Относительность движения. Лекция

Решение

Автобус, велосипедист и грузовик в каждый момент времени образуют равнобедренный треугольник, основание которого лежит на дороге, по которой едут автобус и велосипедист (см. рис.). Направим ось вдоль этой дороги в направлении движения автобуса и велосипедиста, а ось — перпендикулярно к ней. Тогда законы движения транспортных средств имеют вид:

Здесь верхними индексами «0» снабжены начальные координаты и скорости, буквами А, В, и Г обозначены величины, относящиеся к автобусу, велосипедисту и грузовику соответственно, а — проекция скорости грузовика на ось . Заметим, что выражение для получается из тех соображений, что грузовик всё время находится в вершине равнобедренного треугольника, противоположной его основанию. Из этого, в частности, следует, что проекция скорости грузовика на ось равна . Из условия задачи нам известен модуль скорости грузовика , которая связана со своими компонентами формулой: . Отсюда проекция скорости грузовика на ось равна .

Теперь мы знаем обе компоненты скорости грузовика, и найти скорость грузовика относительно автобуса не составляет труда. По теореме Пифагора, применённой к треугольнику скоростей, имеем

Очень часто мы сталкиваемся с ситуацией, когда одно тело движется по другому телу, а это тело в свою очередь движется относительно Земли. Например, человек идёт по салону автобуса, а автобус едет по дороге; моторная лодка плывёт по реке, в которой сильное течение, в воздухе летит воздушный шар и воздух движется относительно земли (дует ветер) и пр. Подумайте сами, в каких случаях встречаются подобные ситуации.

Сформулируем некоторые общие вещи.

Пусть перемещение тела относительно движущейся системы отсчёта (относительно другого тела, движущегося по земле) равно , перемещение движущейся системы отсчёта относительно неподвижной равно . Обозначим перемещение тела относительно неподвижной системы отсчёта (Земли) , тогда

Мы только что сформулировали классический закон сложения перемещений.

Рассмотрим некоторые примеры.

Подъёмный кран при подъёме груза на высоту 20 метров, переместился по рельсам, проложенным по горизонтальной поверхности на 30 метров (рис.5). Как при этом переместился груз?

Перемещение груза относительно крана - , перемещение крана относительно земли - . Тогда перемещение груза относительно земли равно

модуль перемещения груза относительно земли

Таким образом, груз поднимается вверх и одновременно смещается вправо вместе с краном.

Человек по квадратному плоту прошёл по диагонали, а плот за это время сместился вниз по течению реки на расстояние, равное стороне плота. Чему рано перемещение человека? Сделаем рисунок (рис.6). Пусть длина стороны квадратного плота равна а. Перемещение человека - (перемещение человека относительно движущейся системы отсчёта, связанной с плотом, либо, что то же самое, с рекой, ведь плот движется со скоростью, равной скорости течения реки). Перемещение плота относительно берега за это время - . Перемещение человека относительно берега равно

Модуль перемещения можно определить по теореме Пифагора (треугольник АВС)

Теперь разберёмся, что происходит со скоростями в подобных ситуациях.

Пусть для простоты тело движется равномерно со скоростью относительно движущейся системы отсчёта, которая движется со скоростью относительно неподвижной системы отсчёта (Земли). Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта (Земли) равна

Записанное выражение отражает классический закон сложения скоростей .

Яркий пример проявления закона сложения скоростей – движение в реке с течением.

Скорость лодки относительно воды, которая, как известно, течет относительно берега сверху вниз, обозначим . Эту скорость лодке может сообщить гребец (гребцы), сидящий в ней, либо мотор. Скорость течения реки пусть одинакова по всей ширине реки и равна . Понятно, что в реальной реке всё гораздо сложнее, вода вблизи берегов тормозится, там скорость течения меньше, чем в середине реки, в реке есть водовороты, камни и т.д. Но всеми этими эффектами мы пренебрежём. Скорость лодки относительно берега равна

Пусть лодка плывёт по течению реки, тогда вектора и сонаправлены, модуль скорости лодки относительно берега равен

Если лодка плывёт против течения реки, то скорость лодки относительно берега равна

Понятно, что плыть против течения удаётся не всегда. Если , то сильным течением лодку будет сносить вниз по течению реки, и движение против течения окажется невозможно. Если , то все усилия гребца сидящего в лодке направлены на то, чтобы удержать лодку в покое относительно берега. Плыть против течения удастся только в случае .

