τη γέννηση περιοδικών και άλλων, πιο πολύπλοκων κινήσεων.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

1. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. M., Mayer A. G. Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane. Μ.: Nauka, 1967.
2. Bautin N. N., Leontovich E. A. Μέθοδοι και τεχνικές για την ποιοτική έρευνα δυναμικών συστημάτων σε επίπεδο. Μ.: Επιστήμη. Ch. εκδ. φυσική και μαθηματικά λιτ., 1990. 488 σελ. (Βιβλιοθήκη αναφοράς μαθηματικών.)
3. Chetaev N. G. Σταθερότητα κίνησης. Μ.: Επιστήμη. 1955.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι η «Θεωρία διχασμού» σε άλλα λεξικά:

Η θεωρία καταστροφών είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που περιλαμβάνει τη θεωρία των διακλαδώσεων των διαφορικών εξισώσεων (δυναμικά συστήματα) και τη θεωρία των ιδιομορφιών των ομαλών αντιστοιχίσεων. Οι όροι «καταστροφή» και «θεωρία καταστροφών» εισήχθησαν από τον René Thom και... ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Θεωρία καταστροφών (έννοιες). Η θεωρία καταστροφών είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που περιλαμβάνει τη θεωρία των διακλαδώσεων των διαφορικών εξισώσεων (δυναμικά συστήματα) και τη θεωρία των ιδιομορφιών ομαλών... ... Wikipedia

Θεωρία καταστροφών: Η θεωρία καταστροφών είναι κλάδος των μαθηματικών που περιλαμβάνει τη θεωρία των διακλαδώσεων των διαφορικών εξισώσεων (δυναμικά συστήματα) και τη θεωρία των ιδιομορφιών των ομαλών αντιστοιχίσεων. Καταστροφισμός (θεωρία καταστροφών) σύστημα... ... Wikipedia

Κύριο άρθρο: Θεωρία διακλαδώσεων Ένας καταρράκτης διακλαδώσεων (ακολουθία Feigenbaum ή σενάριο διπλασιασμού περιόδου) είναι ένα από τα τυπικά σενάρια για τη μετάβαση από την τάξη στο χάος, από ένα απλό περιοδικό καθεστώς σε ένα σύνθετο απεριοδικό με ... ... Wikipedia

Ένα σύνολο εφαρμογών της θεωρίας των ιδιομορφιών των διαφοροποιήσιμων (ομαλών) αντιστοιχίσεων του H. Whitney και της θεωρίας των διακλαδώσεων των A. Poincare και A. A. Andronov. Ονομα που εισήχθη από τον R. Thorn το 1972. K. t. εφαρμοστεί στο geom. και σωματική...... Φυσική εγκυκλοπαίδεια

ΔΙΑΧΩΡΗΣΗ, η απόκτηση νέας ποιότητας στις κινήσεις ενός δυναμικού συστήματος με μικρή αλλαγή στις παραμέτρους του. Τα θεμέλια της θεωρίας της διχοτόμησης τέθηκαν από τους A. Poincaré και A. M. Lyapunov στην αρχή. 20ος αιώνας, τότε αυτή η θεωρία αναπτύχθηκε από τον A. A. Andronov και τους μαθητές του... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

- (από την ελληνική καταστροφή στροφή, επανάσταση), 1) ένα σύνολο εφαρμογών της θεωρίας των ιδιομορφιών των ομαλών (διαφοροποιήσιμων) αντιστοιχίσεων και της θεωρίας των διακλαδώσεων. Εφόσον οι ομαλοί χάρτες είναι πανταχού παρόντες, οι ιδιαιτερότητές τους είναι πανταχού παρούσες... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Η Wikipedia έχει άρθρα για άλλα άτομα με αυτό το επώνυμο, βλέπε Yudovich. Victor Iosifovich Yudovich Ημερομηνία γέννησης: 4 Οκτωβρίου 1934 (1934 10 04) Τόπος γέννησης: Τιφλίδα, ΕΣΣΔ Ημερομηνία θανάτου ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Dovetail. Η ουρά χελιδονιού είναι μια ακανόνιστη επιφάνεια σε τρισδιάστατο χώρο, η οποία μπορεί να οριστεί με πολλούς ισοδύναμους τρόπους. Ας αναλογιστούμε... ... Wikipedia

