Введение
Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос.Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении». И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.
Угловая скорость твердого тела - это первая производная от угла поворота тела по времени
А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении
обычно дается следующее определение
Угловая скорость тела - это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки
Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега - скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера».
При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся.
Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы.
Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость - это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга.
Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому - начнем!
1. Свободное движение твердого тела. Тензор поворота
Итак, как известно из традиционного вузовского курса теормехаЕсли движение, совершаемо телом не ограничено связями, то такое его движение называют свободным
Это - самый общий случай движения тела. Следующий рисунок иллюстрирует тот факт, что свободное движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с полюсом и сферического вокруг полюса.
Рис. 1. Обычная иллюстрация из курса теоретической механики: определение положения свободного твердого тела в пространстве.
Напомню, что речь идет об абсолютно твердом теле , то есть теле, расстояния между точками которого не изменяется с течением времени. Ещё можно сказать, что твердое тело представляет собой неизменяемую механическую систему.
Как видно из рисунка 1, обычной практикой является рассмотрение двух систем координат - одна считается неподвижной и называется базовой , другая жестко связанна с телом и поворачивается относительно базовой вместе с ним. Такую систему координат называют связанной .
Сначала я тоже хотел ограничиться декартовыми координатами. Но тогда бы мои читатели задали бы мне логичный вопрос - «а зачем тогда тут тензоры?». Поэтому, потратив четыре для в мучительных раздумьях и «нагуляв» окончательное решение пару часов назад, я решил замахнуться на «Вильяма, нашего, Шекспира» и изложить дальнейшие рассуждения в криволинейных координатах.
Рис. 2. Ориентация твердого тела в локальном базисе.
Пусть положение полюса задается вектором
Причем под этим вектором не следует понимать радиус-вектор, так как в криволинейных координатах такое понятие бессмысленно.
В точке O 1 задан локальный репер базовой системы координат, образованный тройкой векторов . С движущимся телом связан подвижный репер . Поворот связанного репера относительно базового можно задать линейным оператором. Получим этот оператор и исследуем его свойства
Рассмотрим некоторую точку M , принадлежащую телу. К ней из полюса можно провести вектор неподвижный относительно связанного репера. Его можно разложить по векторам этого репера
и по векторам базового репера
Каждый вектор связанного репера можно разложить через векторы базового репера
Подставляем (4) в (2) и сравниваем с (3)
Из (5) понятно, что компоненты вектора в базовой системе координат, пересчитываются через его компоненты в связанной системе путем применения линейного оператора
или в безиндексной форме
где столбцы матрицы
– контравариантные компоненты векторов связанного репера по отношению к базовому. Точка, как мы уже отмечали в прошлой статье , обозначает умножение тензоров с последующей сверткой по соседней паре индексов. Линейный оператор
действует на векторы таким образом, что поворачивает их относительно некоторой оси, не меняя длины и угла между векторами. Такое преобразование пространства называется ортогональным . Для того, чтобы таковое преобразование было возможным, оператор (7) должен обладать вполне определенными свойствами. Если длина векторов базиса и углы между ними не меняются, то это означает равенство всех попарных скалярных произведений векторов репера как в базовой, так и в связанной системах координат
Правая часть (8) - это локальный метрический тензор
или
Оператор является по сути обыкновенной матрицей поворота координатной системы. И (10) утверждает, что если транспонированную матрицу поворота умножить на метрический тензор, а результат умножить на матрицу поворота мы получим снова метрический тензор. Можно сделать вывод, что
Преобразование координат при повороте является тождественным для метрического тензора, то есть переводит метрический тензор сам в себя.
В выражении (10) нетрудно увидеть преобразование метрического тензора про смене системы координат, о котором мы подробно говорили в самой первой статье цикла
Стоп! Но мы же знаем, что матрицы поворота обычно ортогональны, то есть произведение матрицы поворота на её транспонированную дает единичную матрицу, иными словами, чтобы обратить матрицу поворота её достаточно транспонировать.
Но ортогональность свойственна матрицам поворота, преобразующим ортонормированный декартов базис. Здесь мы имеем дело с локальным базисом, при повороте которого должны сохранятся длины векторов и углы между ними. Если мы примем базис декартовым, то из (10) мы получим привычные свойства матрицы поворота, к примеру её ортогональность.
Для дальнейших вычислений нам потребуется знать, как будет выглядеть матрица обратного преобразования, то есть . Что же, посмотрим. Для этого умножим (10) слева на и справа на
откуда незамедлительно получаем
Выходит, что матрица обратного преобразования действительно получается из транспонированной матрицы преобразования, но с участием метрического тензора. Выражения (10) и (11) очень пригодятся нам, а пока сделаем некоторые выводы.
