Die Bewegung eines Körpers in einem Schwerefeld unter Berücksichtigung des Luftwiderstands. Wie bestimme ich den Luftwiderstand? Die Arbeit der Luftwiderstandskraftformel ist

3.5. Die Gesetze der Erhaltung und Änderung der Energie

3.5.1. Gesetz der Veränderung volle mechanische Energie

Die Änderung der mechanischen Gesamtenergie eines Systems von Körpern tritt auf, wenn die Arbeit durch Kräfte verrichtet wird, die sowohl zwischen den Körpern des Systems als auch von der Seite äußerer Körper wirken.

Die Änderung der mechanischen Energie ∆E eines Körpersystems wird bestimmt das Variationsgesetz der mechanischen Gesamtenergie:

∆E = E 2 - E 1 = A ext + A tr (res),

wobei E 1 die gesamte mechanische Energie des Anfangszustands des Systems ist; E 2 - mechanische Gesamtenergie des Endzustands des Systems; A extern - Arbeit, die von externen Kräften an den Körpern des Systems ausgeführt wird; A tr (res) ist die Arbeit, die von den Reibungskräften (Widerstandskräften) im Inneren des Systems geleistet wird.

Beispiel 30. Ein ruhender Körper hat in einer bestimmten Höhe eine potentielle Energie von 56 J. Wenn er auf die Erde fällt, hat der Körper eine kinetische Energie von 44 J. Bestimmen Sie die Arbeit der Luftwiderstandskräfte.

Lösung. Die Abbildung zeigt zwei Positionen des Körpers: in einer bestimmten Höhe (erste) und bis er auf die Erde fällt (zweite). Das Nullniveau der potentiellen Energie wird an der Erdoberfläche gewählt.

Die gesamte mechanische Energie eines Körpers relativ zur Erdoberfläche wird durch die Summe aus potentieller und kinetischer Energie bestimmt:

in einiger Höhe

E 1 = W p 1 + W k 1;

bis zum Fall auf die Erde

E2 = Wp2 + Wk2,

wo W p 1 = 56 J - potentielle Energie des Körpers in einer bestimmten Höhe; W k 1 = 0 - kinetische Energie eines Körpers in Ruhe in einer bestimmten Höhe; W p 2 = 0 J ist die potentielle Energie des Körpers, wenn er auf die Erde fällt; W k 2 = 44 J ist die kinetische Energie des Körpers beim Fallen auf die Erde.

Die Arbeit der Luftwiderstandskräfte finden wir aus dem Änderungsgesetz der mechanischen Gesamtenergie eines Körpers:

wobei E 1 = W p 1 - gesamte mechanische Energie des Körpers in einer bestimmten Höhe; E 2 = W k 2 ist die gesamte mechanische Energie des Körpers, wenn er auf die Erde fällt; A ext = 0 - Arbeit äußerer Kräfte (es gibt keine äußeren Kräfte); A res ist die Arbeit der Luftwiderstandskräfte.

Die gesuchte Arbeit der Luftwiderstandskräfte wird also durch den Ausdruck

A res = W k 2 - W p 1.

Machen wir die Rechnung:

A res = 44 - 56 = -12 J.

Die Arbeit der Luftwiderstandskräfte ist negativ.

Beispiel 31. Zwei Federn mit Steifigkeitsfaktoren von 1,0 kN/m und 2,0 kN/m werden parallel geschaltet. Welche Arbeiten müssen durchgeführt werden, um das Federsystem um 20 cm zu dehnen?

Lösung. Die Abbildung zeigt zwei parallel geschaltete Federn mit unterschiedlichen Steifigkeitsfaktoren.

Die äußere Kraft F → Dehnung der Federn hängt vom Verformungsbetrag der Verbundfeder ab, daher ist die Berechnung der Arbeit der angegebenen Kraft nach der Formel zur Berechnung der Arbeit einer konstanten Kraft ungültig.

Zur Berechnung der Arbeit verwenden wir das Änderungsgesetz der mechanischen Gesamtenergie des Systems:

E 2 - E 1 = A ext + A res,

wobei E 1 die gesamte mechanische Energie der Verbundfeder im unverformten Zustand ist; E 2 - mechanische Gesamtenergie der verformten Feder; A ext - die Arbeit einer externen Kraft (der erforderliche Wert); A res = 0 - Arbeit der Widerstandskräfte.