Κύριο άρθρο: Θεωρία των διακλαδώσεων Η σταθερά του Feigenbaum είναι μια καθολική σταθερά που χαρακτηρίζει έναν άπειρο καταρράκτη περιόδου που διπλασιάζει τις διακλαδώσεις κατά τη μετάβαση στο ντετερμινιστικό χάος (σενάριο Feigenbaum). Ανακαλύφθηκε από τον Mitchell... ... Wikipedia

Διακλάδωση

Η διχοτόμηση παίρνει τις ρίζες της από τη λατινική λέξη bifurcus - δισχιδής - που χρησιμοποιείται για να δηλώσει διάφορες διαδικασίες σε διάφορα επιστημονικά πεδία. Η ομορφιά των πολύπλοκων συστημάτων είναι η δυναμική συμπεριφορά και η συνεχής ανάπτυξή τους. Για να αναπτυχθεί ένα σύστημα, είναι απαραίτητη η μετάβαση από τη μια κατάσταση στην άλλη. Η ίδια η μετάβαση ονομάζεται διακλάδωση. Αυτός ο όρος εισήχθη για να προσδιορίσει μια παρόμοια διαδικασία από τον L. Poincaré. Παρά το ευρύ πεδίο χρήσης αυτού του όρου, στην πραγματικότητα περιγράφει την ίδια διαδικασία. Μια χαλαρή γενίκευση διαφόρων πηγών δίνει τον ακόλουθο ορισμό: η διχοτόμηση είναι μια διαδικασία όταν ένα σύστημα κινείται σε σταθερή κατάσταση και κάποια στιγμή η κατάστασή του γίνεται ασταθής, με αποτέλεσμα να συνεχίζει να αναπτύσσεται όχι κατά μήκος της παλιάς τροχιάς, αλλά κατά μήκος δύο καινούρια. Γραφικά μοιάζει με αυτό.

Το γράφημα δείχνει ότι κατά την ανάπτυξη του συστήματος στο χρόνο (t), σε ένα ορισμένο σημείο, που ορίζεται ως το σημείο διχοτόμησης, το σύστημα, αντί για μια σταθερή κατάσταση, αποκτά δύο νέες σταθερές καταστάσεις και στη συνέχεια αυτή η διαδικασία συνήθως επαναλαμβάνεται. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά παραδείγματα διακλάδωσης: διακλάδωση ποταμού - η διαίρεση μιας κοίτης και της κοιλάδας του σε δύο κλάδους, οι οποίοι στη συνέχεια δεν συγχωνεύονται και ρέουν σε διαφορετικές λεκάνες. στην ιατρική - η διαίρεση ενός σωληνοειδούς οργάνου (αγγείο ή βρόγχος) σε 2 κλάδους του ίδιου διαμετρήματος, που εκτείνονται στις πλευρές στις ίδιες γωνίες. μηχανική διακλάδωση - η απόκτηση μιας νέας ποιότητας στις κινήσεις ενός δυναμικού συστήματος με μια μικρή αλλαγή στις παραμέτρους του. διαίρεση των ανώτερων τάξεων του εκπαιδευτικού ιδρύματος σε δύο τμήματα. διχοτόμηση χρόνου-χώρου (στην επιστημονική φαντασία) - διαίρεση του χρόνου σε πολλά ρεύματα, σε καθένα από τα οποία συμβαίνουν τα δικά του γεγονότα. Σε παράλληλο χρόνο-χώρο, οι ήρωες έχουν διαφορετικές ζωές.

Ίσως είναι καιρός να προχωρήσουμε στην ταξινόμηση των διακλαδώσεων και μετά στη θεωρία των καταστροφών.

Οι διακλαδώσεις ταξινομούνται σε μαλακόςΚαι σκληρά.

Μαλακή διχοτόμηση- πρόκειται για μετάβαση από μια σταθερή κατάσταση σε μια άλλη, ενώ η νέα σταθερή κατάσταση βρίσκεται πολύ κοντά στην αρχική. Εκείνοι. ποιοτικά δεν υπάρχουν πολύ αξιοσημείωτες σημαντικές διαφορές.

Μια σκληρή διακλάδωση είναι μια διακλάδωση, ως αποτέλεσμα της οποίας το σύστημα αποκτά μια ποιοτικά νέα σταθερή κατάσταση που δεν είναι παρόμοια με την αρχική.