Закон свободного движения твердого тела можно выписать в криволинейных координатах в виде системы уравнений
При этом (12) - закон движения полюса, а (13) - закон сферического движения тела вокруг полюса. При этом (13) - тензор ранга (1,1), называемый тензором поворота .
2. Скорость точки тела при свободном движении. Угловая скорость выходит на сцену
Вычислим скорость точки M , положение которой в связанной системе координат задается постоянными, в силу твердости тела, криволинейными координатамиИз курса теоретической механики известна формула, определяющая скорость точки тела в данном движении
где - скорость полюса; - скорость точки вокруг полюса.
Так как все координаты, кроме (13) определены относительно базового репера, мы можем записать
Индекс в круглых скобках означает систему координат, в которой берутся компоненты (0 - базовая, 1 - связанная). Дифференцируем (15) по времени с учетом (13)
Перейдем в (16) к связанной системе координат, домножив (15) слева на
где - компонента оператора обратного преобразования .
Теперь сравним (17) и (14). В последнем слагаемом должно вылезти векторное произведение. Вспоминая определение векторного произведения через тензор Леви-Чивиты, данное во второй статье цикла, замечаем, что на выходе оно дает ковектор, поэтому в (17) перейдем к ковариантым компонентам, домножив это выражение на метрический тензор слева
Теперь представим себе, как выглядел бы ковектор скорости точки относительно плюса, записанный через вектор угловой скорости
при этом замечая, что
антисимметричный тензор второго ранга, о котором мы говорили в прошлой статье< . Таким образом, нам бы доказать, что
является антисимметричным тензором второго ранга. Для этого придется доказать, что (19) меняет знак при перестановка индексов (транспонировании). При этом будем учитывать, что метрический тензор - абсолютно симметричный тензор второго ранга и при транспонировании он не меняется. Поэтому исследуем взаимосвязи между матрицами поворота, для чего нам потребуются выражения (10) и (11). Но прежде чем приступить, докажем ещё одно вспомогательное утверждение
3. Лемма о ковариантной производной метрического тензора
Ковариантная производная метрического тензора равна нулю
Обратимся к понятию ковариантной производной вектора, о которой упоминалось в третьей статье . Тогда мы вывели выражения для контравариантных компонент ковариантной производной от вектора
Как как и любой вектор, компоненты данного вектора можно трансформировать в ковариантные умножением и сверткой с метрическим тензором
А можно продифференцировать ковариантные компоненты непосредственно
Сравнивая (21) и (20) мы приходим к выводу, что равенство возможно лишь в случае если верно утверждение леммы
4. Угловая скорость как антисимметричный тензор второго ранга
Теперь, перепишем (19) в безиндексном виде, учтя уравнение (11)Далее, нам нужна связь между оператором поворота и его производной - дифференцируем (10) по времени
или, собирая производные от метрического тензора в правой части
Но, производные от метрического тензора в (24) будут равны нулю, в силу равенства нулю ковариантной производной метрического тензора. Значит правая часть (24) равна нулю
Пользуясь свойствами операции транспонирования, преобразуем (25)
Так как и с учетом (23), получаем
Любому антисимметричному тензору можно поставить в соответствие псевдовектор, который мы уже получали в предыдущей статье. Повторим этот результат для тензора угловой скорости
Возможно читателю знаком распространенный подход замены векторного произведения на умножение кососимметричной матрицы, построенной из первого вектора по определенному правилу, на второй вектор. Так вот это правило получается естественным путем, если в качестве инструмента использовать тензорное исчисление. Действительно, вот эта кососимметричная матрица, которой в матричном изложении механики заменяют угловую скорость
Возможно, внимательный читатель увидит, что в полученной матрице знаки противоположны тем, что мы получали в статье, посвященной антисимметричным тензорам. Да, все верно, ведь в той статье мы сворачивали вектор с тензором Леви-Чивиты по его третьему индексу k , тут мы выполняем свертку по среднему индексу j что дает прямо противоположные знаки.
Матрица (30) частенько встречается в литературе, в частности в трудах Д. Ю. Погорелова , но там она вводится как мнемоническое правило. Формула (29) дает четкую связь между вектором угловой скорости и кососимметричной матрицей. Она же дает возможность перейти от (28) к формуле
Что, внезапно, эквивалентно векторному соотношению
Заключение
В этой статье было много математики. И я вынужден пока ограничится этим материалом - статья вышла длинной и насыщенной формулами. Данная тема будет продолжена и углублена в следующих статьях цикла.Какой же вывод мы можем сделать сейчас? А вот какой
Угловая скорость твердого тела есть антисимметричный тензор, или, соответствующий ему псевдовектор, порождаемый тензором поворота тела относительно базовой системы координат
Для того чтобы написать эту работу потребовалось перелопатить гору литературы. Основные выкладки выполнены автором самостоятельно. Камнем преткновения были матрицы поворота для случая косоугольных координат. Я не сразу разглядел в соотношении (10) преобразование, оставляющее метрику инвариантной, хотя с учетом ранее написанных статей - следовало бы. Понять эту связь мне помог ужасный по оформлению, но очень толковый сайт Добавить метки
Скоростью электропривода называют скорость электродвигательного устройства (электродвигателя) и всех движущихся масс, механически связанных с ним.