Die gesamte mechanische Energie einer Verbundfeder ist die potentielle Energie ihrer Verformung:

für eine unverformte Feder

E 1 = W p 1 = 0,

für verlängerte Feder

E 2 = W p 2 = k gesamt (Δ l) 2 2,

wobei k total der allgemeine Steifigkeitskoeffizient der Verbundfeder ist; ∆l ist die Spannung der Feder.

Der Gesamtsteifigkeitskoeffizient zweier parallel geschalteter Federn ist die Summe

k gesamt = k 1 + k 2,

wo k 1 - Steifigkeitskoeffizient der ersten Feder; k 2 - Steifigkeitskoeffizient der zweiten Feder.

Wir finden die Arbeit der äußeren Kraft aus dem Änderungsgesetz der gesamten mechanischen Energie des Körpers:

A ext = E 2 - E 1,

Ersetzen in diesem Ausdruck die Formeln, die E 1 und E 2 bestimmen, sowie den Ausdruck für den Gesamtsteifigkeitskoeffizienten der Verbundfeder:

A ext = k gesamt (Δ l) 2 2 - 0 = (k 1 + k 2) (Δ l) 2 2.

Machen wir die Rechnung:

A ext = (1,0 + 2,0) 10 3 ⋅ (20 ⋅ 10 - 2) 2 2 = 60 J.

Beispiel 32. Eine Kugel mit einem Gewicht von 10,0 g, die mit einer Geschwindigkeit von 800 m / s fliegt, trifft auf eine Wand. Der Widerstandsmodul gegen die Geschossbewegung in der Wand ist konstant und beträgt 8,00 kN. Bestimmen Sie, wie weit die Kugel in die Wand eindringt.

Lösung. Die Abbildung zeigt zwei Positionen des Geschosses: bei Annäherung an die Wand (erste) und bis zu dem Moment, in dem das Geschoss in der Wand steckenbleibt (zweites).

Die gesamte mechanische Energie eines Geschosses ist die kinetische Energie seiner Bewegung:

wenn sich die Kugel der Wand nähert

E 1 = W k 1 = m v 1 2 2;

bis die Kugel aufhört (steckt) in der Wand

E 2 = Wk 2 = m v 2 2 2,

wo W k 1 - kinetische Energie des Geschosses bei Annäherung an die Wand; W k 2 - kinetische Energie des Geschosses im Moment seines Stoppens (stecken bleiben) in der Wand; m ist die Masse des Geschosses; v 1 - Geschossgeschwindigkeitsmodul bei Annäherung an die Wand; v 2 = 0 - die Größe der Geschossgeschwindigkeit zu dem Zeitpunkt, zu dem es in der Wand stoppt (festsitzt).

Die Eindringtiefe des Geschosses in die Wand kann aus dem Änderungsgesetz der mechanischen Gesamtenergie des Geschosses ermittelt werden:

E 2 - E 1 = A ext + A res,

wobei E 1 = m v 1 2 2 die gesamte mechanische Energie des Geschosses bei Annäherung an die Wand ist; E 2 = 0 ist die gesamte mechanische Energie des Geschosses im Moment des Stoppens (des Steckenbleibens) in der Wand; A ext = 0 - Arbeit äußerer Kräfte (es gibt keine äußeren Kräfte); A res ist das Werk von Widerstandskräften.

Die Arbeit der Widerstandskräfte wird durch das Produkt bestimmt:

A res = F res l cos α,

wobei F res der Widerstandsmodul gegen die Bewegung des Geschosses ist; l ist die Entfernung, die die Kugel in die Wand eindringt; α = 180 ° - der Winkel zwischen den Richtungen der Widerstandskraft und der Bewegungsrichtung des Geschosses.

Somit lautet das Änderungsgesetz der mechanischen Gesamtenergie eines Geschosses explizit wie folgt:

- m v 1 2 2 = F res l cos 180 °.

Der gesuchte Abstand wird bestimmt durch das Verhältnis

l = - m v 1 2 2 F res cos 180 ° = m v 1 2 2 F res

l = 10,0 10 - 3 ⋅ 800 2 2 ⋅ 8,00 ⋅ 10 3 = 0,40 m = 400 mm.