Το σχήμα δείχνει ότι με μια μικρή αλλαγή στην παράμετρο, το σύστημα επιλέγει μια νέα λειτουργία, η οποία δεν βρίσκεται πλέον σε κοντινή απόσταση από την αρχική και επομένως έχει ποιοτικές διαφορές. Ήταν οι άκαμπτες διακλαδώσεις που αποτέλεσαν τη βάση της θεωρίας των καταστροφών.

Θεωρία καταστροφών

Μπορεί να είναι δυνατό να αποδειχθεί το αναπόφευκτο ορισμένων καταστροφών, όπως η ασθένεια ή ο θάνατος. Η γνώση δεν θα είναι απαραίτητα μια υπόσχεση επιτυχίας ή επιβίωσης: μπορεί επίσης να οδηγήσει στη βεβαιότητα της αποτυχίας μας, στο τέλος μας.

RENEE THOMA

Πριν εμβαθύνουμε στην ουσία της θεωρίας των καταστροφών, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τη συνάφεια αυτού του θέματος. Το πρώτο πράγμα που θεωρώ απαραίτητο να σημειώσω είναι τα υπάρχοντα επιτεύγματα στον τομέα αυτό. Πρώτον, οι φιλοσοφικές έννοιες για τον καθολικό προκαθορισμό έχουν χάσει κάθε νόημα, γεγονός που έδωσε ελπίδα για την ευκαιρία να επηρεάσει τις υποτιθέμενες ριζικές στροφές της κατάστασης. Μαζί με την ελπίδα ήρθε και η συνειδητοποίηση της ευθύνης για αυτό που συνέβαινε, για την ανισορροπία στη φύση, την κοινωνία ή για την έλλειψη αρμονίας εκεί. Το πρόβλημα παραμένει η παροχή αυτών των πληροφοριών σε όσο το δυνατόν περισσότερους ανθρώπους· επιπλέον, αυτό που είναι σημαντικό δεν είναι το γεγονός ότι οι άνθρωποι λαμβάνουν αυτές τις πληροφορίες, αλλά το γεγονός της ευαισθητοποίησης και της αντίληψης αυτού του συμπεράσματος ως κίνητρο για δράση. Δυστυχώς, αυτό μοιάζει περισσότερο με ουτοπία, επομένως, ενώ συνεχίζουμε να αναλογιζόμαστε τα οφέλη της θεωρίας, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι ο όρος «καταστροφή» δεν αντιπροσωπεύει ένα καθημερινό όραμα αυτού του γεγονότος. Μια καταστροφή σε αυτή την περίπτωση είναι απλώς μια θεμελιώδης αλλαγή στο υπάρχον σύστημα. Το κύριο καθήκον, όπως καταλαβαίνουμε τώρα, είναι μόνο να μαντέψουμε σωστά τη στιγμή και την κατεύθυνση της δράσης. Επιπλέον, αυτό το γεγονός μας δίνει την ευκαιρία να υποθέσουμε ότι ακόμη και η πιο απελπιστική κατάσταση - ένα σημάδι μιας επικείμενης «καταστροφής», σημαίνει μόνο αλλαγή και όχι Αρμαγεδδώνα.

Υπάρχουν αρκετά ιστορικά παραδείγματα όταν οι ελάχιστες προσπάθειες που έγιναν την κατάλληλη στιγμή ήταν αρκετές για να ανατρέψουν τα πάντα. Φυσικά, δεν έγιναν όλες οι προσπάθειες να «αλλάξουμε τον κόσμο». Φυσικά, αυτό εξαρτάται από την ποιότητα των προσπαθειών που γίνονται, αλλά ο χρόνος και ο τόπος του τι συμβαίνει παίζει σημαντικό ρόλο. Εάν «καταλάβετε τη στιγμή» σωστά, τότε ακόμα και με την πιο παράλογη ιδέα μπορείτε να επιτύχετε ριζικές αλλαγές, και αν όχι, τότε ακόμη και η πιο έξυπνη σκέψη δεν θα αλλάξει την κατάσταση. Για να μπορέσετε να προσδιορίσετε την απόσταση του συστήματος από το σημείο της καταστροφής (δηλαδή, όταν περνάτε από αυτά τα σημεία συμβαίνει το πιο ενδιαφέρον πράγμα), πρέπει να εργαστείτε σκληρά και να βρείτε την εξάρτηση του συστήματος από εξωτερικές παραμέτρους σε μαθηματικά μοντέλα , αλλά αμφιβάλλω αν κάποιος το έχει κάνει αυτό, μάλλον αυτό είναι το προνόμιο του μέλλοντος.

