Grundgrößen der Kinematik. Technische Mechanik

1. Mechanisches Uhrwerk– Änderung der Position eines Körpers im Raum relativ zu anderen Körpern im Laufe der Zeit.

2. Materialpunkt (MT)- ein Körper, dessen Abmessungen bei der Beschreibung seiner Bewegung vernachlässigt werden können.

3. Flugbahn - eine Linie im Raum, entlang der sich das MT bewegt (die Menge aufeinanderfolgender Positionen des MT, die es während der Bewegung einnimmt).

4. Referenzsystem (FR) beinhaltet:

· Referenzstelle;

· Koordinatensystem, das diesem Körper zugeordnet ist;

· ein Gerät zur Zeitmessung, einschließlich der Wahl des Startzeitpunkts (in diesem Fall müssen bei Verwendung mehrerer Uhren diese synchronisiert werden).

5. Das Hauptproblem (Umkehrproblem) der Kinematik: Finden Sie das Gesetz (die Gleichungen) der Körperbewegung in einem bestimmten Bezugssystem.
Die Bewegungsgleichungen eines schräg zur Horizontalen geworfenen Körpers sehen beispielsweise so aus:

Gleichzeitig sind alle anderen Aufgaben, das Finden von Weg, Hubhöhe, Distanz, Zeit, Hilfsaufgaben und in der Regel leicht anhand der Bewegungsgleichungen lösbar. Die direkte Aufgabe der Kinematik besteht darin, die Bewegungsparameter anhand gegebener Bewegungsgleichungen zu berechnen.

6. Vorwärtsbewegung eindeutig bestimmt durch eines der folgenden Merkmale:

· alle Punkte des Körpers bewegen sich entlang gleichartiger Flugbahnen;

· Jedes im Körperinneren gezogene gerade Liniensegment bleibt während der Vorwärtsbewegung parallel zu sich selbst;

· Alle Punkte des Körpers bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit.

7. Rotationsbewegung – eine solche Bewegung, bei der sich alle Punkte des Körpers auf Kreisen bewegen, deren Mittelpunkte auf derselben Geraden, der sogenannten Rotationsachse, liegen

Die ebene Bewegung eines starren Körpers kann in Translations- und Rotationsbewegung zerlegt werden.

8. Weg ist die Länge der Flugbahn (gemessen unter Berücksichtigung der Durchgangsvielfalt ihrer einzelnen Abschnitte).

9. Durchschnittsgeschwindigkeit ist eine vektorielle physikalische Größe, die dem Verhältnis der Bewegung zur Zeitspanne entspricht, in der diese Bewegung ausgeführt wird.

10. Durchschnittswert des Geschwindigkeitsmoduls (durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit) – Dies ist eine skalare physikalische Größe, die dem Verhältnis des Weges zur Zeitspanne entspricht, in der dieser Weg zurückgelegt wurde.

11. Momentane Geschwindigkeit - Dies ist eine vektorielle physikalische Größe, die der ersten Ableitung des Verschiebungsvektors (oder Radiusvektors) nach der Zeit entspricht: ,

oder , in Projektionen erhalten wir: usw.

12. Beschleunigung - - Dies ist eine vektorielle physikalische Größe, die der ersten Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit entspricht:

, in Projektionen erhalten wir: usw.

Tabelle der Bewegungsarten:

Tabelle 6

13. Gleichung (Gesetz) der gleichmäßig alternierenden Bewegung:

, oder in Koordinatenform: .

14. Gleichung (Gesetz) der Geschwindigkeitsänderung mit gleichmäßig wechselnder Bewegung: , oder in Koordinatenform:

15. Formel für Durchschnittsgeschwindigkeit mit gleichmäßiger Bewegung :
.

17. Formel für einen Pfad mit ausgeschlossener Zeit: .

Grundlegende Definitionen der Kinematik der Rotationsbewegung:

18. Zeitraum - Dies ist der Wert des Zeitintervalls, in dem der Körper eine vollständige Umdrehung entlang einer zyklischen Flugbahn durchführt.
Die Häufigkeit ist der Kehrwert der Periode, , .
Die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde ist gleich der Frequenz, wird aber mit n, bezeichnet.