Jeder Radfahrer, Motorradfahrer, Chauffeur, Fahrer, Pilot oder Kapitän eines Schiffes weiß, dass sein Auto eine Höchstgeschwindigkeit hat; die durch keine Anstrengung überschritten werden kann. Man kann das Gaspedal so oft durchtreten, wie man möchte, aber es ist unmöglich, einen zusätzlichen Kilometer pro Stunde aus dem Auto zu „quetschen“. Alle entwickelte Geschwindigkeit geht zu überwinden Widerstandskräfte gegen Bewegung.

Überwindung unterschiedlicher Reibung

Zum Beispiel hat ein Auto einen 50-PS-Motor. Wenn der Fahrer Vollgas gibt, beginnt die Motorkurbelwelle dreitausendsechshundert Umdrehungen pro Minute. Die Kolben rauschen wie verrückt auf und ab, die Ventile springen, die Gänge drehen und das Auto bewegt sich, wenn auch sehr schnell, aber völlig gleichmäßig, und der gesamte Motorschub wird insbesondere darauf verwendet, die Kräfte des Bewegungswiderstandes zu überwinden Überwindung verschiedener Reibungen... So verteilt sich beispielsweise die Schubkraft des Triebwerks auf seine "Gegner" - verschiedene Typen bei einer Autogeschwindigkeit von hundert Stundenkilometern:

um die Reibung in den Lagern und zwischen den Zahnrädern zu überwinden, werden etwa sechzehn Prozent der Schubkraft des Motors aufgewendet,
um die Rollreibung von Rädern auf der Straße zu überwinden - etwa vierundzwanzig Prozent,
Die Überwindung des Luftwiderstands erfordert 60 Prozent der Zugkraft des Fahrzeugs.

Seitenhalt

Betrachtet man die Kräfte des Bewegungswiderstandes, wie:

Gleitreibung nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit leicht ab,
Rollreibung ändert sich sehr wenig,
Seitenwind bei langsamer Fahrt völlig unsichtbar, wird es bei steigender Geschwindigkeit zu einer gewaltigen Bremskraft.

Luft erweist sich als der Hauptfeind der schnellen Bewegung... Daher erhalten Wagenkästen, Diesellokomotiven, Decksaufbauten von Dampfern eine abgerundete, stromlinienförmige Form, alle hervorstehenden Teile werden entfernt und sie versuchen sicherzustellen, dass die Luft sie reibungslos umströmen kann. Wenn sie Rennwagen bauen und die Höchstgeschwindigkeit aus ihnen herausholen wollen, leihen sie sich die Form einer Fischkarosserie für die Karosserie und bauen einen Motor mit mehreren tausend PS Leistung in ein solches Hochgeschwindigkeitsauto ein. Aber egal, was die Erfinder tun, egal wie sie die Stromlinienform des Körpers verbessern, jeder Bewegung folgen wie ein Schatten immer die Reibungs- und Widerstandskräfte des Mediums. Und selbst wenn sie sich nicht einmal erhöhen, bleiben sie konstant, das Auto wird trotzdem eine Geschwindigkeitsbegrenzung haben. Dies erklärt sich dadurch, dass Maschinenleistung - Produkt der Zugkraft durch ihre Geschwindigkeit... Da die Bewegung jedoch gleichförmig ist, wird die Zugkraft vollständig darauf verwendet, verschiedene Widerstandskräfte zu überwinden. Wenn diese Kräfte reduziert werden, kann das Auto bei einer bestimmten Leistung eine hohe Geschwindigkeit entwickeln. Und da der Hauptfeind der Bewegung bei hohen Geschwindigkeiten der Luftwiderstand ist, müssen Designer so ausgefeilt sein, damit umzugehen.