Πώς να αναγνωρίσετε την προσέγγιση ενός συστήματος κρίσιμων σημείων; Υπάρχει κάτι όπως "σημαίες καταστροφής" - χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς του συστήματος από τα οποία μπορεί να προσδιοριστεί αυτό. Εδώ είναι: η παρουσία πολλών σταθερών καταστάσεων, η ύπαρξη ασταθών καταστάσεων από τις οποίες το σύστημα προσπαθεί να εξέλθει, η πιθανότητα ταχείας αλλαγής στο σύστημα με μικρές αλλαγές στις εξωτερικές παραμέτρους, η μη αναστρέψιμη λειτουργία του συστήματος

Πιστεύω ότι ο καθένας μπορεί να αυτοαποκαλείται εξαντλητικό παράδειγμα. Είναι προφανές ότι ένας άνθρωπος είναι ένα πολύπλοκο σύστημα, όπως και η ζωή του. Σε ορισμένες στιγμές, ένα άτομο αντιμετωπίζει μια επιλογή που θα καθορίσει το μέλλον του σε αρκετά σημαντικό βαθμό (επιλογή τόπου σπουδών, εργασίας, τόπου διαμονής κ.λπ.). Ταυτόχρονα, παρατηρείται μια «ασταθής κατάσταση», εγγενής σε κάθε άνθρωπο, μόνο σε διάφορους βαθμούς (εδώ είναι η δεύτερη σημαία). Κατά κανόνα, έχοντας ξεπεράσει την «πρώτη σημαία», κρατώντας συνεχώς τη δεύτερη στο χέρι του, ένα άτομο βρίσκεται πρόσωπο με πρόσωπο με την «τρίτη σημαία», προσαρμόζοντάς την με την επιλογή του. Μόλις ληφθεί μια απόφαση, κατά κανόνα, δεν υπάρχει επιστροφή και αυτό είναι ένα σίγουρο σημάδι ότι έχετε χτυπήσει την «τέταρτη σημαία». Εάν ένας επιστήμονας ανακαλύψει ένα από αυτά τα σημάδια, τότε δεν θα του είναι δύσκολο να φτάσει στα υπόλοιπα. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό δεν είναι το μόνο δυνατό σύνολο «σημαιών».

Η θεωρία είναι πολύ διαφορετική από την πράξη στο ότι δεν μπορεί να κάνει καμία ενέργεια αν συμβεί κάτι. Είναι όμως αρκετά ικανό να κατανοήσει και να εξηγήσει τα φαινόμενα που συναντάμε στην πραγματική ζωή. Με την καθημερινή έννοια, μια καταστροφή ή το χάος είναι κάτι καταστροφικό, αναγκαστικά μοιραίο και απολύτως ανεξέλεγκτο και ανεξήγητο. Όπως δηλώνει ο Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών A. Chulichkov: «Από τη σκοπιά των μαθηματικών, η καταστροφή και το χάος δεν είναι απαραίτητα η κατάρρευση όλων των ελπίδων ή κάποια άλλη ατυχία.», και έχω την τάση να τον πιστέψω. Τι είναι η «καταστροφή» σε αυτή την περίπτωση; Για μια αλλαγή, θα παραθέσω έναν άλλο επιστήμονα - V.I. Arnold: " Καταστροφέςονομάζονται απότομες αλλαγές που συμβαίνουν με τη μορφή μιας ξαφνικής απόκρισης του συστήματος σε μια ομαλή αλλαγή στις εξωτερικές συνθήκες». Το κύριο καθήκον της θεωρίας είναι να μην μπερδευτείτε σε μια τέτοια κατάσταση (την παραμονή μιας κρίσης) και να βρείτε το σωστό βήμα που θα σας βοηθήσει όχι μόνο να μην χαλάσετε την κατάσταση, αλλά και να προσελκύσετε τη Lady Luck στο πλευρό σας. Και για να αρχίσετε να κατασκευάζετε ένα σχέδιο για να αρπάξετε την καλή τύχη εγκαίρως, υπάρχουν αγγελιοφόροι μιας άλλης μυθικής οντότητας - της μοίρας. Τα κοιτάξαμε νωρίτερα και ανακαλύψαμε ότι ονομάζονται «σημαίες καταστροφής». Το μόνο που μένει είναι να μάθουμε να λειτουργούμε με αυτές τις πληροφορίες και στη συνέχεια ο δρόμος για ένα λαμπρό μέλλον είναι εγγυημένος, καθώς και οι φιλικές σχέσεις με τις όμορφες κυρίες - Μοίρα και Τύχη.