19. Winkelgeschwindigkeit– skalare Größe gleich der ersten Ableitung des Drehwinkels nach der Zeit, . Als nächstes führen wir Winkel und Winkelgeschwindigkeit als Vektorgrößen ein. Mit gleichmäßiger Bewegung .

20. Beschleunigung bei Kurvenfahrt– besteht aus zwei Komponenten: tangential, verantwortlich für die Geschwindigkeitsänderung in der Größe und normal, oder zentripetal, verantwortlich für die Krümmung der Flugbahn

Angesichts des Ausdrucks

endlich bekommen wir: , , wobei der Einheitsvektor zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet ist und der Einheitsvektor entlang der Tangente an die Flugbahn ist. Eine kompaktere Ausgabe sieht so aus: , also, und .

Typisch Kinematikprobleme:

Aufgabe Nr. 2. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Punkte A, B, C, D auf einer Scheibe, Abb. 4, die auf einer Ebene ohne Schlupf rollt (reines Rollen).
Zeichnen Sie die geometrische Position der Punkte auf der Scheibe, deren absolute Geschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit der Translationsbewegung der Scheibe ist.

Aufgabe Nr. 3. Zwei Autos fahren mit einer bestimmten Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. Welchen Mindestabstand muss das zweite Auto einhalten, um sich vor Steinen zu schützen, die unter den Rädern des ersten Autos hervorkommen? In welchem ​​Winkel zum Horizont im mit der Erde verbundenen Bezugssystem fliegen die gefährlichsten Steine ​​heraus? Luftwiderstand vernachlässigen.

Antwort: - vorwärts in Fahrtrichtung.

Aufgabe Nr. 4. Die kritische Kurzzeitbeschleunigung für den menschlichen Körper (bei der eine Chance besteht, schwere Verletzungen zu vermeiden) beträgt . Wie groß sollte der Mindestbremsweg sein, wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Autos 100 km/h beträgt?

Aufgabe Nr. 5.(Nr. 1.23 aus der Aufgabensammlung). Der Punkt bewegt sich geradlinig mit einer Beschleunigung, deren Größe nach dem Gesetz von seiner Geschwindigkeit abhängt, wobei eine positive Konstante gilt. Im Anfangsmoment ist die Geschwindigkeit des Punktes gleich. Wie weit wird sie gehen, bevor sie aufhört? Wie lange wird es dauern, diesen Weg zu vollenden?

Die Kinematik untersucht die mechanische Bewegung von Körpern, ohne die Gründe zu berücksichtigen, die diese Bewegung verursachen. Bei den meisten kinematischen Problemen handelt es sich um eine gleichmäßig variable geradlinige Bewegung. Eine gleichmäßige geradlinige Bewegung kann als Sonderfall einer gleichmäßig variablen Bewegung betrachtet werden, wenn die Bedingung erfüllt ist.

Die einfachste Art der krummlinigen Bewegung ist die gleichförmige Bewegung eines Punktes entlang eines Kreises. Komplexer ist die krummlinige Bewegung von Körpern, die horizontal oder schräg zum Horizont geworfen werden. Eine solche Bewegung kann als Ergebnis zweier gleichzeitiger geradliniger Bewegungen entlang von Achsen betrachtet werden, von denen eine parallel und die zweite senkrecht zur Erdoberfläche verläuft.

Ein materieller Punkt ist ein Körper, dessen Form und Abmessungen bei der Lösung dieses Problems vernachlässigt werden können.

Ein Referenzsystem ist ein mit einer Uhr ausgestattetes und mit einer Reihe von Körpern (Materialpunkten) verbundenes Koordinatensystem, relativ zu dem die Bewegung anderer Körper (Materialpunkte) berücksichtigt wird.