Рассмотрим задачу о переправе . Пусть скорость течения реки по всей ширине реки одинакова, равна и направлена параллельно берегам. Ширина реки всюду одинакова и равна . Скорость лодки равна . Выясним, как будет двигаться лодка, если при переправе скорость лодки относительно воды будет направлена перпендикулярно берегу. Скорость лодки относительно берега равна (рис.7)

Как видно из рисунка, вектор направлен по линии АС, а не перпендикулярно берегу, как того желают сидящие в лодке гребцы. Модуль находим по теореме Пифагора

Время переправы Т определяется шириной реки и собственной скоростью лодки V

При переправе лодку снесёт на расстояние ВС

Ответим на вопрос – как нужно направлять лодку при переправе, чтобы плыть строго перпендикулярно берегу, то есть, чтобы не было сноса. Скорость лодки относительно берега по-прежнему равна (рис.8)

Вектор должен быть направлен перпендикулярно берегу (по линии АВ). Чтобы вектор мог быть направлен таким образом, вектор собственной скорости лодки должен составлять с берегом угол b, который можно определить так

Понятно, что движение без сноса возможно только в том случае, когда .

Модуль скорости лодки относительно берега равен

Время переправы равно

Вспомним ещё раз формулировку закона сложения скоростей. Тело движется равномерно со скоростью относительно движущейся системы отсчёта, которая движется со скоростью относительно неподвижной системы отсчёта (Земли). Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта (Земли) равна

Записанное выражение позволяет определять скорость относительного движения тел. Пусть движущаяся система отсчёта связана с некоторым телом (назовём его – второе тело). А первое тело движется относительно земли со скоростью .

Тогда скорость первого тела относительно второго равна

то есть – это скорость первого тела относительно движущейся системы отсчёта, связанной со вторым телом. А скорость второго тела относительно первого равна

Таким образом, мы можем решать задачи об относительном движении тел.

Не следует забывать, что за векторными уравнениями, записанными для и скрываются три скалярных уравнения для проекций скоростей на оси ОХ, ОY, OZ.

Подробнее остановимся на понятии относительной скорости, для этого опять обратимся к примерам.

Пусть автомобиль едет с постоянной скоростью , а на обочине дороги стоит пешеход (рис.9). Скорость автомобиля относительно пешехода равна , а вот скорость пешехода относительно

автомобиля равна , то есть по модулю она равна скорости автомобиля относительно Земли, но направлена противоположно (если наблюдатель находится в автомобиле, то он видит, что пешеход сначала приближается к автомобилю со скоростью V, а затем,

когда автомобиль проедет мимо пешехода, что тот удаляется от автомобиля со скоростью V).

Пусть тот же автомобиль едет со скоростью , приближаясь к перекрёстку, а грузовик приближается к тому же перекрёстку по перпендикулярной дороге со скоростью (рис.10). Определим скорость автомобиля относительно грузовика (перейдём в систему отсчёта, связанную с грузовиком)

А направление указано на рисунке 10.

Теперь определим скорость грузовика относительно автомобиля (перейдём в систему отсчёта, связанную с автомобилем)

Модуль скорости также определим по теореме Пифагора

Для того, чтобы не запутаться при определении скорости относительного движения тел, советуем воспользоваться следующим приёмом. Например, вам нужно определить скорость одного автомобиля относительно второго. Вы мысленно садитесь в первый автомобиль, становитесь его пассажиром и представляете, как будет двигаться второй автомобиль относительно вас. Для ситуации, изображённой на рисунке 10, если вы сидите в автомобиле, то грузовик относительно вас будет во-первых, приближаться к перекрёстку по дороге MN со скоростью , а, во-вторых, будет приближаться к вам параллельно дороге АВ со скоростью V. На самом деле по дороге АВ едет ваш автомобиль со скоростью V, но поскольку Вы сидите в нём, то Вы видите, что грузовик едет на Вас со скоростью V, то есть относительно Вас грузовик едет влево. Так очень просто можно запомнить, что в формуле , перед стоит знак «минус», что означает, что для Вас (сидящих в автомобиле) грузовик едет влево.