Όπως ειπώθηκε στην αρχή, η θεωρία της καταστροφής μας δίνει μια ιδέα για τα σενάρια για την εξέλιξη των γεγονότων αφού έχει περάσει ένα ορισμένο στάδιο στη ζωή ενός πολύπλοκου συστήματος. Ο Ziman, στην απάντησή του στον Rene Thom, εντόπισε επτά τύπους καταστροφών.

Δεν θα εμβαθύνω στη θεωρία των καταστροφών, γιατί ο κύριος στόχος αυτής της εργασίας είναι να διαχωρίσει τις έννοιες «καταστροφή» και «καταστροφή». Και όχι απλώς να τις περιγράψετε και να τις ταξινομήσετε, αλλά να μάθετε τον λόγο για τόσες πολλές μελέτες αυτού του θέματος και να εξετάσετε τα αποτελέσματα της δουλειάς που έγινε.

Πρόλογος
Κεφάλαιο 1. Διακλαδώσεις θέσεων ισορροπίας
§ 1. Οικογένειες και παραμορφώσεις
1.1. Διανυσματικές οικογένειες πεδίων
1.2. Χώρος πίδακα
1.3. Το λήμμα του Sard και τα θεωρήματα της εγκάρσιότητας
1.4. Απλότερες εφαρμογές: μοναδικά σημεία τυπικών διανυσματικών πεδίων
1.5. Τοπολογικά μη ρεαλιστικές παραμορφώσεις
1.6. Αναγωγικό θεώρημα
1.7. Τυπικές και κύριες οικογένειες
§ 2. Διακλαδώσεις μεμονωμένων σημείων σε τυπικές μονοπαραμετρικές οικογένειες
2.1. Τυπικοί βλαστοί και κύριες οικογένειες
2.2. Μαλακό και σκληρό λυγισμό
§ 3. Διακλαδώσεις μοναδικών σημείων σε πολυπαραμετρικές οικογένειες γενικής θέσης με ένα μόνο εκφυλισμό του γραμμικού μέρους
3.1. Κύριες οικογένειες
3.2. Διαγράμματα διακλάδωσης κύριων οικογενειών (3±)
3.3. Διαγράμματα διακλάδωσης (σε σχέση με ασθενή ισοδυναμία) και πορτρέτα φάσεων κύριων οικογενειών (4±)
§ 4. Διακλαδώσεις μοναδικών σημείων διανυσματικών πεδίων με διπλό εκφυλισμό του γραμμικού μέρους
4.1. Κατάλογος εκφυλισμών
4.2. Δύο ιδιοτιμές Boole
4.3. Μειώσεις σε δισδιάστατα συστήματα
4.4. Μηδέν και ένα ζεύγος καθαρά φανταστικών ιδιοτιμών
4.5. Δύο καθαρά φανταστικά ζευγάρια
4.6. Κύριες παραμορφώσεις εξισώσεων δύσκολου τύπου στο πρόβλημα δύο φανταστικών ζευγών (σύμφωνα με τον Zholondek)
§ 5. Ενδείξεις μαλακού και σκληρού λυγισμού
5.1. Ορισμοί
5.2. Πίνακας ενδείξεων
Κεφάλαιο 2. Διακλαδώσεις οριακών κύκλων
§ 1. Διακλαδώσεις οριακών κύκλων σε τυπικές οικογένειες μιας παραμέτρου
1.1. Πολλαπλασιαστής 1
1.2. Πολλαπλασιαστής -1 και διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου
1.3. Ένα ζευγάρι σύνθετων συζυγών πολλαπλασιαστών
1.4. Μη τοπικές διακλαδώσεις σε μονοπαραμετρικές οικογένειες διαφορομορφισμών
1.5. Μη τοπικές διακλαδώσεις περιοδικών λύσεων
1.6. Διακλαδώσεις αποσύνθεσης αμετάβλητου tori
