Hyrje
Çfarë është shpejtësia këndore? Sasi skalare apo vektoriale? Në fakt, kjo nuk është një pyetje boshe.Gjatë leksioneve të mekanikës teorike në universitet, unë, duke ndjekur metodologjinë tradicionale për prezantimin e një kursi kinematikë, futa konceptin e shpejtësisë këndore në temën "Shpejtësia e një pike të një trupi gjatë lëvizjes rrotulluese". Dhe atje shpejtësia këndore shfaqet fillimisht si një sasi skalare, me përkufizimin e mëposhtëm.
Shpejtësia këndore e një trupi të ngurtë është derivati i parë i këndit të rrotullimit të trupit në lidhje me kohën
Por atëherë, kur merret parasysh formula kanonike e Euler-it për shpejtësinë e një pike të një trupi gjatë rrotullimit
zakonisht jepet përkufizimi i mëposhtëm
Shpejtësia këndore e një trupi është një pseudovektor i drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit të trupit në drejtimin nga i cili rrotullimi duket se po ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Një përkufizim tjetër i veçantë, i cili, së pari, pohon palëvizshmërinë e boshtit të rrotullimit, dhe së dyti, imponon marrjen në konsideratë vetëm të sistemit të koordinatave të djathtë. Dhe së fundi, termi "pseudovektor" zakonisht u shpjegohet studentëve kështu: "Shikoni, ne treguam se omega është një sasi skalare. Dhe ne prezantojmë vektorin në mënyrë që të shkruajmë formulën e Euler-it.
Kur shqyrtohet lëvizja sferike, rezulton se boshti i rrotullimit ndryshon drejtimin, nxitimi këndor drejtohet në mënyrë tangjenciale në hodografin e shpejtësisë këndore, e kështu me radhë. Shumëfishohen paqartësitë dhe supozimet hyrëse.
Duke marrë parasysh nivelin e formimit të nxënësve të shkollës, si dhe marrëzinë flagrante të lejuar në programet e trajnimit bachelor, kur mekanika teknike fillon që në semestrin e parë (mendojeni mirë!), kurse të tilla fillestare graduale, për shkopinj, litarë dhe lisa, ndoshta janë të justifikuara. .
Por ne do të shikojmë, siç thonë ata, "nën kapuçin" e problemit dhe, të armatosur me aparatin e llogaritjes së tensorit, do të zbulojmë se shpejtësia këndore është një pseudovektor i krijuar nga një tensor antisimetrik i rangut të dytë.
Unë mendoj se është e mjaftueshme për një farë, kështu që le të fillojmë!
1. Lëvizja e lirë e një trupi të ngurtë. Tenzori i rrotullimit
Pra, siç dihet nga kursi tradicional universitar për inxhinierinë mekanikeNëse lëvizja e kryer nga një trup nuk kufizohet nga lidhjet, atëherë një lëvizje e tillë quhet falas
Ky është rasti më i përgjithshëm i lëvizjes së trupit. Figura e mëposhtme ilustron faktin se lëvizja e lirë e një trupi mund të përfaqësohet si shuma e dy lëvizjeve: përkthimore së bashku me polin dhe sferike rreth polit.
Oriz. 1. Një ilustrim i zakonshëm nga një kurs në mekanikën teorike: përcaktimi i pozicionit të një trupi të lirë të ngurtë në hapësirë.
Më lejoni t'ju kujtoj se ne po flasim trup absolutisht i fortë, domethënë një trup, distancat midis pikave të të cilit nuk ndryshojnë me kalimin e kohës. Mund të themi gjithashtu se një trup i fortë është një sistem mekanik i pandryshueshëm.
Siç mund të shihet nga Figura 1, një praktikë e zakonshme është të merren parasysh dy sisteme koordinative - njëri konsiderohet i fiksuar dhe quhet bazë, tjetra është e lidhur fort me trupin dhe rrotullohet në raport me bazën së bashku me të. Një sistem i tillë koordinativ quhet të lidhura.
Në fillim doja gjithashtu të kufizoja veten në koordinatat karteziane. Por atëherë lexuesit e mi do të më bënin një pyetje logjike - "pse ka tensorë atëherë?" Prandaj, pasi kalova katër vjet në mendime të dhimbshme dhe pasi kisha “luajtur” vendimin përfundimtar disa orë më parë, vendosa të bëj një lëkundje te “William, i yni, Shekspiri” dhe të paraqes arsyetimin e mëtejshëm në koordinata lakuar.
Oriz. 2. Orientimi i një trupi të ngurtë në baza lokale.
Lëreni pozicionin e polit të jepet nga vektori
Për më tepër, ky vektor nuk duhet kuptuar si një vektor i rrezes, pasi në koordinatat kurvilineare një koncept i tillë është i pakuptimtë.
