Αριθμητική λύση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Αριθμητική λύση διαφορικών εξισώσεων Αριθμητική λύση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων Μέθοδος Euler

Οι διαφορικές εξισώσεις είναι εξισώσεις στις οποίες μια άγνωστη συνάρτηση εμφανίζεται κάτω από το πρόσημο της παραγώγου. Το κύριο καθήκον της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων είναι η μελέτη συναρτήσεων που είναι λύσεις σε τέτοιες εξισώσεις.

Οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις, στις οποίες οι άγνωστες συναρτήσεις είναι συναρτήσεις μιας μεταβλητής και σε μερικές διαφορικές εξισώσεις, στις οποίες οι άγνωστες συναρτήσεις είναι συναρτήσεις δύο ή περισσότερων μεταβλητών.

Η θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι πιο σύνθετη και καλύπτεται σε πιο ολοκληρωμένα ή εξειδικευμένα μαθήματα μαθηματικών.

Ας αρχίσουμε να μελετάμε τις διαφορικές εξισώσεις με την απλούστερη εξίσωση - μια εξίσωση πρώτης τάξης.

Εξίσωση της φόρμας

F(x,y,y") = 0,(1)

όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή. y - η απαιτούμενη συνάρτηση. y" - η παράγωγός του, ονομάζεται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Εάν η εξίσωση (1) μπορεί να επιλυθεί ως προς το y", τότε παίρνει τη μορφή

και ονομάζεται εξίσωση πρώτης τάξης λυμένη ως προς την παράγωγο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να γράψουμε την εξίσωση (2) με τη μορφή f (x, y) dx - dy = 0, η οποία είναι μια ειδική περίπτωση της γενικότερης εξίσωσης

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)

όπου P(x,y) και Q(x,y) είναι γνωστές συναρτήσεις. Η εξίσωση σε συμμετρική μορφή (3) είναι βολική γιατί οι μεταβλητές x και y σε αυτήν είναι ίσες, δηλαδή η καθεμία από αυτές μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της άλλης.

Ας δώσουμε δύο βασικούς ορισμούς των γενικών και των ειδικών λύσεων της εξίσωσης.

Μια γενική λύση της εξίσωσης (2) σε μια ορισμένη περιοχή G του επιπέδου Oxy είναι μια συνάρτηση y = μ(x,C), ανάλογα με το x και μια αυθαίρετη σταθερά C, εάν είναι λύση της εξίσωσης (2) για οποιοδήποτε τιμή της σταθεράς C, και αν για οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες y x=x0 =y 0 τέτοια ώστε (x 0 ;y 0)=G, υπάρχει μια μοναδική τιμή της σταθεράς C = C 0 τέτοια ώστε η συνάρτηση y=q( x,C 0) ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες y=q(x 0 ,C).

Μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης (2) στον τομέα G είναι η συνάρτηση y=ts(x,C 0), η οποία προκύπτει από τη γενική λύση y=ts(x,C) σε μια ορισμένη τιμή της σταθεράς C=C 0.

Γεωμετρικά, η γενική λύση y = μ (x, C) είναι μια οικογένεια ολοκληρωτικών καμπυλών στο επίπεδο Oxy, που εξαρτάται από μια αυθαίρετη σταθερά C, και η συγκεκριμένη λύση y = μ (x, C 0) είναι μια ολοκληρωμένη καμπύλη αυτής οικογένεια που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο (x 0; y 0).

Κατά προσέγγιση επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με τη μέθοδο του Euler. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι η επιθυμητή ολοκληρωμένη καμπύλη, η οποία είναι ένα γράφημα μιας συγκεκριμένης λύσης, αντικαθίσταται κατά προσέγγιση από μια διακεκομμένη γραμμή. Ας δοθεί η διαφορική εξίσωση

και αρχικές συνθήκες y |x=x0 =y 0 .