Artilleristen interessierten sich für Luftwiderstand

Luftwiderstand vor allem Die Schützen wurden interessiert... Sie versuchten zu verstehen, warum die Kanonengranaten nicht so weit flogen, wie sie wollten. Berechnungen zeigten, dass, wenn es keine Luft auf der Erde gäbe, das Projektil einer 76-Millimeter-Kanone würde mindestens dreiundzwanzigeinhalb Kilometer fliegen, aber in Wirklichkeit fällt es nur sieben Kilometer von der Kanone entfernt... Luftwiderstand geht verloren sechzehneinhalb Kilometer Reichweite... Schade, aber man kann nichts machen! Die Kanoniere verbesserten die Kanonen und Granaten, hauptsächlich geleitet von Vermutungen und Einfallsreichtum. Was mit dem Geschoss in der Luft passiert ist, war zunächst nicht bekannt. Ich möchte mir ein fliegendes Projektil ansehen und sehen, wie es die Luft durchschneidet, aber das Projektil fliegt sehr schnell, das Auge kann seine Bewegungen nicht erfassen und die Luft ist noch unsichtbarer. Der Wunsch schien unerfüllbar, aber die Fotografie half. Im Licht eines elektrischen Funkens war es möglich, eine fliegende Kugel zu fotografieren. Ein Funke blitzte auf und beleuchtete kurzzeitig eine Kugel, die vor dem Kameraobjektiv flog. Seine Brillanz reichte aus, um nicht nur einen Schnappschuss von der Kugel zu machen, sondern auch von der Luft, die sie durchschlug. Das Foto zeigte dunkle Streifen, die sich von der Kugel zu den Seiten erstreckten. Dank der Fotos wurde klar, was passiert, wenn das Projektil in der Luft fliegt. Bei einer langsamen Bewegung eines Objekts teilen sich Luftpartikel leise davor und stören es fast nicht, aber bei einer schnellen Bewegung ändert sich das Bild, die Luftpartikel haben keine Zeit mehr, zu den Seiten zu zerstreuen. Das Projektil fliegt und treibt wie ein Pumpenkolben Luft vor sich her und verdichtet sie. Je höher die Geschwindigkeit, desto stärker die Kompression und Verdichtung. Damit sich das Projektil schneller bewegen und die verdichtete Luft besser durchdringen kann, ist sein Kopf spitz.

Wirbelluftleiste

Auf dem Foto einer fliegenden Kugel war klar, dass sie eine wirbelnde Luft... Ein Teil der Energie des Geschosses oder Projektils wird auch für die Bildung von Wirbeln aufgewendet. Daher begannen die Granaten und Kugeln, den unteren Teil des abgeschrägten Teils zu machen, was die Widerstandskraft gegen die Bewegung in der Luft verringerte. Dank des abgeschrägten Bodens erreichte die Geschossreichweite der 76-Millimeter-Kanone elf - zwölf Kilometer.

Luftpartikelreibung

Beim Fliegen in der Luft wird die Bewegungsgeschwindigkeit auch durch die Reibung der Luftpartikel an den Wänden des Flugkörpers beeinflusst. Diese Reibung ist gering, aber sie existiert noch und erwärmt die Oberfläche. Daher müssen Flugzeuge mit Hochglanzlack lackiert und mit einem speziellen Luftfahrtlack überzogen werden. So entstehen die Widerstandskräfte gegen die Bewegung in der Luft gegen alle sich bewegenden Objekte aufgrund von drei verschiedenen Phänomenen:

Luftdichtungen vorn,
Turbulenzen dahinter
leichte Luftreibung an der Seitenfläche des Objekts.

Widerstand gegen Bewegung von der Wasserseite

Im Wasser bewegende Objekte - Fische, U-Boote, selbstfahrende Minen - Torpedos usw. - treffen auf eine große Wasserbeständigkeit... Mit zunehmender Geschwindigkeit wachsen die Widerstandskräfte in Wasser noch schneller als in Luft. Daher ist der Wert stromlinienförmig erhöht sich. Schauen Sie sich nur die Körperform des Hechtes an. Sie muss kleinen Fischen nachjagen, daher ist es für sie wichtig, dass das Wasser ihrer Bewegung einen minimalen Widerstand entgegensetzt.