Në pikën O 1, specifikohet një pikë referimi lokale e sistemit të koordinatave bazë, e formuar nga një trefish vektorësh. Një pikë referimi në lëvizje lidhet me një trup në lëvizje. Rrotullimi i pikës së referencës shoqëruese në lidhje me bazën mund të specifikohet nga një operator linear. Le të marrim këtë operator dhe të eksplorojmë vetitë e tij
Le të shqyrtojmë një pikë M që i përkasin trupit. Për të nga poli mund të vizatoni një vektor që është i palëvizshëm në lidhje me pikën e referencës shoqëruese. Mund të zgjerohet në vektorë të këtij standardi
dhe nga vektorët e referencës bazë
Çdo vektor i kornizës shoqëruese mund të zgjerohet përmes vektorëve të kornizës bazë
Zëvendëso (4) në (2) dhe krahaso me (3)
Nga (5) është e qartë se komponentët e vektorit në sistemin koordinativ bazë rillogariten përmes komponentëve të tij në sistemin shoqërues duke aplikuar operatorin linear
ose në formë pa indeks
ku janë kolonat e matricës
– komponentët kontravarianë të vektorëve të kornizës shoqëruese në lidhje me atë bazë. Pika, siç vumë re në artikullin e mëparshëm, tregon shumëzimin e tensorëve të ndjekur nga konvolucioni mbi një çift indeksesh ngjitur. Operator linear
vepron në vektorë në atë mënyrë që i rrotullon ata në lidhje me një bosht të caktuar pa ndryshuar gjatësinë dhe këndin ndërmjet vektorëve. Ky transformim i hapësirës quhet ortogonale. Në mënyrë që një transformim i tillë të jetë i mundur, operatori (7) duhet të ketë veti të mirëpërcaktuara. Nëse gjatësia e vektorëve bazë dhe këndet ndërmjet tyre nuk ndryshojnë, atëherë kjo do të thotë barazia e të gjithë produkteve skalare në çift të vektorëve të referencës si në bazë ashtu edhe në sistemet e koordinatave përkatëse.
Ana e djathtë e (8) është tensori metrikë lokal
ose
Operatori është në thelb një matricë e zakonshme e rrotullimit të sistemit të koordinatave. Dhe (10) thotë se nëse matrica e rrotullimit të transpozuar shumëzohet me tensorin metrik, dhe rezultati shumëzohet me matricën e rrotullimit, ne përsëri marrim një tensor metrikë. Mund të konkludohet se
Shndërrimi i koordinatave gjatë rrotullimit është identik për tensorin metrik, domethënë ai e shndërron tensorin metrikë në vetvete.
Në shprehjen (10) është e lehtë të shihet transformimi i tenzorit metrik për ndryshimin e sistemit të koordinatave, të cilin e diskutuam në detaje në artikullin e parë të serisë.
Ndalo! Por ne e dimë që matricat e rrotullimit janë zakonisht ortogonale, domethënë prodhimi i një matrice rrotullimi nga transpozimi i saj jep matricën e identitetit, me fjalë të tjera, për të kthyer matricën e rrotullimit mjafton ta transpozojmë atë.
Por ortogonaliteti është karakteristik për matricat e rrotullimit që transformojnë një bazë karteziane ortonormale. Këtu kemi të bëjmë me një bazë lokale, kur rrotullohen gjatësitë e vektorëve dhe këndet ndërmjet tyre duhet të ruhen. Nëse e marrim bazën si karteziane, atëherë nga (10) marrim vetitë e zakonshme të matricës së rrotullimit, për shembull, ortogonalitetin e saj.
Për llogaritjet e mëtejshme, do të duhet të dimë se si do të duket matrica e transformimit të anasjelltë, domethënë. Epo, le të shohim. Për ta bërë këtë, shumëzoni (10) nga e majta me dhe nga e djathta me
nga ku marrim menjëherë
Rezulton se matrica e transformimit të anasjelltë është marrë me të vërtetë nga matrica e transformimit të transpozuar, por me pjesëmarrjen e tenzorit metrik. Shprehjet (10) dhe (11) do të jenë shumë të dobishme për ne, por tani për tani do të nxjerrim disa përfundime.
Ligji i lëvizjes së lirë të një trupi të ngurtë mund të shkruhet në koordinata të lakuara në formën e një sistemi ekuacionesh
Në këtë rast, (12) është ligji i lëvizjes së polit, dhe (13) është ligji i lëvizjes sferike të një trupi rreth polit. Në këtë rast (13) quhet tensor i rangut (1,1). tensori i rrotullimit.