Ας βρούμε μια κατά προσέγγιση λύση της εξίσωσης στο διάστημα [x 0 ,b] που να ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Ας διαιρέσουμε το τμήμα [x 0 ,b] με σημεία x 0<х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές x 0 και y 0 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης y"=f(x,y) και ας υπολογίσουμε την κλίση y"=f(x 0 ,y 0) της εφαπτομένης στην ολοκληρωτική καμπύλη στο το σημείο (x 0 ;y 0). Για να βρούμε την κατά προσέγγιση τιμή y 1 της επιθυμητής λύσης, αντικαθιστούμε την ολοκληρωτική καμπύλη στο τμήμα [x 0 , x 1 ,] με ένα τμήμα της εφαπτομένης του στο σημείο (x 0 ; y 0). Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε

y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),

από όπου, αφού είναι γνωστά τα x 0, x 1, y 0, βρίσκουμε

y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).

Αντικαθιστώντας τις τιμές x 1 και y 1 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης y"=f(x,y), υπολογίζουμε την κλίση y"=f(x 1,y 1) της εφαπτομένης στην ολοκληρωτική καμπύλη στο το σημείο (x 1; y 1). Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας την ολοκληρωτική καμπύλη στο τμήμα με ένα εφαπτόμενο τμήμα, βρίσκουμε την κατά προσέγγιση τιμή της λύσης y 2 στο σημείο x 2:

y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1) (x 2 - x 1)

Σε αυτή την ισότητα, τα x 1, y 1, x 2 είναι γνωστά και το y 2 εκφράζεται μέσω αυτών.

Παρόμοια βρίσκουμε

y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x

Έτσι, κατασκευάστηκε κατά προσέγγιση η επιθυμητή ολοκληρωτική καμπύλη με τη μορφή διακεκομμένης γραμμής και προέκυψαν κατά προσέγγιση τιμές y i της επιθυμητής λύσης στα σημεία x i. Σε αυτή την περίπτωση, οι τιμές του i υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο

y i = y i-1 +f(x i-1;y i-1) ?x (i=1,2, …, n).

Ο τύπος είναι ο κύριος τύπος υπολογισμού της μεθόδου Euler. Η ακρίβειά του είναι μεγαλύτερη, όσο μικρότερη είναι η διαφορά;x.

Η μέθοδος Euler αναφέρεται σε αριθμητικές μεθόδους που παρέχουν μια λύση με τη μορφή πίνακα κατά προσέγγιση τιμών της επιθυμητής συνάρτησης y(x). Είναι σχετικά τραχύ και χρησιμοποιείται κυρίως για κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Ωστόσο, οι ιδέες στις οποίες βασίζεται η μέθοδος του Euler είναι το σημείο εκκίνησης για μια σειρά από άλλες μεθόδους.

Ο βαθμός ακρίβειας της μεθόδου του Euler είναι, σε γενικές γραμμές, χαμηλός. Υπάρχουν πολύ πιο ακριβείς μέθοδοι για την κατά προσέγγιση επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Αριθμητική λύση διαφορικών εξισώσεων

Πολλά προβλήματα στην επιστήμη και την τεχνολογία καταλήγουν στην επίλυση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (ODE). ODE είναι εκείνες οι εξισώσεις που περιέχουν μία ή περισσότερες παραγώγους της επιθυμητής συνάρτησης. Γενικά, το ODE μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, είναι η i-η παράγωγος της επιθυμητής συνάρτησης. n είναι η σειρά της εξίσωσης. Η γενική λύση μιας nης τάξης ODE περιέχει n αυθαίρετες σταθερές, δηλ. η γενική λύση έχει τη μορφή .

Για να επιλέξετε μία μόνο λύση, είναι απαραίτητο να ορίσετε n πρόσθετες συνθήκες. Ανάλογα με τη μέθοδο καθορισμού πρόσθετων συνθηκών, υπάρχουν δύο διαφορετικοί τύποι προβλημάτων: το πρόβλημα Cauchy και το πρόβλημα οριακής τιμής. Εάν καθοριστούν πρόσθετες συνθήκες σε ένα σημείο, τότε ένα τέτοιο πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα Cauchy. Οι πρόσθετες συνθήκες στο πρόβλημα Cauchy ονομάζονται αρχικές συνθήκες. Εάν προσδιορίζονται πρόσθετες προϋποθέσεις σε περισσότερα από ένα σημεία, π.χ. για διαφορετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, τότε ένα τέτοιο πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα οριακής τιμής. Οι ίδιες οι πρόσθετες συνθήκες ονομάζονται οριακές ή οριακές συνθήκες.