§ 2. Διακλαδώσεις κύκλων σε τυπικές οικογένειες δύο παραμέτρων με ενιαίο πρόσθετο εκφυλισμό
2.1. Κατάλογος εκφυλισμών
2.2. Πολλαπλασιαστής 1 ή -1 με επιπλέον εκφυλισμό σε μη γραμμικούς όρους
2.3. Ένα ζεύγος πολλαπλασιαστών στον μοναδιαίο κύκλο με επιπλέον εκφυλισμό σε μη γραμμικούς όρους
§ 3. Διακλαδώσεις κύκλων σε τυπικές οικογένειες δύο παραμέτρων με ισχυρούς συντονισμούς τάξης (;)
3.1. Κανονική μορφή στην περίπτωση μονοδύναμου ιορδανικού κυττάρου
3.2. Ομογενοποίηση στις φυλλώσεις Seifert και Möbius
3.3. Κύρια πεδία και παραμορφώσεις
3.4. Πολυμορφία των κύριων παραμορφώσεων
3.5. Διακλαδώσεις στατικών λύσεων περιοδικών διαφορικών εξισώσεων με ισχυρούς συντονισμούς τάξης (;)
§ 4. Διακλαδώσεις οριακών κύκλων όταν ένα ζεύγος πολλαπλασιαστών διέρχεται από (;)
4.1. Εκφυλισμένες οικογένειες
4.2. Εκφυλισμένες οικογένειες που βρέθηκαν αναλυτικά
4.3. Εκφυλισμένες οικογένειες που βρέθηκαν αριθμητικά
4.4. Διακλαδώσεις σε μη εκφυλισμένες οικογένειες
4.5. Οριακοί κύκλοι συστημάτων με συμμετρία τέταρτης τάξης
§ 5. Άπειρα ομαλές κανονικές μορφές τοπικών οικογενειών
5.1. Ανασκόπηση αποτελεσμάτων
5.2. Ορισμοί και παραδείγματα
5.3. Γενικά θεωρήματα και παραμορφώσεις μικροβίων μη συντονισμού
5.4. Αναγωγή σε γραμμική κανονική μορφή
5.5. Παραμορφώσεις μικροβίων διαφορομορφισμών τύπου Poincaré
5.6. Παραμορφώσεις διροζωϊκών υπερβολικών μικροβίων
5.7. Παραμορφώσεις μικροβίων, διανυσματικά πεδία με μία μηδενική ιδιοτιμή σε ένα μοναδικό σημείο
5.8. Λειτουργικές αναλλοίωτες διαφοροποιήσεις γραμμής
5.9. Λειτουργικά αμετάβλητα τοπικών οικογενειών διαφορομορφισμών
5.10. Συναρτησιακά -αμετάβλητα οικογενειών διανυσματικών πεδίων
5.11. Λειτουργικά αμετάβλητα της τοπολογικής ταξινόμησης τοπικών οικογενειών διαφορομορφισμών γραμμής (σύμφωνα με το Russari)
§ 6. Οικουμενικότητα Feigenbaum για διαφορομορφισμούς και ροές
6.1. Καταρράκτης διπλασιασμού
6.2. Ανακατατάξεις σταθερών σημείων
6.3. Καταρράκτης (;)-πλάσια αύξηση στην περίοδο
6.4. Διπλασιασμός στα συστήματα Hamiltonian
6.5. Διπλασιασμός τελεστή για μονοδιάστατες "χαρτογραφήσεις"
6.6. Καθολικός μηχανισμός διπλασιασμού για διαφορομορφισμούς
Κεφάλαιο 3. Μη τοπικές διακλαδώσεις
§ 1. Εκφυλισμός συνδιαστάσεων 1. Περίληψη αποτελεσμάτων
1.1. Τοπικές και μη διακλαδώσεις
1.2. Μη υπερβολικά ενικά σημεία
1.3. Μη υπερβολικοί κύκλοι
1.4. Μη εγκάρσιες διασταυρώσεις πολλαπλών
1.5. Περιγράμματα
1.6. Επιφάνειες διακλάδωσης
1.7. Χαρακτηριστικά των διακλαδώσεων