Die Form des Fisches wird selbstfahrenden Torpedos gegeben, die feindliche Schiffe schnell treffen müssen, um sie daran zu hindern, einem Angriff auszuweichen. Wenn ein Motorboot über die Wasseroberfläche rast oder Torpedoboote angreifen, können Sie sehen, wie der scharfe Bug des Schiffes oder Bootes die Wellen schneidet und sie in schneeweißen Schaum verwandelt, und ein Brecher kocht hinter dem Heck und ein Streifen Schaum Wasser bleibt. Der Wasserwiderstand ähnelt dem Luftwiderstand - rechts und links des Schiffes laufen Wellen, dahinter bilden sich Wirbel - schäumende Brecher; auch die Reibung zwischen dem Wasser und dem untergetauchten Teil des Schiffes wirkt sich aus. Der Unterschied zwischen Luft- und Wasserbewegung liegt nur darin, dass Wasser eine inkompressible Flüssigkeit ist und kein verdichtetes „Kissen“ vor dem Schiff entsteht, das durchbohrt werden muss. Aber die Dichte von Wasser ist fast tausendmal so groß wie die von Luft... Auch die Viskosität von Wasser ist von Bedeutung. Wasser teilt sich nicht so gerne und leicht vor dem Schiff, daher ist der Bewegungswiderstand, den es Gegenständen entgegensetzt, sehr groß. Versuchen Sie zum Beispiel, unter Wasser zu tauchen, klatschen Sie dort in die Hände. Dies wird nicht gelingen - das Wasser wird es nicht zulassen. Die Geschwindigkeiten von Seeschiffen sind den Geschwindigkeiten von Luftschiffen deutlich unterlegen. Die schnellsten aller Seeschiffe - Torpedoboote entwickeln eine Geschwindigkeit von fünfzig Knoten und Schnellboote, die auf der Wasseroberfläche gleiten - bis zu hundertzwanzig Knoten. (Ein Knoten ist ein nautisches Maß für die Geschwindigkeit; ein Knoten entspricht 1.852 Metern pro Stunde.)

Lösung.

Um das Problem zu lösen, betrachten wir das physikalische System "Körper - Gravitationsfeld der Erde". Der Körper wird als materieller Punkt betrachtet und das Gravitationsfeld der Erde - homogen. Das ausgewählte physikalische System ist nicht geschlossen, da während der Körperbewegung interagiert mit Luft.
Berücksichtigt man die von der Luftseite auf den Körper wirkende Auftriebskraft nicht, so ist die Änderung der mechanischen Gesamtenergie des Systems gleich der Arbeit der Luftwiderstandskraft, d.h.∆ E = A c.

Wir wählen das Nullniveau der potentiellen Energie auf der Erdoberfläche. Die einzige äußere Kraft in Bezug auf das System "Körper - Erde" ist die senkrecht nach oben gerichtete Luftwiderstandskraft. Anfangsenergie des Systems E 1, Finale E 2.

Widerstandskraftarbeit A.

Weil der Winkel zwischen der Widerstandskraft und der Verschiebung beträgt 180 °, dann ist der Kosinus -1, also A = - Fch. Setzen wir A gleich.

Das betrachtete offene physikalische System kann auch durch einen Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines Systems wechselwirkender Objekte beschrieben werden, wonach die Änderung der kinetischen Energie des Systems gleich der von äußeren und inneren Kräften geleisteten Arbeit während . ist seinen Übergang vom Anfangszustand in den Endzustand. Wenn Sie die Auftriebskraft, die von der Luftseite auf den Körper wirkt, und die innere - die Schwerkraft - nicht berücksichtigen. Somit∆ E к = A 1 + A 2, wobei A 1 = mgh - Arbeit der Schwerkraft, A 2 = F c hcos 180 ° = - F c h - Arbeit der Widerstandskraft;∆ E = E 2 - E 1.

Dies ist eine kreative Aufgabe für einen Informatik-Meisterkurs für Schüler der FEFU.
Ziel der Aufgabe ist es herauszufinden, wie sich die Flugbahn des Körpers unter Berücksichtigung des Luftwiderstands ändert. Zu beantworten ist auch die Frage, ob die Flugreichweite bei einem Wurfwinkel von 45° bei gegebenem Luftwiderstand noch ihren Maximalwert erreicht.

Im Abschnitt "Analytische Forschung" wird die Theorie vorgestellt. Dieser Abschnitt kann übersprungen werden, sollte aber für Sie größtenteils verständlich sein, denn b Ö Das meiste davon hast du in der Schule durchgemacht.
Der Abschnitt "Numerische Studie" enthält eine Beschreibung des Algorithmus, der auf einem Computer implementiert werden muss. Der Algorithmus ist einfach und prägnant, also sollte es jedem gut gehen.

Analytische Forschung

Lassen Sie uns ein rechteckiges Koordinatensystem einführen, wie in der Abbildung gezeigt. Im ersten Moment ist ein Körper mit Masse m ist am Ursprung. Der Gist vertikal nach unten gerichtet und hat Koordinaten (0, - g).
ist der Vektor der Anfangsgeschwindigkeit. Lassen Sie uns diesen Vektor in der Basis erweitern:

... Wo ist hier der Modul des Geschwindigkeitsvektors, ist der Wurfwinkel.