Выясним сейчас, как можно определить расстояние междy телами в процессе движения.

Расстояние между двумя материальными точками А с координатами и В с координатами определяется следующим образом

Если точки движутся, то их координаты зависят от времени, эта зависимость описывается уравнениями движения. Поэтому и расстояние между ними тоже зависит от времени.

Пусть два тела движутся вдоль одной прямой и мы знаем скорости этих тел. Как найти, с какой скоростью движется одно из этих тел относительно другого? Рассмотрим сначала случай, когда скорости тел направлены одинаково.

Решим задачу

Из поселка одновременно выехали в одном направлении грузовик со скоростью 40 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью движется легковой автомобиль относительно грузовика?

Решение. За час грузовик проедет 40 км, а легковой автомобиль проедет 60 км. Расстояние между ними будет равно разности расстояний, пройденных автомобилями, то есть 20 км (рис. 9.2). Значит, легковой автомобиль движется относительно грузовика со скоростью 20 км/ч.

Рис 9.2. Начальное положение автомобилей обозначено черным кружком, положение грузовика через час после начала движения - зеленым, а легкового автомобиля - синим

Итак, если два тела движутся в одном направлении со скоростями v 1 и v 2 , причем v 1 > v 2 v отн = v 1 - v 2 . При этом расстояние между телами может не только увеличиваться, но и уменьшаться: например, если легковой автомобиль догоняет грузовик.

Рассмотрим теперь случай, когда скорости тел направлены противоположно.

Решим задачу

Из поселка одновременно выехали в противоположных направлениях грузовик со скоростью 40 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью движется легковой автомобиль относительно грузовика?

Решение. За час грузовик проедет 40 км, а легковой автомобиль проедет 60 км. Но расстояние между ними будет равно теперь сумме расстояний, пройденных автомобилями (рис. 9.3), то есть 100 км. Значит, легковой автомобиль движется относительно грузовика со скоростью 100 км/ч.

Рис. 9.3. Начальное положение автомобилей (черный кружок) и их положение через час после начала движения (зеленый и синий кружки)

Итак, если два тела движутся в противоположных направлениях со скоростями v 1 и v 2 , то одно тело движется относительно другого со скоростью v отн = v 1 + v 2 При этом расстояние между телами может как увеличиваться, так и уменьшаться: например, если автомобили едут навстречу друг другу. Рассмотрим это на следующем примере.

Решим задачу

Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу по прямой дороге выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость грузовика 40 км/ч, а легкового автомобиля - 60 км/ч. Через какое время после выезда автомобилей расстояние между ними будет равно 100 км?

Решение. Так как автомобили едут в противоположных направлениях, то один автомобиль движется относительно другого со скоростью v отн = v 1 + v 2 = 40 км/ч + 60 км/ч = 100 км/ч. До встречи автомобили сближаются, то есть расстояние между ними уменьшается. Поскольку в начальный момент расстояние между ними было равно 300 км и каждый час оно уменьшается на 100 км, то расстояние между автомобилями станет равным 100 км через 2 ч после выезда. Но это не единственный ответ! Ведь после встречи, которая произойдет через 3 ч после выезда автомобилей, они начнут удаляться друг от друга, и расстояние между ними будет теперь увеличиваться на 100 км каждый час. Значит, есть еще один момент времени, когда расстояние между автомобилями будет равно 100 км: он наступит через час после встречи автомобилей, то есть через 4 ч после их выезда. Решить задачу - значит найти все ответы!

Ответ: через 2 ч и через 4 ч.

1 . Приведите примеры относительно каких тел покоится плот, плывущий по течению? Относительно каких тел движется?

2 . Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в системе отсчета, связанной с землей?

3 . Почему нельзя применять паруса для управления полетом воздушного шара?

4 . Туристы плывут на плоту по реке, и один из них плавает вокруг плота. Изобразите траекторию движения пловца относительно:

а) наблюдателя на плоту,

б) наблюдателя, который находится на высоком обрыве около реки.