Είναι σαφές ότι όταν n=1 μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για το πρόβλημα Cauchy.

Παραδείγματα ρύθμισης του προβλήματος Cauchy:

Παραδείγματα προβλημάτων οριακής τιμής:

Είναι δυνατή η αναλυτική επίλυση τέτοιων προβλημάτων μόνο για ορισμένους ειδικούς τύπους εξισώσεων.

Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος Cauchy για ODE πρώτης τάξης

Δήλωση του προβλήματος. Βρείτε λύση στην ΟΔΕ πρώτης τάξης

Στο παρεχόμενο τμήμα

Όταν βρίσκουμε μια κατά προσέγγιση λύση, θα υποθέσουμε ότι οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται με ένα υπολογισμένο βήμα, οι κόμβοι υπολογισμού είναι τα σημεία διαστήματος [ x 0 , x n ].

Ο στόχος είναι να φτιάξουμε ένα τραπέζι

εκείνοι. Οι κατά προσέγγιση τιμές του y αναζητούνται στους κόμβους του πλέγματος.

Ενσωματώνοντας την εξίσωση στο διάστημα, παίρνουμε

Ένας εντελώς φυσικός (αλλά όχι ο μοναδικός) τρόπος για να αποκτήσετε μια αριθμητική λύση είναι να αντικαταστήσετε το ολοκλήρωμα σε αυτό με κάποιο τύπο τετραγωνισμού αριθμητικής ολοκλήρωσης. Αν χρησιμοποιήσουμε τον απλούστερο τύπο για αριστερά ορθογώνια πρώτης τάξης

,

τότε παίρνουμε σαφής τύπος Euler:

Διαδικασία πληρωμής:

Γνωρίζοντας, βρίσκουμε, μετά κ.λπ.

Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Euler:

Εκμεταλλευόμενος αυτό που βρίσκεται στο σημείο x 0 η λύση είναι γνωστή y(x 0)= y 0 και την τιμή της παραγώγου της, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της επιθυμητής συνάρτησης στο σημείο:. Με ένα αρκετά μικρό βήμα ηη τεταγμένη αυτής της εφαπτομένης, που προκύπτει με αντικατάσταση στη δεξιά πλευρά της τιμής, θα πρέπει να διαφέρει ελάχιστα από την τεταγμένη y(x 1) λύσεις y(x) Προβλήματα Cauchy. Επομένως, το σημείο τομής της εφαπτομένης με την ευθεία x = xΤο 1 μπορεί να ληφθεί περίπου ως το νέο σημείο εκκίνησης. Μέσα από αυτό το σημείο χαράσσουμε πάλι μια ευθεία γραμμή, η οποία αντανακλά περίπου τη συμπεριφορά της εφαπτομένης στο σημείο. Αντικαθιστώντας εδώ (δηλαδή τη διασταύρωση με τη γραμμή x = x 2), λαμβάνουμε μια κατά προσέγγιση τιμή y(x) στο σημείο x 2: κ.λπ. Ως αποτέλεσμα για εγώ-ο σημείο παίρνουμε τον τύπο του Euler.

Η ρητή μέθοδος Euler έχει ακρίβεια πρώτης τάξης ή προσέγγιση.

Εάν χρησιμοποιείτε τον τύπο ορθογωνίου: , τότε ερχόμαστε στη μέθοδο

Αυτή η μέθοδος ονομάζεται με την άρρητη μέθοδο Euler, αφού ο υπολογισμός μιας άγνωστης τιμής από μια γνωστή τιμή απαιτεί την επίλυση μιας εξίσωσης που είναι γενικά μη γραμμική.

Η σιωπηρή μέθοδος Euler έχει ακρίβεια πρώτης τάξης ή προσέγγιση.

Σε αυτή τη μέθοδο, ο υπολογισμός αποτελείται από δύο στάδια:

Αυτό το σχήμα ονομάζεται επίσης μέθοδος πρόβλεψης-διορθωτή (predictive-correcting). Στο πρώτο στάδιο, η κατά προσέγγιση τιμή προβλέπεται με χαμηλή ακρίβεια (h), και στο δεύτερο στάδιο αυτή η πρόβλεψη διορθώνεται έτσι ώστε η τιμή που προκύπτει να έχει ακρίβεια δεύτερης τάξης.