2. Shpejtësia e një pike trupore gjatë lëvizjes së lirë. Shpejtësia këndore vjen në foto
Le të llogarisim shpejtësinë e pikës M, pozicioni i të cilit në sistemin e koordinatave shoqëruese specifikohet me koordinata konstante, për shkak të ngurtësisë së trupit, korvilineareNga kursi i mekanikës teorike, njihet një formulë që përcakton shpejtësinë e një pike të një trupi në një lëvizje të caktuar.
ku është shpejtësia e shtyllës; - shpejtësia e një pike rreth polit.
Meqenëse të gjitha koordinatat përveç (13) janë të përcaktuara në lidhje me kornizën bazë, ne mund të shkruajmë
Indeksi në kllapa nënkupton sistemin koordinativ në të cilin janë marrë komponentët (0 - bazë, 1 - i lidhur). Ne dallojmë (15) në lidhje me kohën duke marrë parasysh (13)
Le të kalojmë në (16) në sistemin e koordinatave shoqëruese, duke shumëzuar (15) nga e majta me
ku është komponenti i operatorit të transformimit të anasjelltë.
Tani le të krahasojmë (17) dhe (14). Termi i fundit duhet të përmbajë një produkt vektor. Duke kujtuar përkufizimin e produktit vektorial në termat e tenzorit Levi-Civita, të dhënë në artikullin e dytë të serisë, vërejmë se në dalje ai jep një kovektor, kështu që në (17) kalojmë te komponentët bashkëvariantë, duke shumëzuar kjo shprehje nga tenzori metrikë në të majtë
Tani le të imagjinojmë se si do të duket kovektori i shpejtësisë së pikës në lidhje me plusin, i shkruar përmes vektorit të shpejtësisë këndore
ndërkohë që vërehet se
tensori antisimetrik i rangut të dytë, për të cilin folëm në artikullin e mëparshëm< . Таким образом, нам бы доказать, что
është një tensor antisimetrik i rangut të dytë. Për ta bërë këtë, do të duhet të vërtetojmë se (19) ndryshon shenjën kur indekset riorganizohen (transpozohen). Në këtë rast, do të kemi parasysh se tensori metrik është një tensor absolutisht simetrik i rangut të dytë dhe nuk ndryshon gjatë transpozimit. Prandaj, ne do të studiojmë marrëdhëniet midis matricave të rrotullimit, për të cilat do të na duhen shprehjet (10) dhe (11). Por, para se të fillojmë, le të provojmë një deklaratë tjetër ndihmëse
3. Lema mbi derivatin kovariant të tenzorit metrikë
Derivati kovariant i tenzorit metrikë është zero
Le të kthehemi te koncepti i derivatit kovariant të një vektori, i cili u përmend në artikullin e tretë. Më pas kemi nxjerrë shprehje për komponentët kontravariantë të derivatit bashkëvariant të vektorit
Si çdo vektor, përbërësit e një vektori të caktuar mund të shndërrohen në bashkëvariantë me anë të shumëzimit dhe konvolucionit me një tensor metrikë
A është e mundur të diferencohen drejtpërdrejt komponentët bashkëvariantë?
Duke krahasuar (21) dhe (20) arrijmë në përfundimin se barazia është e mundur vetëm nëse pohimi i lemës është i vërtetë.
4. Shpejtësia këndore si tensor antisimetrik i rangut të dytë
Tani, le të rishkruajmë (19) në formë pa indeks, duke marrë parasysh ekuacionin (11)Më pas, ne kemi nevojë për një lidhje midis operatorit të rrotullimit dhe derivatit të tij - ne dallojmë (10) në lidhje me kohën
ose, duke mbledhur derivatet e tenzorit metrikë në anën e djathtë
Por derivatet e tensorit metrik në (24) do të jenë të barabarta me zero, për faktin se derivati i bashkëvariantit të tenzorit metrikë është i barabartë me zero. Kjo do të thotë se ana e djathtë e (24) është e barabartë me zero
Duke përdorur vetitë e operacionit të transpozimit, ne transformojmë (25)
Duke marrë parasysh (23), marrim
Çdo tensor antisimetrik mund të shoqërohet me një pseudovektor, të cilin e kemi marrë tashmë në artikullin e mëparshëm. Le ta përsërisim këtë rezultat për tensorin e shpejtësisë këndore
Lexuesi mund të njihet me qasjen e zakonshme të zëvendësimit të produktit të vektorit duke shumëzuar një matricë anore-simetrike të ndërtuar nga vektori i parë sipas një rregulli të caktuar nga vektori i dytë. Pra, ky rregull merret natyrshëm nëse përdorni llogaritjen tensore si mjet. Në të vërtetë, kjo matricë anore-simetrike, e cila në paraqitjen matricore të mekanikës zëvendëson shpejtësinë këndore
Ndoshta lexuesi i vëmendshëm do të shohë se në matricën që rezulton shenjat janë të kundërta me ato që kemi marrë në artikullin kushtuar tensorëve antisimetrik. Po, është e drejtë, sepse në atë artikull ne palosëm një vektor me tensorin Levi-Civita me indeksin e tij të tretë k, këtu kryejmë konvolucionin me indeksin mesatar j që jep pikërisht shenja të kundërta.