Schreiben wir das zweite Newtonsche Gesetz:.
Die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt ist die (momentane) Geschwindigkeitsänderung, dh die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:.

Daher kann das 2. Newtonsche Gesetz wie folgt umgeschrieben werden:
, wobei die Resultierende aller auf den Körper wirkenden Kräfte ist.
Da der Körper durch die Schwerkraft und die Kraft des Luftwiderstands beeinflusst wird, dann
.

Wir betrachten drei Fälle:
1) Die Luftwiderstandskraft beträgt 0:.
2) Die Luftwiderstandskraft ist dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt gerichtet und ihr Wert ist proportional zur Geschwindigkeit: .
3) Die Luftwiderstandskraft ist dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt gerichtet und ihr Wert ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit: .

Betrachten Sie zunächst den ersten Fall.
In diesem Fall , oder .

Es folgt dem (gleichmäßig beschleunigte Bewegung).
Als ( R ist der Radiusvektor), dann .
Von hier .
Diese Formel ist nichts anderes als die bekannte Formel für das Bewegungsgesetz eines Körpers mit gleichförmig beschleunigter Bewegung.
Seit damals .
In Anbetracht dessen und , erhalten wir skalare Gleichheiten aus der letzten Vektorgleichheit:

Analysieren wir die resultierenden Formeln.
Finden Flugzeit Karosserie. Gleichsetzen ja auf null, wir bekommen

Flugreichweite ist gleich dem Koordinatenwert x im Moment T 0:

Aus dieser Formel folgt, dass die maximale Flugreichweite erreicht wird.
Jetzt finden wir Körperbahngleichung... Dazu drücken wir Tüber x

Und ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck für T in Gleichberechtigung für ja.

Die resultierende Funktion ja(x) ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind.
Die Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers (ohne Luftwiderstand) wird in diesem Video beschrieben.

Betrachten Sie nun den zweiten Fall: .

Der zweite Hauptsatz hat die Form ,
von hier .
Schreiben wir diese Gleichheit in Skalarform:

Wir haben bekommen zwei lineare Differentialgleichungen.
Die erste Gleichung hat eine Lösung

Dies kann durch Einsetzen dieser Funktion in die Gleichung für überprüft werden v x und im Anfangszustand .
Hier ist e = 2.718281828459 ... die Eulersche Zahl.
Die zweite Gleichung hat eine Lösung

Als , , dann tendiert die Bewegung des Körpers bei Vorhandensein von Luftwiderstand zu einer gleichmäßigen Bewegung, im Gegensatz zu Fall 1, wenn die Geschwindigkeit unbegrenzt ansteigt.
Das folgende Video zeigt, dass sich der Fallschirmspringer zuerst beschleunigt und dann gleichmäßig bewegt (noch bevor der Fallschirm ausgelöst wird).

Lassen Sie uns Ausdrücke für finden x und ja.
Als x(0) = 0, ja(0) = 0, dann

Es bleibt uns überlassen, Fall 3 zu betrachten, wenn

.
Das zweite Newtonsche Gesetz hat die Form

, oder

.
In Skalarform hat diese Gleichung die Form:

Das System nichtlinearer Differentialgleichungen... Dieses System kann nicht explizit gelöst werden, daher ist es notwendig, numerische Modellierung anzuwenden.

Numerische Forschung

Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, dass in den ersten beiden Fällen das Bewegungsgesetz des Körpers explizit erhalten werden kann. Im dritten Fall ist es jedoch notwendig, das Problem numerisch zu lösen. Mit Hilfe numerischer Methoden erhalten wir nur eine Näherungslösung, aber eine geringe Genauigkeit reicht uns. (Die Zahl π oder die Quadratwurzel von 2 kann übrigens nicht absolut exakt geschrieben werden, daher wird bei den Berechnungen eine endliche Anzahl von Stellen genommen, und das reicht völlig.)

Wir betrachten den zweiten Fall, wenn die Kraft des Luftwiderstands durch die Formel bestimmt wird ... Beachten Sie, dass für k= 0 erhalten wir den ersten Fall.

Körpergeschwindigkeit gehorcht den folgenden Gleichungen:

Beschleunigungskomponenten werden auf die linken Seiten dieser Gleichungen geschrieben .
Denken Sie daran, dass die Beschleunigung die (momentane) Geschwindigkeitsänderung ist, dh die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.
Die Geschwindigkeitskomponenten sind auf den rechten Seiten der Gleichungen geschrieben. Somit zeigen diese Gleichungen, wie die Geschwindigkeitsänderungsrate mit der Geschwindigkeit zusammenhängt.