Μέθοδοι Runge–Kutta:την ιδέα της κατασκευής ρητών μεθόδων Runge–Kutta σελ-η σειρά είναι να ληφθούν προσεγγίσεις στις τιμές y(x εγώ+1) σύμφωνα με έναν τύπο της μορφής

…………………………………………….

Εδώ ένα n , β nj , σελ n, – ορισμένοι σταθεροί αριθμοί (παράμετροι).

Κατά την κατασκευή των μεθόδων Runge–Kutta, οι παράμετροι της συνάρτησης ( ένα n , β nj , σελ n) επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε να λαμβάνεται η επιθυμητή σειρά προσέγγισης.

Σχέδιο Runge–Kutta τέταρτης τάξης ακρίβειας:

Παράδειγμα. Λύστε το πρόβλημα Cauchy:

Εξετάστε τρεις μεθόδους: ρητή μέθοδο Euler, τροποποιημένη μέθοδο Euler, μέθοδο Runge–Kutta.

Ακριβής λύση:

Τύποι υπολογισμού χρησιμοποιώντας τη ρητή μέθοδο Euler για αυτό το παράδειγμα:

Τύποι υπολογισμού της τροποποιημένης μεθόδου Euler:

Τύποι υπολογισμού για τη μέθοδο Runge–Kutta:

y1 – μέθοδος Euler, y2 – τροποποιημένη μέθοδος Euler, y3 – μέθοδος Runge Kutta.

Μπορεί να φανεί ότι η πιο ακριβής είναι η μέθοδος Runge–Kutta.

Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων ODE πρώτης τάξης

Οι μέθοδοι που εξετάζονται μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Ας το δείξουμε αυτό για την περίπτωση ενός συστήματος δύο εξισώσεων πρώτης τάξης:

Ρητή μέθοδος Euler:

Τροποποιημένη μέθοδος Euler:

Σχέδιο Runge–Kutta τέταρτης τάξης ακρίβειας:

Τα προβλήματα Cauchy για εξισώσεις υψηλότερης τάξης περιορίζονται επίσης στην επίλυση συστημάτων εξισώσεων ODE. Για παράδειγμα, σκεφτείτε Πρόβλημα Cauchy για εξίσωση δεύτερης τάξης

Ας εισάγουμε μια δεύτερη άγνωστη συνάρτηση. Στη συνέχεια, το πρόβλημα Cauchy αντικαθίσταται από το εξής:

Εκείνοι. ως προς το προηγούμενο πρόβλημα: .

Παράδειγμα. Βρείτε μια λύση στο πρόβλημα Cauchy:

Στο τμήμα.

Ακριβής λύση:

Πραγματικά:

Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη ρητή μέθοδο Euler, τροποποιημένη με τη μέθοδο Euler και Runge-Kutta με βήμα h=0.2.

Ας παρουσιάσουμε τη συνάρτηση.

Στη συνέχεια λαμβάνουμε το ακόλουθο πρόβλημα Cauchy για ένα σύστημα δύο ODE πρώτης τάξης:

Ρητή μέθοδος Euler:

Τροποποιημένη μέθοδος Euler:

Μέθοδος Runge-Kutta:

Κύκλωμα Euler:

Τροποποιημένη μέθοδος Euler:

Σχέδιο Runge - Kutta:

Max(y-y θεωρία)=4*10 -5

Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση προβλημάτων οριακών τιμών για ODE

Δήλωση του προβλήματος: βρείτε λύση σε γραμμική διαφορική εξίσωση

πληρούν τις οριακές συνθήκες:. (2)

Θεώρημα.Αφήστε . Τότε υπάρχει μια μοναδική λύση στο πρόβλημα.

Αυτό το πρόβλημα περιορίζεται, για παράδειγμα, στο πρόβλημα του προσδιορισμού των παραμορφώσεων μιας δοκού που αρθρώνεται στα άκρα της.