Matrica (30) gjendet shpesh në literaturë, veçanërisht në veprat e D. Yu. Formula (29) jep një lidhje të qartë midis vektorit të shpejtësisë këndore dhe matricës anore-simetrike. Gjithashtu bën të mundur kalimin nga (28) në formulë
E cila, papritmas, është ekuivalente me relacionin vektor
konkluzioni
Kishte shumë matematikë në këtë artikull. Dhe tani për tani më duhet të kufizohem në këtë material - artikulli ishte i gjatë dhe plot formula. Kjo temë do të vazhdojë dhe do të thellohet në artikujt vijues të serisë.Çfarë përfundimi mund të nxjerrim tani? Dhe ja çfarë
Shpejtësia këndore e një trupi të ngurtë është një tensor antisimetrik, ose pseudovektori përkatës i tij, i krijuar nga tensori i rrotullimit të trupit në lidhje me sistemin e koordinatave bazë.
Për të shkruar këtë vepër, ishte e nevojshme të shoshiste një mal me letërsi. Llogaritjet kryesore u kryen nga autori në mënyrë të pavarur. Blloku i pengimit ishin matricat e rrotullimit për rastin e koordinatave të zhdrejta. Nuk dallova menjëherë në lidhjen (10) një transformim që e la të pandryshuar metrikën, megjithëse, duke marrë parasysh artikujt e shkruar më parë, duhej të ishte. Një dizajn i tmerrshëm, por shumë i zgjuar më ndihmoi të kuptoj këtë lidhje
Shpejtësia e makinës elektrike është shpejtësia e pajisjes me motor elektrik (motori elektrik) dhe të gjitha masave lëvizëse të lidhura mekanikisht me të.
Në disqet elektrike detare, përdoren kryesisht dy lloje lëvizjesh:
1. përkthimore, për shembull, lëvizja e një ngarkese duke përdorur një çikrik, lëvizja e një rripi transportieri etj.;
2. rrotullues, për shembull, rrotullimi i boshtit të motorit të pompës.
Përveç përkthimit dhe rrotullimit, disa disqe elektrike detare përdorin lëvizje reciproke, për shembull, në pompat e pistonit.
Boshti i motorit elektrik rrotullohet dhe përmes mekanizmit të fiksimit shkakton
lejon që pistoni brenda cilindrit të lëvizë në mënyrë progresive, lart e poshtë.
Prandaj, njësitë matëse të shpejtësisë për lëvizjen përkthimore dhe rrotulluese janë
i ndryshëm.
Le të shohim këto njësi.
Njësitë e shpejtësisë përpara
Kur ecni përpara, shpejtësia në mënyrë progresive Masat në lëvizje quhet "shpejtësi lineare", e shënuar me shkronjën latine "υ" dhe e matur në "m/s" (metër për sekondë) ose "m/min" (metër për minutë, për shembull, shpejtësia e ngritjes së ngarkesa e një çikriku elektrik υ = 30 m /min.
Në praktikë, përdoren njësi jo-sistematike (që nuk korrespondojnë me sistemin SI).
matjet e shpejtësisë, për shembull, kilometër në orë (km/h), nyje (një kabllo në orë,
me 1 kabllo të barabartë me një milje detare, pra 1852 m), etj.
Njësitë e shpejtësisë rrotulluese
Gjatë matjes së shpejtësisë rrotulluese masë, përdoren dy emra për shpejtësinë:
1. "Shpejtësia e rrotullimit", e shënuar me shkronjën latine "n" dhe e matur në
"rpm" (revolucione në minutë). Për shembull, shpejtësia e motorit n = 1500 rpm.
Kjo njësi e shpejtësisë është josistematike, sepse ai përdor një njësi josistematike të kohës, përkatësisht minutën (në sistemin SI, koha matet në sekonda).
Sidoqoftë, kjo njësi përdoret ende gjerësisht në praktikë. Për shembull, në të dhënat e pasaportës së motorëve elektrikë, shpejtësia e boshtit tregohet në rpm.
2. "Shpejtësia këndore", e shënuar me shkronjën latine "ω" dhe e matur në
"rad/s" (radianët për sekondë) ose, që është e njëjta gjë, s (e dyta në fuqinë e parë minus). Për shembull, shpejtësia këndore e motorit elektrik është ω = 157 s.