1.8. Περίληψη αποτελεσμάτων
§ 2. Μη τοπικές διακλαδώσεις ροών σε δισδιάστατες επιφάνειες
2.1. Ημιτοπικές διακλαδώσεις ροών σε επιφάνειες
2.2. Μη τοπικές διακλαδώσεις σε μια σφαίρα. περίπτωση μιας παραμέτρου
2.3. Τυπικές οικογένειες διανυσματικών πεδίων
2.4. Συνθήκες τυπικότητας
2.5. Οικογένειες μιας παραμέτρου σε επιφάνειες διαφορετικές από σφαίρα
2.6. Παγκόσμιες διακλαδώσεις συστημάτων, με μια παγκόσμια διατομή στον τόξο
2.7. Μερικές παγκόσμιες διακλαδώσεις στο μπουκάλι Klein
2.8. Διακλαδώσεις σε δισδιάστατη σφαίρα. Πολυπαραμετρική θήκη
2.9. Μερικές ανοιχτές ερωτήσεις
§ 3. Διακλαδώσεις ομοκλινικών τροχιών μη υπερβολικού ενικού σημείου
3.1. Κόμβος σε υπερβολικές μεταβλητές
3.2. Σέλα σε υπερβολικές μεταβλητές: μία ομοκλινική τροχιά
3.3. Τοπολογικό διάγραμμα Bernoulli
3.4. Σημείο σέλας σε υπερβολικές μεταβλητές: αρκετές ομοκλινικές τροχιές
3.5. Κύριες οικογένειες
§ 4. Διακλαδώσεις ομοκλινικών τροχιών4 και υπερβολικός κύκλος
4.1. Δομή της οικογένειας των ομόκλιων τροχιών
4.2. Κρίσιμοι και μη κρίσιμοι κύκλοι
4.3. Γέννηση ενός ομαλού δισδιάστατου ελκυστήρα
4.4. Γέννηση σύνθετων αναλλοίωτων συνόλων (μη κρίσιμη περίπτωση)
4.5. Κρίσιμη υπόθεση
4.6. Μετάβαση σε δύο βήματα από τη σταθερότητα στην αναταραχή
4.7. Μη συμπαγές σύνολο τροχιών ομοκλινικής
4.8. Διαλείπουσα
4.9. Προσιτότητα, ανέφικτο
4.10. Σταθερότητα οικογενειών διαφορομορφισμών
4.11. Μερικές ανοιχτές ερωτήσεις
§ 5. Υπερβολικά ενικά σημεία με ομοκλινική τροχιά
5.1. Προκαταρκτικές έννοιες: καθοδηγητικές κατευθύνσεις και ποσότητες σέλας
5.2. Διακλαδώσεις τροχιών σέλας ομοκλιανών που συμβαίνουν στα όρια ενός συνόλου συστημάτων Morse-Smale
5.3. Απαιτήσεις γενικότητας
5.4. Οι κύριες οικογένειες στο R3 και οι ιδιότητές τους
5.5. Ευελιξία των κύριων οικογενειών
5.6. Σέλα με ενσωματωμένη καθοδήγηση στο R3
5.7. Προσθήκη: διακλαδώσεις ομοκλιανών βρόχων έξω από το «όριο του συνόλου των συστημάτων Morse-Smale
§ 6. Διακλαδώσεις που σχετίζονται με μη εγκάρσιες διασταυρώσεις
6.1. Διανυσματικά πεδία χωρίς περιγράμματα και ομοκλινικές τροχιές
6.2. Θεώρημα μη προσβασιμότητας
6.3. Ενότητες
6.4. Συστήματα με βρόχους
6.5. Διαφορομορφισμοί με μη τετριμμένα σύνολα βάσης
6.6. Διανυσματικά πεδία σε R3 με τροχιά ομόκλιου κύκλου
6.7. Συμβολική δυναμική
6.8. Διακλαδώσεις των "πεταλίων του Smale"
6.9. Διανυσματικά πεδία σε μια επιφάνεια διακλάδωσης
6.10. Διαφορομορφισμοί με άπειρο σύνολο σταθερών περιοδικών τροχιών