Die Menge der Punkte im Raum, die ein materieller Punkt passiert, wenn er sich relativ zum gewählten Bezugssystem bewegt, wird als Flugbahn des materiellen Punktes bezeichnet.

Der Weg ist die Strecke S, die ein Punkt entlang der Flugbahn in Bewegungsrichtung im betrachteten Zeitraum zurücklegt.

Bewegung ist ein Vektor , die die Positionen eines sich bewegenden Punktes am Anfang und am Ende eines bestimmten Zeitraums verbindet. Der Verschiebungsvektor ist entlang der Sehne der Punktflugbahn gerichtet.

Bewegungsgleichung entlang der Koordinatenachse:

.

Punktgeschwindigkeit – vektorielle physikalische Größe, die die Richtung und Geschwindigkeit der Bewegung eines Punktes charakterisiert.

Durchschnittsgeschwindigkeit ist eine Vektorgröße, die dem Verhältnis des Inkrements des Radiusvektors eines Punktes Δr im Zeitintervall von t bis t + Δt zur Dauer dieses Intervalls Δt entspricht:

Sofortige Geschwindigkeit:
.

Dies ist die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt oder einem bestimmten Punkt auf der Flugbahn.

Beschleunigung ist eine vektorielle physikalische Größe, die der ersten Ableitung der Geschwindigkeit υ eines Punktes nach der Zeit t entspricht und die Geschwindigkeitsänderungsrate charakterisiert:

.

Bei gleichförmig veränderlicher Bewegung haben die Abhängigkeiten von Weg und Geschwindigkeit von der Zeit folgende Form:

,
,

Wo – Anfangsgeschwindigkeit der Körperbewegung.

Wenn sich ein Körper in einem Koordinatensystem relativ zu einem anderen bewegt, wird die Geschwindigkeit des Körpers durch die Vektoraddition der Geschwindigkeiten des Körpers und der Systeme bestimmt:

.

– Vektor der Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers in einem festen Bezugssystem,
– Geschwindigkeitsvektor des bewegten Bezugssystems, – Vektor der Körpergeschwindigkeit in einem bewegten Bezugssystem.

Bei beschleunigter krummliniger Bewegung der Beschleunigungsvektor wird in der Ebene der krummlinigen Flugbahn liegen. In diesem Fall der Vektor bequem in zwei Komponenten entlang zweier Hauptrichtungen zerlegt – tangential zur Flugbahn und Hauptnormal (siehe Abb. 1.1). Dann
,

Wo
– Tangentialbeschleunigung,
– Normalbeschleunigung, R – Krümmungsradius der Flugbahn.

Bei gleichförmiger Rotationsbewegung hängen die Werte der Winkelgeschwindigkeit ω und der Beschleunigung ε von der Winkelverschiebung φ ab:

,
.

Durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit
,

wobei T die Rotationsperiode ist, ν die Rotationsfrequenz (
, wobei N die Anzahl der Umdrehungen in der Zeit t ist).

Die Gleichungen der Winkelverschiebung und Winkelgeschwindigkeit für eine gleichmäßige Rotationsbewegung haben die Form:

,
,

wobei φ 0 und ω 0 die anfängliche Winkelverschiebung bzw. Geschwindigkeit sind.

Zwischen linearen und Winkelgrößen besteht folgender Zusammenhang:

,
,
,
,

wobei R der Abstand von der Rotationsachse ist.

Kinematik- ein Zweig der Mechanik, in dem Bewegungen untersucht werden, ohne die Ursachen zu untersuchen, die sie verursacht haben.

Die Hauptaufgaben der Kinematik: a) Beschreibung der von einem Körper ausgeführten Bewegung mithilfe mathematischer Formeln, Diagramme und Tabellen; b) Bestimmung kinematischer Größen, die die Bewegung eines Körpers charakterisieren – kinematische Eigenschaften: zurückgelegte Strecke, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung.