Le të kujtojmë se radiani është i dyti, përveç shkallës së njohur hapësinore
(º), një njësi e distancës këndore e barabartë me 360º / 2π = 360 / 2*3.14 = 57º36" (pesë
dhjetë shtatë gradë dhe 36 minuta).
Fillimisht u shfaq në llogaritjet, ku shpesh hasej numri 360º / 2π.
Kjo njësi e shpejtësisë është një sistem, sepse ai përdor një njësi të sistemit të kohës
mua, domethënë një sekondë.
Në teorinë e lëvizjes elektrike, përdoret vetëm njësia e dytë - (radianët për sekondë)
Në praktikë, ju duhet të jeni në gjendje të lëvizni shpejt nga një njësi shpejtësie në tjetrën dhe anasjelltas.
Prandaj, le të nxjerrim marrëdhënien midis këtyre dy njësive.
Frekuenca këndore (nëpërmjet shpejtësisë rrotulluese):
ω = 2 πn / 60 = n / (60 / 2 π) = n / 9,55 ≈ n / 10 (1).
Shembulli nr. 1.
Fleta e të dhënave të motorit elektrik tregon shpejtësinë nominale të boshtit n = 1500 rpm.
Gjeni shpejtësinë këndore të rrotullimit të boshtit të këtij motori elektrik.
Shpejtësia e boshtit
ω =n / 9,55 = 1500 / 9,55 = 157 ≈ 150 s.
Tani le të gjejmë marrëdhënien e kundërt.
Shpejtësia e rrotullimit (nëpërmjet frekuencës këndore):
n = 60 ω / 2 π = 60 ω / 2*3,14 = 9,55 ω ≈ 10 ω (2)
Shembulli nr. 2.
Frekuenca këndore e boshtit të motorit elektrik ω = 314 s.
Gjeni shpejtësinë e rrotullimit të boshtit të këtij motori elektrik.
Shpejtësia e boshtit
n = 9,55 ω = 9,55*314 = 3000 ≈ 3140 rpm.
« Fizikë - klasa e 10-të"
Shpejtësia këndore.
Çdo pikë e një trupi që rrotullohet rreth një boshti fiks që kalon nëpër pikën O lëviz në një rreth dhe pika të ndryshme udhëtojnë shtigje të ndryshme gjatë kohës Δt. Pra, AA 1 > BB 1 (Fig. 1.62), prandaj moduli i shpejtësisë së pikës A është më i madh se moduli i shpejtësisë së pikës B. Por vektorët e rrezes që përcaktojnë pozicionin e pikave A dhe B rrotullohen gjatë koha Δt nga i njëjti kënd Δφ.
Këndi φ është këndi ndërmjet boshtit OX dhe vektorit të rrezes që përcakton pozicionin e pikës A (shih Fig. 1.62).
Lëreni trupin të rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme, d.m.th., për çdo periudhë të barabartë kohore, vektorët e rrezes rrotullohen nëpër kënde të barabarta.
Sa më i madh të jetë këndi i rrotullimit të vektorit të rrezes, i cili përcakton pozicionin e një pike të një trupi të ngurtë, për një periudhë të caktuar kohe, aq më shpejt trupi rrotullohet dhe aq më e madhe është shpejtësia këndore e tij.
Shpejtësia këndore e një trupi gjatë rrotullimit të njëtrajtshëmështë një sasi e barabartë me raportin e këndit të rrotullimit të trupit υφ me periudhën kohore υt gjatë së cilës ka ndodhur ky rrotullim.
Shpejtësinë këndore do ta shënojmë me shkronjën greke ω (omega). Pastaj sipas përkufizimit
Shpejtësia këndore në SI shprehet në radianë për sekondë (rad/s). Për shembull, shpejtësia këndore e rrotullimit të Tokës rreth boshtit të saj është 0.0000727 rad/s, dhe ajo e diskut të bluarjes është rreth 140 rad/s.
Shpejtësia këndore mund të lidhet me shpejtësinë e rrotullimit.
Shpejtësia e rrotullimit- numri i rrotullimeve të plota për njësi të kohës (në SI për 1 s).
Nëse një trup bën ν (gërma greke "nu") rrotullime në 1 s, atëherë koha e një rrotullimi është e barabartë me 1/ν sekonda.
Koha që i duhet një trupi për të kryer një rrotullim të plotë quhet periudha e rrotullimit dhe shënohet me shkronjën T.
Nëse φ 0 ≠ 0, atëherë φ - φ 0 = ωt, ose φ = φ 0 ± ωt.
Një radian është i barabartë me këndin qendror të nënshtruar nga një hark, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit, 1 rad = 57°17"48". Në masën radian, këndi është i barabartë me raportin e gjatësisë së harkut të një rrethi me rrezen e tij: φ = l/R.