В судовых электроприводах используют, в основном, два вида движения:
1. поступательное, например, перемещение груза при помощи лебедки, движение ленты транспортера и т.п.;
2. вращательное, например, вращение вала электродвигателя насоса.
Кроме поступательного и вращательного, в некоторых судовых электроприводах используется возвратно-поступательное движение, например, в поршневых насосах.
Вал электродвигателя вращается и через кривошипно-шатунный механизм застав-
ляет поршень внутри цилиндра двигаться поступательно, вверх-вниз.
Поэтому единицы измерения скорости при поступательном и вращательном движе-
нии разные.
Рассмотрим эти единицы.
Единицы измерения скорости при поступательном движении
При поступательном движении скорость поступательно движущихся масс называется «линейная скорость», обозначается латинской буквой «υ» и измеряется в «м/с» (метр в секунду) или «м/мин» (метр в минуту).Например, скорость подъёма груза электропривода лебёдки υ = 30 м/мин.
На практике применяют внесистемные (не соответствующие системе СИ) едини-
цы измерения скорости, например, километр в час (км/ч), узел (один кабельтов в час,
причем 1 кабельтов равен одной морской миле, т. е. 1852 м), и т.д.
Единицы измерения скорости при вращательном движении
При измерении скорости вращающихся масс применяют два наименования скорости:
1. «частота вращения», обозначается латинской буквой «n» и измеряется в
«об/мин» (оборот в минуту). Например, частота вращения двигателя n = 1500 об/мин.
Эта единица скорости – внесистемная, т.к. в ней используется внесистемная единица времени, а именно – минута (в системе СИ время измеряется в секундах).
Тем не менее эта единица до сих пор широко применяется на практике. Например, в паспортных данных электродвигателей скорость вала указывается именно в об/ мин.
2. «угловая скорость», обозначается латинской буквой «ω» и измеряется в
«рад/с» (радиан в секунду) или, что одно и то же, с (секунда в минус первой степени). Например, угловая скорость электродвигателя ω = 157 с .
Напомним, что радиан – вторая, кроме знакомого нам пространственного градуса
(º), единица измерения углового расстояния, равная 360º / 2π = 360 / 2*3,14 = 57º36" (пять
десят семь градусов и 36 минут).
Впервые возникла в расчетах, где часто встречалось число 360º / 2π.
Эта единица скорости – системная, т.к. в ней используется системная единица вре-
мени, а именно – секунда.
В теории электропривода применяется только вторая единица - (радиан в секунду)
На практике надо уметь быстро переходить от одной единицы скорости к другой и наоборот.
Поэтому выведем соотношение между этими двумя единицами.
Угловая частота (через частоту вращения):
ω = 2 πn / 60 = n / (60 / 2 π) = n / 9,55 ≈ n / 10 (1).
Пример №1.
В паспорте электродвигателя указана номинальная скорость вала n = 1500 об/мин.
Найти угловую скорость вращения вала этого электродвигателя.
Частота вращения вала
ω =n / 9,55 = 1500 / 9,55 = 157 ≈ 150 с .
Теперь найдем обратное соотношение.
Частота вращения (через угловую частоту):
n = 60 ω / 2 π = 60 ω / 2*3,14 = 9,55 ω ≈ 10 ω (2)
Пример №2.
Угловая частота вала электродвигателя ω = 314 с .
Найти частоту вращения вала этого электродвигателя.
Частота вращения вала
n = 9,55 ω = 9,55*314 = 3000 ≈ 3140 об/ мин.
«Физика - 10 класс»
Угловая скорость.
Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА 1 > ВВ 1 (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.
Угол φ - угол между осью ОХ и радиус-вектором определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).
Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.
Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению
Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска - около 140 рад/с.
Угловую скорость можно связать с частотой вращения.
Частота вращения - число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).
Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.
Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.
Если φ 0 ≠ 0, то φ - φ 0 = ωt, или φ = φ 0 ± ωt.
Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17"48". В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).
Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями.
Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью , чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:
Так как ω = 2πν, то
Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:
Следовательно,
а цс = ω 2 R.
Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:
Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела - поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.
На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.
Углова́я ско́рость - векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:
,а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика , то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС - радианы в секунду . (Примечание: радиан , как и любые единицы измерения угла, - физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости - просто ). В технике также используются обороты в секунду, намного реже - градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту - это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.
Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:
где - радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение . Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) от оси вращения можно считать так: Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.