Κύρια στάδια της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών:

1) η περιοχή της συνεχούς αλλαγής του ορίσματος () αντικαθίσταται από ένα διακριτό σύνολο σημείων που ονομάζονται κόμβοι: .

2) Η επιθυμητή συνάρτηση του συνεχούς ορίσματος x αντικαθίσταται περίπου από τη συνάρτηση του διακριτού ορίσματος σε ένα δεδομένο πλέγμα, δηλ. . Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση πλέγματος.

3) Η αρχική διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από μια εξίσωση διαφοράς ως προς τη συνάρτηση πλέγματος. Αυτή η αντικατάσταση ονομάζεται προσέγγιση διαφοράς.

Έτσι, η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης καταλήγει στην εύρεση των τιμών της συνάρτησης πλέγματος σε κόμβους πλέγματος, οι οποίες βρίσκονται από την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων.

Προσέγγιση παραγώγων.

Για να προσεγγίσετε (αντικαταστήσετε) την πρώτη παράγωγο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους:

- παράγωγο σωστής διαφοράς,

- αριστερή παράγωγο διαφοράς,

Παράγωγο κεντρικής διαφοράς.

δηλαδή υπάρχουν πολλοί πιθανοί τρόποι προσέγγισης της παραγώγου.

Όλοι αυτοί οι ορισμοί προκύπτουν από την έννοια του παραγώγου ως ορίου: .

Με βάση την προσέγγιση διαφοράς της πρώτης παραγώγου, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια προσέγγιση διαφοράς της δεύτερης παραγώγου:

Ομοίως, μπορούμε να λάβουμε προσεγγίσεις παραγώγων υψηλότερης τάξης.

Ορισμός.Το σφάλμα προσέγγισης της νης παραγώγου είναι η διαφορά: .

Για τον προσδιορισμό της σειράς προσέγγισης, χρησιμοποιείται η επέκταση της σειράς Taylor.

Ας εξετάσουμε τη δεξιά προσέγγιση διαφοράς της πρώτης παραγώγου:

Εκείνοι. η σωστή διαφορά παράγωγος έχει πρώτα από hσειρά προσέγγισης.

Το ίδιο ισχύει και για την αριστερή παράγωγο διαφοράς.

Η κεντρική διαφορά παράγωγος έχει προσέγγιση δεύτερης τάξης.

Η προσέγγιση της δεύτερης παραγώγου σύμφωνα με τον τύπο (3) έχει επίσης μια δεύτερη τάξη προσέγγισης.

Για να προσεγγίσουμε μια διαφορική εξίσωση, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε όλες τις παράγωγές της με τις προσεγγίσεις τους. Ας εξετάσουμε το πρόβλημα (1), (2) και ας αντικαταστήσουμε τις παραγώγους στο (1):

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

(4)

Η σειρά προσέγγισης του αρχικού προβλήματος είναι 2, γιατί το δεύτερο και το πρώτο παράγωγο αντικαθίστανται με τη σειρά 2 και τα υπόλοιπα - ακριβώς.

Έτσι, αντί για τις διαφορικές εξισώσεις (1), (2), προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για προσδιορισμό σε κόμβους πλέγματος.

Το διάγραμμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Δηλαδή, έχουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με έναν πίνακα:

Αυτός ο πίνακας είναι τριδιαγώνιος, δηλ. όλα τα στοιχεία που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο και οι δύο διαγώνιοι που βρίσκονται δίπλα της είναι ίσα με μηδέν.

Λύνοντας το προκύπτον σύστημα εξισώσεων, παίρνουμε μια λύση στο αρχικό πρόβλημα.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι εκείνες οι εξισώσεις που περιέχουν μία ή περισσότερες παραγώγους της επιθυμητής συνάρτησης y=y (x). Μπορούν να γραφτούν στη φόρμα

Όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.

Η υψηλότερη τάξη n της παραγώγου που περιλαμβάνεται στην εξίσωση ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης.

Οι μέθοδοι επίλυσης συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων μπορούν να χωριστούν στις ακόλουθες ομάδες: γραφικές, αναλυτικές, κατά προσέγγιση και αριθμητικές.

Οι γραφικές μέθοδοι χρησιμοποιούν γεωμετρικές κατασκευές.