Shpejtësia këndore merr vlera pozitive nëse këndi midis vektorit të rrezes, i cili përcakton pozicionin e njërës prej pikave të trupit të ngurtë, dhe boshtit OX rritet (Fig. 1.63, a), dhe vlerat negative kur zvogëlohet (Fig. 1.63, b).
Kështu, ne mund të gjejmë pozicionin e pikave të një trupi rrotullues në çdo kohë.
Marrëdhënia midis shpejtësive lineare dhe këndore.
Shpejtësia e një pike që lëviz në një rreth quhet shpesh shpejtësi lineare, për të theksuar ndryshimin e saj nga shpejtësia këndore.
Ne kemi vërejtur tashmë se kur një trup absolutisht i ngurtë rrotullohet, pikat e tij të ndryshme kanë shpejtësi lineare të pabarabarta, por shpejtësia këndore është e njëjtë për të gjitha pikat.
Le të vendosim një lidhje midis shpejtësisë lineare të çdo pike të një trupi rrotullues dhe shpejtësisë këndore të tij. Një pikë e shtrirë në një rreth me rreze R do të përshkojë një distancë prej 2πR në një rrotullim. Meqenëse koha e një rrotullimi të trupit është periudha T, moduli i shpejtësisë lineare të një pike mund të gjendet si më poshtë:
Meqenëse ω = 2πν, atëherë
Moduli i nxitimit centripetal i një pike të një trupi që lëviz në mënyrë uniforme rreth një rrethi mund të shprehet në terma të shpejtësisë këndore të trupit dhe rrezes së rrethit:
Prandaj,
dhe cs = ω 2 R.
Le të shkruajmë të gjitha formulat e mundshme të llogaritjes për nxitimin centripetal:
Ne shqyrtuam dy lëvizjet më të thjeshta të një trupi absolutisht të ngurtë - përkthimore dhe rrotulluese. Sidoqoftë, çdo lëvizje komplekse e një trupi absolutisht të ngurtë mund të përfaqësohet si shuma e dy lëvizjeve të pavarura: përkthimore dhe rrotulluese.
Bazuar në ligjin e pavarësisë së lëvizjes, është e mundur të përshkruhet lëvizja komplekse e një trupi absolutisht të ngurtë.
Shpejtësia këndore- sasi fizike vektoriale që karakterizon shpejtësinë e rrotullimit të trupit. Vektori i shpejtësisë këndore është i barabartë në madhësi me këndin e rrotullimit të trupit për njësi të kohës:
,a drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit sipas rregullit të gjilpërës, domethënë në drejtimin në të cilin do të vidhosej një gjilpërë me fije të djathtë nëse do të rrotullohej në të njëjtin drejtim.
Njësia matëse shpejtësia këndore e miratuar në sistemet SI dhe GHS - radianë për sekondë. (Shënim: radianët, si çdo njësi matëse e këndit, janë fizikisht pa dimensione, kështu që dimensioni fizik i shpejtësisë këndore është i thjeshtë). Në teknologji përdoren gjithashtu rrotullime për sekondë, shumë më rrallë - gradë për sekondë, gradë për sekondë. Ndoshta, rrotullimet në minutë përdoren më shpesh në teknologji - kjo vjen nga ato kohë kur shpejtësia e rrotullimit të motorëve me avull me shpejtësi të ulët përcaktohej thjesht "me dorë", duke numëruar numrin e rrotullimeve për njësi të kohës.
Vektori i shpejtësisë (të menjëhershme) të çdo pike të një trupi (absolutisht) të ngurtë që rrotullohet me shpejtësi këndore përcaktohet nga formula:
ku është vektori i rrezes në një pikë të caktuar nga origjina e vendosur në boshtin e rrotullimit të trupit, dhe kllapat katrore tregojnë produktin e vektorit. Shpejtësia lineare (që përkon me madhësinë e vektorit të shpejtësisë) e një pike në një distancë (rreze) të caktuar nga boshti i rrotullimit mund të llogaritet si më poshtë: Nëse në vend të radianeve përdoren njësi të tjera këndesh, atëherë në dy të fundit formulat do të shfaqet një shumëzues që nuk është i barabartë me një.
- Në rastin e rrotullimit në rrafsh, domethënë, kur të gjithë vektorët e shpejtësisë së pikave të trupit shtrihen (gjithmonë) në të njëjtin rrafsh ("rrafshi i rrotullimit"), shpejtësia këndore e trupit është gjithmonë pingul me këtë rrafsh, dhe në fakti - nëse dihet rrafshi i rrotullimit - mund të zëvendësohet nga një projeksion skalar - në një bosht ortogonal me rrafshin e rrotullimit. Në këtë rast, kinematika e rrotullimit thjeshtohet shumë, por në rastin e përgjithshëm, shpejtësia këndore mund të ndryshojë drejtimin në hapësirën tredimensionale me kalimin e kohës, dhe një pamje e tillë e thjeshtuar nuk funksionon.