- В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути - если плоскость вращения заведомо известна - может быть заменена скаляром - проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
- Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение .
- Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).
- Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета , однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
- В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат :
- В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой , равной модулю вектора угловой скорости.
Связь с конечным поворотом в пространстве
. . .См. также
Литература
- Лурье А. И. Аналитическая механика\\ А. И. Лурье. - М.: ГИФМЛ, 1961. - С. 100-136
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Дивногорск
- Киловатт-час
Смотреть что такое "Угловая скорость" в других словарях:
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ - векторная величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота j за промежуток времени Dt, а в общем случае w=dj/dt. Вектор У.… … Физическая энциклопедия
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ - УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, скорость изменения угловой позиции предмета относительно фиксированной точки. Средняя величина угловой скорости w предмета, движущегося от угла q1 до угла q2 за время t выражается как (q2 q1)w)/t. Мгновенной угловой скоростью… … Научно-технический энциклопедический словарь
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ - УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота за промежуток времени Dt … Современная энциклопедия
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ - векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости, где приращение угла поворота за промежуток времени?t … Большой Энциклопедический словарь
угловая скорость - Кинематическая мера вращательного движения тела, выражаемая вектором, равным по модулю отношению элементарного угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается этот поворот, и направленным вдоль мгновенной оси… … Справочник технического переводчика
угловая скорость - векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости ω = Δφ/Δt, где Δφ приращение угла поворота за промежуток времени Δt. * * * УГЛОВАЯ … Энциклопедический словарь
угловая скорость - kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos terminų žodynas
угловая скорость - kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Kai kūnas sukasi tolygiai … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
угловая скорость - kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas
Угловая скорость - величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. ω =Δφ/ Δt, где Δφ приращение угла поворота φ за промежуток времени Δt. В общем случае У. с. численно равна… … Большая советская энциклопедия
Обычно, когда говорят о перемещении, мы представляем себе объект, который движется по прямой. Скорость такого движения принято называть линейной, и расчёт ее средней величины выполняется просто: достаточно найти отношение пройденного расстояния к времени, за которое оно было телом преодолено. Если же объект перемещается по окружности, то в этом случае уже определяется не линейная, а Что это за величина и как ее рассчитывают? Об этом как раз и пойдет разговор в данной статье.
Угловая скорость: понятие и формула
Когда движется по окружности, быстроту ее перемещения можно характеризовать величиной угла поворота радиуса, который соединяет движущийся объект с центром данной окружности. Понятно, что эта величина в зависимости от времени постоянно меняется. Быстрота, с которой этот процесс происходит, и есть не что иное, как угловая скорость. Другими словами, это отношение величины отклонения радиус-вектора объекта к промежутку времени, которое потребовалось объекту на совершение такого поворота. Формула угловой скорости (1) может быть записана в таком виде:
w = φ / t, где:
φ - угол поворота радиуса,
t - период времени вращения.
Единицы измерения величины
В международной системе общепринятых единиц (СИ) для характеристики поворотов принято использовать радианы. Поэтому 1 рад/с - основная единица, которая используется в расчетах угловой скорости. В то же время никто не запрещает применять градусы (напомним, что один радиан равен 180/пи, или 57˚18’). Также угловая скорость может выражаться в числе оборотов за минуту или за секунду. Если перемещение по окружности происходит равномерно, то данная величина может быть найдена по формуле (2):
где n - частота вращения.
В противном случае подобно тому, как это делают для обычной скорости, рассчитывают среднюю, или мгновенную угловую скорость. Следует отметить, что рассматриваемая величина является векторной. Для определения ее направления обычно используют которое часто применяется в физике. Вектор угловой скорости направлен в ту же сторону, в которую происходит винта с правой резьбой. Другими словами, он устремлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против движения часовой стрелки.
Примеры расчета
Предположим, требуется определить, чему равна линейная и угловая скорость колеса, если известно, что его диаметр равен одному метру, а угол вращения изменяется в соответствии с законом φ=7t. Воспользуемся нашей первой формулой:
w = φ / t = 7t / t = 7 с -1 .
Это и будет искомая угловая скорость. Теперь перейдем к поиску привычной нам быстроты перемещения. Как известно, v = s / t. Учитывая, что s в нашем случае - это колеса (l =2π*r), а 2π - один полный оборот, получается следующее:
v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5 м/с
Вот еще одна задачка на эту тему. Известно, что на экваторе равен 6370 километров. Требуется определить линейную и угловую быстроту движения точек, находящихся на этой параллели, которое возникает в результате вращения нашей планеты вокруг своей оси. В данном случае нам понадобится вторая формула:
w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10 -5 рад/с.
Осталось выяснить, чему равна линейная скорость: v = w*r = 7,268 *10 -5 *6370 * 1000 = 463 м/с.