Αναλυτικές μέθοδοι βρίσκονται στο μάθημα για τις διαφορικές εξισώσεις. Για εξισώσεις πρώτης τάξης (με χωριστές μεταβλητές, ομοιογενείς, γραμμικές κ.λπ.), καθώς και για ορισμένους τύπους εξισώσεων υψηλότερης τάξης (για παράδειγμα, γραμμικές με σταθερούς συντελεστές), είναι δυνατό να ληφθούν λύσεις με τη μορφή τύπων μέσω αναλυτικών μετασχηματισμών.

Οι κατά προσέγγιση μέθοδοι χρησιμοποιούν διάφορες απλοποιήσεις των ίδιων των εξισώσεων με την εύλογη απόρριψη ορισμένων όρων που περιέχονται σε αυτές, καθώς και μια ειδική επιλογή κλάσεων των αναζητούμενων συναρτήσεων.

Οι αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων είναι επί του παρόντος το κύριο εργαλείο στη μελέτη επιστημονικών και τεχνικών προβλημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις. Πρέπει να τονιστεί ότι αυτές οι μέθοδοι είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικές σε συνδυασμό με τη χρήση σύγχρονων υπολογιστών.

Η απλούστερη αριθμητική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος Cauchy για το ODE είναι η μέθοδος Euler. Ας εξετάσουμε την εξίσωση κοντά στους κόμβους (i=1,2,3,...) και ας αντικαταστήσουμε την παράγωγο στην αριστερή πλευρά με τη δεξιά διαφορά. Σε αυτήν την περίπτωση, αντικαθιστούμε τις τιμές της συνάρτησης κόμβου με τις τιμές της συνάρτησης πλέγματος:

Η προκύπτουσα προσέγγιση του DE είναι πρώτης τάξης, καθώς επιτρέπεται σφάλμα κατά την αντικατάσταση από.

Σημειώστε ότι από την εξίσωση προκύπτει

Επομένως, αντιπροσωπεύει έναν κατά προσέγγιση προσδιορισμό της τιμής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο χρησιμοποιώντας μια επέκταση σειράς Taylor με απόρριψη όρων της δεύτερης και ανώτερης τάξης. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας συνάρτησης θεωρείται ίση με το διαφορικό της.

Υποθέτοντας i=0, χρησιμοποιώντας τη σχέση βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης πλέγματος στο:

Η τιμή που απαιτείται εδώ δίνεται από την αρχική συνθήκη, δηλ.

Ομοίως, οι τιμές της συνάρτησης πλέγματος σε άλλους κόμβους μπορούν να βρεθούν:

Ο κατασκευασμένος αλγόριθμος ονομάζεται μέθοδος Euler

Εικόνα - 19 Μέθοδος Euler

Η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Euler δίνεται στο σχήμα. Απεικονίζονται τα δύο πρώτα βήματα, δηλ. Ο υπολογισμός της συνάρτησης πλέγματος στα σημεία απεικονίζεται. Οι ολοκληρωτικές καμπύλες 0,1,2 περιγράφουν ακριβείς λύσεις της εξίσωσης. Στην περίπτωση αυτή, η καμπύλη 0 αντιστοιχεί στην ακριβή λύση του προβλήματος Cauchy, αφού διέρχεται από το αρχικό σημείο Α (x 0 ,y 0). Τα σημεία B, C προέκυψαν ως αποτέλεσμα της αριθμητικής επίλυσης του προβλήματος Cauchy με τη χρήση της μεθόδου Euler. Οι αποκλίσεις τους από την καμπύλη 0 χαρακτηρίζουν το σφάλμα της μεθόδου. Με κάθε βήμα καταλήγουμε στην πραγματικότητα σε μια διαφορετική ακέραια καμπύλη. Το τμήμα ΑΒ είναι ένα τμήμα που εφάπτεται στην καμπύλη 0 στο σημείο Α, η κλίση του χαρακτηρίζεται από την τιμή της παραγώγου του. Το σφάλμα εμφανίζεται επειδή η αύξηση της τιμής της συνάρτησης κατά τη μετάβαση από x 0 σε x 1 αντικαθίσταται από μια αύξηση στην τεταγμένη της εφαπτομένης στην καμπύλη 0 στο σημείο Α. Η εφαπτομένη BC έχει ήδη σχεδιαστεί σε μια άλλη ολοκληρωτική καμπύλη 1 Έτσι, το σφάλμα της μεθόδου Euler οδηγεί στο γεγονός ότι σε κάθε βήμα, η κατά προσέγγιση λύση μετακινείται σε μια άλλη ολοκληρωμένη καμπύλη.