§ 7. Άπειρα μη περιπλανώμενα σύνολα
7.1. Διανυσματικά πεδία σε δισδιάστατο τόρο
7.2. Διακλαδώσεις συστημάτων με δύο ομοκλινικές καμπύλες σέλας
7.3. Συστήματα με ελκυστήρες Feigenbaum
7.4. Γέννηση μη περιπλανώμενων συνόλων
7.5. Διατήρηση και ομαλότητα των αμετάβλητων πολλαπλών (σύμφωνα με τον Fenichel)
7.6. Εκφυλισμένη οικογένεια και η γειτονιά της σε λειτουργικό χώρο
7.7. Γέννηση του Τόρι σε τρισδιάστατο χώρο φάσης
§ 8. Ελκυστήρες και οι διακλαδώσεις τους
8.1. Πιθανολογικά σύνολα ορίων (σύμφωνα με τον Milnor)
8.2. Στατιστικά όρια συνόλων
8.3. Εσωτερικές διακλαδώσεις και κρίσεις ελκυστικών
8.4. Εσωτερικές διακλαδώσεις και κρίσεις θέσεων και κύκλων ισορροπίας
8.5. Διακλαδώσεις ενός δισδιάστατου τόρου
Κεφάλαιο 4. Ταλαντώσεις χαλάρωσης
§ 1. Βασικές έννοιες
1.1. Παράδειγμα. Εξίσωση Van der Pol
1.2. Γρήγορες και αργές κινήσεις
1.3. Αργή επιφάνεια και αργή εξίσωση
1.4. Αργή κίνηση ως προσέγγιση του διαταραγμένου
1.5. Φαινόμενο Stall
§ 2. Χαρακτηριστικά γρήγορων και αργών κινήσεων
2.1. Ιδιαιτερότητες ταχείας κίνησης σε σημεία διάσπασης συστημάτων με μία γρήγορη μεταβλητή
2.2. Χαρακτηριστικά σχεδιασμού αργής επιφάνειας
2.3. Αργή κίνηση συστημάτων με μία αργή μεταβλητή
2.4. Αργή κίνηση συστημάτων με δύο αργές μεταβλητές
2.5. Κανονικά σχήματα καμπυλών φάσης αργής κίνησης
2.6. Η σύνδεση με τη θεωρία των εξισώσεων δεν επιλύεται ως προς την παράγωγο
2.7. Εκφύλιση της δομής επαφής
§ 3. Ασυμπτωτική συμπεριφορά ταλαντώσεων χαλάρωσης
3.1. Εκφυλισμένα συστήματα
3.2. Πρώτα συστήματα προσέγγισης
3.3. Κανονικοποίηση εξισώσεων fast-slow με δύο αργές μεταβλητές για (?)>0
3.4. Παραγωγή συστημάτων πρώτης προσέγγισης
3.5. Μελέτη συστημάτων πρώτης προσέγγισης
3.6. Χωνάρια
3.7. Περιοδικές ταλαντώσεις χαλάρωσης σε επίπεδο
§ 4. Παράταση της απώλειας σταθερότητας όταν ένα ζεύγος ιδιοτιμών διέρχεται από τον φανταστικό άξονα
4.1. Τυπικά συστήματα
4.2. Παράταση λυγισμού
4.3. Σοβαρότητα λυγισμού σε αναλυτικά συστήματα τύπου 2
4.4. Υστέρηση
4.5. Μηχανισμός σύσφιξης
4.6. Υπολογισμός της στιγμής αστοχίας σε αναλυτικά συστήματα
4.7. Σφίξιμο κατά τον κύκλο λυγισμού
4.8. Σφίξιμο της απώλειας σταθερότητας και «παπιών»
§ 5. Λύσεις πάπιας
5.1. Παράδειγμα: ένα μοναδικό σημείο σε μια πτυχή μιας αργής επιφάνειας
5.2. Ύπαρξη διαλυμάτων πάπιας
5.3. Εξέλιξη απλών εκφυλισμένων πάπιων
5.4. Ημιτοπικό φαινόμενο: πάπιες με χαλάρωση
5.5. Πάπιες και (;) και (;)
Συνιστώμενη ανάγνωση
Βιβλιογραφία