- Derivati i shpejtësisë këndore në lidhje me kohën është nxitimi këndor.
- Lëvizja me një vektor të shpejtësisë këndore konstante quhet lëvizje uniforme rrotulluese (në këtë rast, nxitimi këndor është zero).
- Shpejtësia këndore (e konsideruar si një vektor i lirë) është e njëjtë në të gjitha kornizat e referencës inerciale, megjithatë, në korniza të ndryshme të referencës inerciale, boshti ose qendra e rrotullimit të të njëjtit trup specifik në të njëjtin moment kohor mund të ndryshojnë (d.m.th. " pika e aplikimit” të shpejtësisë këndore).
- Në rastin e lëvizjes së një pike të vetme në hapësirën tredimensionale, mund të shkruajmë një shprehje për shpejtësinë këndore të kësaj pike në lidhje me origjinën e zgjedhur:
- Në rastin e lëvizjes së njëtrajtshme rrotulluese (d.m.th., lëvizjes me një vektor të shpejtësisë këndore konstante), koordinatat karteziane të pikave të një trupi që rrotullohen në këtë mënyrë kryejnë lëkundje harmonike me një frekuencë këndore (ciklike) të barabartë me madhësinë e këndit. vektori i shpejtësisë.
Lidhja me rrotullim të fundëm në hapësirë
. . .Shihni gjithashtu
Letërsia
- Lurie A.I. Mekanika analitike\\ A.I. - M.: GIFML, 1961. - F. 100-136
Fondacioni Wikimedia.
- 2010.
- Divnogorsk
Kilovat orë
Shihni se çfarë është "Shpejtësia këndore" në fjalorë të tjerë: SHPEJTËSI KËNDORE - sasi vektoriale që karakterizon shpejtësinë e rrotullimit të një trupi të ngurtë. Kur një trup rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme rreth një boshti fiks, V.s. w=Dj/Dt, ku Dj është rritja në këndin e rrotullimit j gjatë periudhës kohore Dt, dhe në rastin e përgjithshëm w=dj/dt. Vektori U......
Shihni se çfarë është "Shpejtësia këndore" në fjalorë të tjerë: Enciklopedia fizike - SHPEJTËSIA KËNDORE, shpejtësia e ndryshimit të pozicionit këndor të një objekti në lidhje me një pikë fikse. Vlera mesatare e shpejtësisë këndore w të një objekti që lëviz nga këndi q1 në këndin q2 gjatë kohës t shprehet si (q2 q1)w)/t. Shpejtësia këndore e menjëhershme... ...
Shihni se çfarë është "Shpejtësia këndore" në fjalorë të tjerë: Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik - SHPEJTËSI KËNDORE, vlerë që karakterizon shpejtësinë e rrotullimit të një trupi të ngurtë. Kur një trup rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme rreth një boshti fiks, vlera absolute e shpejtësisë këndore të tij është w=Dj/Dt, ku Dj është rritja në këndin e rrotullimit gjatë një periudhe kohore Dt...
Shihni se çfarë është "Shpejtësia këndore" në fjalorë të tjerë: Enciklopedia moderne - sasi vektoriale që karakterizon shpejtësinë e rrotullimit të një trupi të ngurtë. Me rrotullimin e njëtrajtshëm të një trupi rreth një boshti fiks, vlera absolute e shpejtësisë këndore të tij, ku është rritja në këndin e rrotullimit gjatë një periudhe kohore? t...
Fjalori i madh enciklopedik- Një masë kinematike e lëvizjes rrotulluese të një trupi, e shprehur me një vektor të barabartë në madhësi me raportin e këndit elementar të rrotullimit të trupit me periudhën elementare kohore gjatë së cilës kryhet ky rrotullim, dhe i drejtuar përgjatë boshtit të menjëhershëm ... ... Udhëzues teknik i përkthyesit
Fjalori i madh enciklopedik- sasi vektoriale që karakterizon shpejtësinë e rrotullimit të një trupi të ngurtë. Kur një trup rrotullohet në mënyrë uniforme rreth një boshti fiks, vlera absolute e shpejtësisë këndore të tij është ω = Δφ/Δt, ku Δφ është rritja në këndin e rrotullimit gjatë një periudhe kohore Δt. * * * KËND… Fjalor Enciklopedik
Fjalori i madh enciklopedik- kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. shpejtësi këndore shpejtësi këndore vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. shpejtësi këndore, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos Terminų žodynas
Fjalori i madh enciklopedik- kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Kai kunas sukasi tolygiai… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
Fjalori i madh enciklopedik- kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. shpejtësi këndore shpejtësi këndore vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. shpejtësi këndore, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas
Shpejtësia këndore- një sasi që karakterizon shpejtësinë e rrotullimit të një trupi të ngurtë. Kur një trup rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme rreth një boshti fiks, V.s. ω =Δφ/ Δt, ku Δφ është rritja në këndin e rrotullimit φ gjatë periudhës kohore Δt. Në rastin e përgjithshëm, U. s. numerikisht e barabartë ... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Zakonisht, kur flasim për lëvizje, imagjinojmë një objekt që lëviz në një vijë të drejtë. Shpejtësia e një lëvizjeje të tillë zakonisht quhet lineare, dhe llogaritja e vlerës mesatare të saj është e thjeshtë: mjafton të gjesh raportin e distancës së përshkuar me kohën gjatë së cilës trupi ka kaluar. Nëse një objekt lëviz në një rreth, atëherë në këtë rast nuk përcaktohet linear, por çfarë është kjo sasi dhe si llogaritet? Kjo është pikërisht ajo që do të diskutohet në këtë artikull.