Ορισμός της διαφορικής εξίσωσης του Euler. Εξετάζονται μέθοδοι επίλυσής του.

Η διαφορική εξίσωση του Euler είναι μια εξίσωση της μορφής
ένα 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ ένα n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Σε μια γενικότερη μορφή, η εξίσωση του Euler έχει τη μορφή:
.
Αυτή η εξίσωση ανάγεται με την αντικατάσταση t = ax+b σε μια απλούστερη μορφή, την οποία θα εξετάσουμε.

Αναγωγή της διαφορικής εξίσωσης του Euler σε εξίσωση με σταθερούς συντελεστές.

Εξετάστε την εξίσωση του Euler:
(1) .
Ανάγεται σε γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές με αντικατάσταση:
x = e t .
Πράγματι, λοιπόν
;
;
;

;
;
..........................

Έτσι, οι παράγοντες που περιέχουν x m ακυρώνονται. Οι υπόλοιποι όροι είναι αυτοί με σταθερούς συντελεστές. Ωστόσο, στην πράξη, για την επίλυση των εξισώσεων του Euler, είναι δυνατή η χρήση μεθόδων για την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές χωρίς τη χρήση της παραπάνω υποκατάστασης.

Λύση της ομογενούς εξίσωσης Euler

Εξετάστε την ομοιογενή εξίσωση Euler:
(2) .
Αναζητούμε λύση της εξίσωσης (2) στη μορφή
.
;
;
........................
.
Αντικαθιστούμε στο (2) και μειώνουμε κατά x k.
.
Λαμβάνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

Το λύνουμε και παίρνουμε n ρίζες, που μπορεί να είναι σύνθετες.
.

Ας δούμε τις πραγματικές ρίζες. Έστω k i πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας m.
.
Αυτές οι m ρίζες αντιστοιχούν σε m γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις: Ας εξετάσουμε σύνθετες ρίζες. Εμφανίζονται σε ζευγάρια μαζί με σύνθετα συζυγή. Έστω k i πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας m.Ας εκφράσουμε τη σύνθετη ρίζα k i ως προς το πραγματικό και το φανταστικό μέρος:
;
;
..............................
.

Αυτές οι ρίζες m και m μιγαδικές συζυγείς ρίζες αντιστοιχούν σε
(3) .

2 μ

γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:


Αφού ληφθούν n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, λαμβάνουμε τη γενική λύση της εξίσωσης (2):

Παραδείγματα

Λύστε εξισώσεις:
.
Λύση παραδειγμάτων > > >

Λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης Euler 1 Εξετάστε την ανομοιογενή εξίσωση Euler: 1 Η μέθοδος μεταβολής των σταθερών (μέθοδος Lagrange) είναι επίσης εφαρμόσιμη στις εξισώσεις του Euler. 1 Αρχικά, λύνουμε την ομογενή εξίσωση (2) και παίρνουμε τη γενική της λύση (3). Στη συνέχεια θεωρούμε τις σταθερές ως συναρτήσεις της μεταβλητής x.

Διαφοροποίηση (3) n -

μια φορά. Λαμβάνουμε εκφράσεις για n -

παράγωγα του y ως προς το x.

Σε κάθε διαφοροποίηση, οι όροι που περιέχουν παράγωγα ισοδυναμούν με μηδέν. Έτσι παίρνουμε n -

εξισώσεις που σχετίζονται με παράγωγα.
(4)
,
Στη συνέχεια βρίσκουμε την nη παράγωγο του y.

Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που προκύπτουν σε (1) και παίρνουμε την ν-η εξίσωση που σχετίζεται με τις παραγώγους.
,
Από αυτές τις εξισώσεις προσδιορίζουμε .