5 . Изобразите траекторию движения точки обода велосипедного колеса при прямолинейном движении велосипеда по дороге в системах отсчета, жестко связанных:

а) с велосипедистом;

б) с наблюдателем, стоящим сбоку.

6 . На рисунке 1 даны направления движения трех тел. Модули их скоростей относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ 1 = 5 м/с, υ 2 = 4 м/с, υ 3 = 2 м/с. Применяя закон сложения скоростей, определите скорости движения тел относительно:

а) первого тела;

б) третьего тела.

Соответствует ли полученный ответ вашей интуиции?

7 . На рисунке 2 даны направления движения трех тел. Модули скоростей первого и второго тела относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ 1 = 5 м/с, υ 2 = 4 м/с. Скорость третьего тела относительно второго по модулю равна υ 3 = 3 м/с. Определите скорость третьего тела относительно:

а) неподвижного наблюдателя;

б) первого тела.

8 . Скорость пловца относительно воды 1,2 м/с. Скорость течения 0,8 м/с. Определите скорость пловца относительно берега, если пловец плывет по течению реки.

9 . Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость встречного ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом?

10 . Определите скорость ветра, если двигатель самолета сообщает ему в безветренную погоду скорость равную 900 км/ч, а при встречном ветре 850 км/ч.

11 . По дороге движутся автомобиль со скоростью 15 м/с и велосипедист со скоростью 5 м/с. Определите скорость их сближения, если:

а) автомобиль догоняет велосипедиста;

б) они движутся навстречу друг другу.

12 . Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найдите время, за которое пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идет в направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчета, связанной с эскалатором.

13 . Два автомобиля движутся навстречу друг другу с равными скоростями по 80 км/ч каждая. За какое время расстояние между ними уменьшится на 10 км?

14 . По двум параллельным железнодорожным линиям равномерно движутся два поезда: грузовой длиной 630 м со скоростью 48 км/ч и пассажирский длиной 120 м со скоростью 102 км/ч. В течение какого времени пассажирский поезд проходит мимо машиниста грузового, если поезда движутся:

а) в одном направлении;

б) навстречу друг другу?

15 . Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 10 с встречный поезд. Длина встречного поезда 290 м. Определите его скорость.

16 . Скорость течения 3 м/с, а рыбак может грести со скоростью 5 м/с при неподвижной воде. Определите время, необходимое рыбаку, чтобы спуститься на 40 м вниз по течению и на столько же подняться вверх.

Уровень C

1 . Скорость движения теплохода относительно берега вниз по реке 20 км/ч, а вверх – 18 км/ч. Определите скорость течения относительно берега и скорость теплохода относительно воды.

2 . Автоколонна длиной 1,2 км движется со скоростью 36 км/ч. Мотоциклист выезжает из головы колонны, доезжает до ее хвоста и возвращается обратно. Определите время, за которое мотоциклист преодолеет данное расстояние, если его скорость равна 72 км/ч.

3 . Пловец, двигаясь относительно воды перпендикулярно течению со скоростью 5 км/ч, переплывает реку шириной 120 м. Скорость течения 3,24 км/ч. Определите:

а) скорость пловца относительно берега;

б) время, которое требуется пловцу, чтобы переплыть реку;

в) перемещение пловца относительно берега;

г) под каким углом к берегу плывет пловец?

4 . Вертолет летел в безветренную погоду на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к первоначальному направлению будет лететь вертолет, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?

5 . На катере необходимо переплыть реку перпендикулярно берега. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 1,2 м/с, катер двигался относительно берега со скоростью 3,2 м/с?

6 . Пловец желает переплыть реку перпендикулярно берега. Под каким углом к течению он должен плыть, если скорость пловца относительно воды 1 м/с, скорость течения 0,8 м/с?

7 . Скорость течения реки 4 км/ч, ширина ее 240 м. С какой скоростью относительно берега должен плыть пловец, чтобы переплыть реку за 15 мин, если его скорость относительно воды перпендикулярна берегу?

8 . По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся равномерно грузовая и легковая машины со скоростями 36 км/ч и 72 км/ч соответственно. На каком расстоянии окажутся друг от друга машины через 10 мин после встречи у перекрестка?