Referenzsystem Dabei handelt es sich um einen absolut starren Körper, mit dem ein Koordinatensystem starr verbunden ist, der mit einer Uhr ausgestattet ist und dazu dient, die Position der untersuchten Körper und Teilchen zu verschiedenen Zeiten im Raum zu bestimmen.

Materieller Punkt- Dies ist ein Körper, dessen Dimensionen in der betrachteten Situation vernachlässigt werden können.

Betrachten wir die Bewegung eines materiellen Punktes in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem und platzieren den Ursprung der Koordinate an einem bestimmten festen Punkt O.

Flugbahn - eine kontinuierliche Linie, die ein sich bewegender Körper (als materieller Punkt betrachtet) in Bezug auf einen gewählten Bezugsrahmen beschreibt.

Abhängig von der Form der Bewegungsbahn: a) geradlinig b) krummlinig (ein Sonderfall ist die Rotationsbewegung)

Die Länge des Trajektorienabschnitts, den ein Punkt während der Zeit t durchläuft, wird genannt Pfadlänge(Pfad) S. S ist eine skalare Größe.

Weg- die vom Körper (Materialpunkt) entlang der Flugbahn zurückgelegte Strecke. Pfadgleichung: S = f(t) S≥0;

Radiusvektor Hierbei handelt es sich um einen Vektor, dessen Anfang im Ursprung des gewählten Bezugssystems liegt und dessen Ende an dem Punkt liegt, der die Position des betreffenden Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt kennzeichnet.

Ziehen um- Vektor, der die Anfangs- und Endposition des Körpers verbindet. Es wird vom Startpunkt bis zum Endpunkt gezeichnet.

Bewegungsgeschwindigkeit- eine vektorielle physikalische Größe genannt, die die Geschwindigkeit (Schnelligkeit) und die Bewegungsrichtung charakterisiert.

Durchschnittsgeschwindigkeit– Die über einen bestimmten Zeitraum gemittelte Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes wird durch das Verhältnis der Bewegung zur Zeit, in der diese Bewegung stattfand, bestimmt.

Momentane Geschwindigkeit- Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt (an einem bestimmten Punkt der Flugbahn). Die Momentangeschwindigkeit ist gleich dem Verhältnis einer infinitesimalen Bewegung zur Zeitspanne, in der diese Bewegung stattgefunden hat.

Beschleunigung- eine physikalische Größe, die die Geschwindigkeit (Geschwindigkeit) der Geschwindigkeitsänderung charakterisiert.

Relativität der Bewegung. Körpergeschwindigkeit im zweiten Bezugssystem gleich der geometrischen Summe der Körpergeschwindigkeit im ersten Bezugssystem und die Geschwindigkeit des ersten Referenzrahmens relativ zum zweiten .

Bewegungsarten:

Entsprechend der Art der Flugbahn der Körperpunkte: a) translatorische Bewegung – eine Bewegung, bei der jede durch den Körper gezogene Gerade parallel zu sich selbst bleibt (alle Punkte des Körpers beschreiben die gleichen Flugbahnen); b) nicht translatorisch, ein Sonderfall ist die Rotationsbewegung – eine Bewegung, bei der sich alle Punkte des Körpers auf Kreisen mit unterschiedlichen Radien, aber mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegen.

Entsprechend der Art der Bewegung des Körpers als materieller Punkt: a) geradlinig – der Körper bewegt sich entlang einer geraden Linie; b) krummlinig – der Körper bewegt sich entlang einer anderen Flugbahn als einer geraden Linie; Ein Sonderfall ist die Bewegung im Kreis.

Je nach Art der Geschwindigkeitsänderung: a) gleichmäßige Bewegung – Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit; b) ungleichmäßige Bewegung – ein Sonderfall – gleichmäßig beschleunigte Bewegung.