Versuchen wir, mit numerischen Methoden Lösungen für diese Gleichungen zu finden. Dazu führen wir auf der Zeitachse ein Netz: wähle eine Zahl und berücksichtige die Zeitpunkte der Form:.

Unsere Aufgabe ist es, die Werte näherungsweise zu berechnen an den Knoten des Gitters.

Ersetzen Sie die Beschleunigung in den Gleichungen ( sofortige Geschwindigkeit Geschwindigkeitsänderung) um Durchschnittsgeschwindigkeit Geschwindigkeitsänderungen unter Berücksichtigung der Bewegung des Körpers über einen bestimmten Zeitraum:

Setzen wir nun die erhaltenen Näherungen in unsere Gleichungen ein.

Die resultierenden Formeln ermöglichen es uns, die Werte der Funktionen zu berechnen am nächsten Gitterpunkt, wenn die Werte dieser Funktionen am vorherigen Gitterpunkt bekannt sind.

Mit der beschriebenen Methode können wir eine Tabelle mit ungefähren Werten der Geschwindigkeitskomponenten erhalten.

Wie findet man das Bewegungsgesetz eines Körpers, d.h. Tabelle mit ungefähren Koordinaten x(T), ja(T)? Gleichfalls!
Wir haben

Der Wert vx [j] ist gleich dem Funktionswert, für andere Arrays ist er gleich.
Jetzt müssen wir noch eine Schleife schreiben, in der wir vx durch den bereits berechneten Wert vx [j] berechnen, und dasselbe mit den restlichen Arrays. Der Zyklus wird eingeschaltet J von 1 bis n.
Vergessen Sie nicht, die Anfangswerte vx, vy, x, y mit den Formeln zu initialisieren, x 0 = 0, ja 0 = 0.

In Pascal und C zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es die Funktionen sin (x), cos (x). Beachten Sie, dass diese Funktionen ein Argument im Bogenmaß annehmen.

Sie müssen ein Diagramm der Körperbewegung erstellen, wenn k= 0 und k> 0 und vergleichen Sie die resultierenden Graphen. Diagramme können in Excel erstellt werden.
Beachten Sie, dass die Berechnungsformeln so einfach sind, dass Sie nur Excel für Berechnungen verwenden können und nicht einmal eine Programmiersprache verwenden.
In Zukunft müssen Sie jedoch in CATS ein Problem lösen, bei dem Sie die Flugzeit und die Flugreichweite eines Körpers berechnen müssen, bei dem Sie auf eine Programmiersprache nicht verzichten können.

Bitte beachten Sie, dass Sie zu testen Ihr Programm und überprüfen Sie Ihre Grafiken, indem Sie die Berechnungsergebnisse vergleichen für k= 0 mit den genauen Formeln, die im Abschnitt Analytische Studie angegeben sind.

Experimentieren Sie mit Ihrem Programm. Stellen Sie sicher, dass bei fehlendem Luftwiderstand ( k= 0) die maximale Flugreichweite bei einer festen Anfangsgeschwindigkeit wird bei einem Winkel von 45° erreicht.
Und unter Berücksichtigung des Luftwiderstands? In welchem Winkel wird die maximale Flugreichweite erreicht?

Die Abbildung zeigt die Flugbahnen des Körpers bei v 0 = 10 m / s, α = 45°, g= 9,8m/s2, m= 1kg, k= 0 und 1, erhalten durch numerische Simulation bei Δ T = 0,01.

Sie können sich mit der wunderbaren Arbeit der Zehnklässler aus Troizk vertraut machen, die 2011 auf der Konferenz "Start to Science" vorgestellt wurde. Die Arbeit widmet sich der Modellierung der Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Tennisballs (unter Berücksichtigung von Luftwiderstand). Es werden sowohl numerische Modellierung als auch Feldexperimente verwendet.

Diese kreative Aufgabe ermöglicht es Ihnen also, sich mit den Methoden der mathematischen und numerischen Modellierung vertraut zu machen, die in der Praxis aktiv eingesetzt, aber in der Schule wenig studiert werden. Zum Beispiel wurden diese Methoden Mitte des 20. Jahrhunderts bei der Umsetzung von Atom- und Weltraumprojekten in der UdSSR verwendet.