9 . В безветренную погоду вертолет двигался со скоростью 90 км/ч точно на север. Найдите скорость вертолета, если подул северо-западный ветер под углом 45° к направлению движения. Скорость ветра 10 м/с.

10 . Наблюдатель на берегу определил значение скорости пловца, переплывающего реку, 2,0 м/с. Скорость была направлена под углом 60° к линии берега. Какова скорость пловца относительно воды, если скорость течения реки 1,0 м/с?

11 . По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 72 км/ч. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км?

Инструкция

Введите систему координат, относительно которой вы будете определять направление и модуль . Если в задаче уже задана зависимости скорости от времени, вводить систему координат не нужно – предполагается, что она уже есть.

По имеющейся функции зависимости скорости от времени можно найти значение скорости в любой момент времени t. Пусть, например, v=2t²+5t-3. Если требуется найти модуль скорости в момент времени t=1, просто подставьте это значение в и посчитайте v: v=2+5-3=4.

Когда задача требует в начальный момент времени, подставьте в функцию t=0. Таким же образом можно , подставив известную скорость. Так, в конце пути тело остановилось, то есть, его скорость стала равна нулю. Тогда 2t²+5t-3=0. Отсюда t=[-5±√(25+24)]/4=[-5±7]/4. Получается, что либо t=-3, либо t=1/2, а поскольку время не может быть отрицательным, остается только t=1/2.

Иногда в задачах уравнение скорости дается в завуалированной форме. Например, в условии сказано, что тело двигалось равноускоренно с отрицательным ускорением -2 м/с², а в начальный момент скорость тела составляла 10 м/с. Отрицательное ускорение означает, что тело равномерно замедлялось. Из этих условий можно составить уравнение для скорости: v=10-2t. С каждой секундой скорость будет уменьшаться на 2 м/с, пока тело не остановится. В конце пути скорость обнулится, поэтому легко найти общее время движения: 10-2t=0, откуда t=5 секунд. Через 5 секунд после начала движения тело остановится.

Помимо прямолинейного движения тела, существует еще и движение тела по окружности. В общем случае оно является криволинейным. Здесь возникает центростремительное ускорение, которое связано с линейной скоростью формулой a(c)=v²/R, где R – радиус. Удобно рассматривать также угловую скорость ω, причем v=ωR.

Источники:

• как находить зависимость пути от времени

От модуля начальной скорости во многом зависят характеристики движения тела. Для того чтобы найти эту величину, необходимо воспользоваться дополнительными измерениями или данными. Величина модуля начальной скорости может являться основополагающей характеристикой, например, для огнестрельного оружия.

Вам понадобится

• - рулетка;
• - дальномер;
• - секундомер;
• - акселерометр;
• - спидометр;
• - угломер;
• - хронограф.

Инструкция

Сначала определитесь с типом движения. Если оно равномерное, то достаточно измерить длину пути, по которому переместилось тело, сделав это рулеткой, дальномером или другим доступным способом, и поделить это значение на время, за которое это перемещение осуществлялось. Поскольку движение равномерное, то модуль скорости на протяжении всего пути будет одинаков, так что полученная скорость будет равна начальной.

При равноускоренном прямолинейном движении измерьте при помощи акселерометра ускорение тела, а с помощью секундомера время его движения, спидометром конечную скорость в конце отрезка пути. Найдите значение модуля начальной скорости, отняв от конечной скорости произведение ускорения на время движения v0=v-a*t. Если неизвестно значение ускорения, измеряйте расстояние, которое покрыло тело за время t. Сделайте это при помощи рулетки или дальномера.

Зафиксируйте значение конечной скорости. Найдите начальную скорость, отняв от удвоенного значения расстояния S, поделенного на время, значение конечной скорости v, v0=2S/t-v. Когда значение конечной скорости измерить сложно, а ускорение известно, воспользуйтесь другой формулой. Для этого измеряйте перемещение тела, а также время, которое оно было в пути. От значения перемещения отнимите произведение ускорения на квадрат времени, поделенное на 2, а результат поделите на время, v0=(S-at²/2)/t или v0=S/t-at/2.