Shpejtësia këndore: koncepti dhe formula
Kur lëvizni përgjatë një rrethi, shpejtësia e lëvizjes së tij mund të karakterizohet nga madhësia e këndit të rrotullimit të rrezes që lidh objektin lëvizës me qendrën e këtij rrethi. Është e qartë se kjo vlerë ndryshon vazhdimisht në varësi të kohës. Shpejtësia me të cilën ndodh ky proces nuk është gjë tjetër veçse shpejtësia këndore. Me fjalë të tjera, ky është raporti i devijimit të vektorit të rrezes së një objekti me periudhën kohore që i është dashur objektit për të bërë një kthesë të tillë. Formula e shpejtësisë këndore (1) mund të shkruhet si më poshtë:
w = φ / t, ku:
φ - këndi i rrotullimit të rrezes,
t - periudha kohore e rrotullimit.
Njësitë matëse
Në Sistemin Ndërkombëtar të Njësive të Përbashkëta (SI), radianët përdoren për të karakterizuar kthesat. Prandaj, 1 rad/s është njësia bazë e përdorur në llogaritjet e shpejtësisë këndore. Në të njëjtën kohë, askush nuk e ndalon përdorimin e shkallëve (kujtoni se një radian është i barabartë me 180/pi, ose 57˚18'). Gjithashtu, shpejtësia këndore mund të shprehet në numrin e rrotullimeve për minutë ose për sekondë. Nëse lëvizja rreth rrethit ndodh në mënyrë uniforme, atëherë kjo vlerë mund të gjendet duke përdorur formulën (2):
ku n është shpejtësia e rrotullimit.
Përndryshe, në të njëjtën mënyrë si për shpejtësinë e zakonshme, llogaritet shpejtësia këndore mesatare ose e menjëhershme. Duhet të theksohet se sasia në shqyrtim është vektoriale. Për të përcaktuar drejtimin e tij, zakonisht përdoret, i cili përdoret shpesh në fizikë. Vektori i shpejtësisë këndore drejtohet në të njëjtin drejtim si vidhosja me një fije të djathtë. Me fjalë të tjera, ai drejtohet përgjatë boshtit rreth të cilit rrotullohet trupi, në drejtimin nga i cili vërehet se rrotullimi ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Shembuj të llogaritjes
Supozoni se duhet të përcaktoni se cila është shpejtësia lineare dhe këndore e një rrote, nëse dihet se diametri i saj është i barabartë me një metër dhe këndi i rrotullimit ndryshon në përputhje me ligjin φ = 7t. Le të përdorim formulën tonë të parë:
w = φ / t = 7t / t = 7 s -1 .
Kjo do të jetë shpejtësia këndore e dëshiruar. Tani le të kalojmë në kërkimin e shpejtësisë së lëvizjes që është e njohur për ne. Siç dihet, v = s/t. Duke marrë parasysh që s në rastin tonë janë rrotat (l = 2π*r), dhe 2π është një rrotullim i plotë, marrim sa vijon:
v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0,5 = 3,5 m/s
Këtu është një enigmë tjetër për këtë temë. Dihet se në ekuator është 6370 kilometra. Kërkohet të përcaktohet shpejtësia lineare dhe këndore e lëvizjes së pikave të vendosura në këtë paralele, e cila lind si rezultat i rrotullimit të planetit tonë rreth boshtit të tij. Në këtë rast, ne kemi nevojë për formulën e dytë:
w = 2π*n = 2*3.14 *(1/(24*3600)) = 7.268 *10 -5 rad/s.
Mbetet për të gjetur se sa është e barabartë shpejtësia lineare: v = w*r = 7.268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.