Основные величины кинематики. Техническая механика

1. Механическое движение – изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

2. Материальная точка (МТ) – тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

3. Траектория – линия в пространстве, вдоль которой движется МТ (совокупность последовательных положений МТ, занимаемых ею в процессе движения).

4. Система отсчета (СО) включает в себя:

· тело отсчета;

· систему координат, связанную с этим телом;

· прибор для измерения времени, включая выбор начальной точки отсчета времени (при этом, если используются несколько часов, то они должны быть синхронизированы).

5. Основная (обратная) задача кинематики : найти закон (уравнения) движения тела в заданной системе отсчета.
Например, уравнения движения тела, брошенного под углом к горизонту, выглядят так:

При этом все остальные задачи, нахождение пути, высоты подъема, дальности, времени являются вспомогательными и, как правило, легко решаются на основании уравнений движения. Прямая задача кинематики заключается в вычислении параметров движения по заданным уравнениям движения.

6. Поступательное движение однозначно определяется по одному из следующих признаков:

· все точки тела движутся по траекториям одинакового вида;

· любой отрезок прямой линии, проведенный внутри тела, при поступательном движении остается параллельным самому себе;

· все точки тела движутся с одинаковой скоростью.

7. Вращательное движение – такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения

Плоское движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное движение.

8. Путь – это длина траектории (измеренная с учетом кратности прохождения отдельных ее участков).

9. Средняя скорость – это векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который это перемещение осуществлено.

10. Среднее значение модуля скорости (средняя путевая скорость) – это скалярная физическая величина, равная отношению пути к промежутку времени, за который пройден этот путь.

11. Мгновенная скорость - это векторная физическая величина, равная первой производной вектора перемещения (или радиус-вектора) по времени: ,

или , в проекциях получаем: и т.д.

12. Ускорение- - это векторная физическая величина, равная первой производной вектора скорости по времени:

, в проекциях получаем: и т.д.

Таблица типов движения:

Таблица 6

13. Уравнение (закон) равнопеременного движения:

, или в координатной форме: .

14. Уравнение (закон) изменения скорости при равнопеременном движении: , или в координатной форме:

15. Формула для средней скорости при равнопеременном движении:
.

17. Формула для пути с исключенным временем: .

Основные определения кинематики вращательного движения:

18. Период – это значение интервала времени, за который тело совершает полный оборот по циклической траектории.
Частота – величина обратная периоду, , .
Число оборотов в секунду равно частоте, но обозначается n, .

19. Угловая скорость – скалярная величина, равная первой производной угла поворота по времени, . Далее мы введем угол и угловую скорость как векторные величины. При равномерном движении .

20. Ускорение при криволинейном движении – имеет две составляющие: тангенциальную, отвечающую за изменение скорости по величине и нормальную, или центростремительную, отвечающую за искривление траектории

С учетом выражения

окончательно получаем: , , где -единичный вектор, направленный к центру кривизны, - единичный вектор вдоль касательной к траектории. Более компактный вывод выглядит так: , следовательно, и .

Типичные задачи кинематики:

Задача №2. Чему равна скорость точек A,B,C,D на диске, рис.4, катящемся по плоскости без проскальзывания (чистое качение).
Изобразите геометрическое место точек диска, у которых скорость по модулю равна скорости поступательного движения диска.

Задача № 3. Два автомобиля едут в попутном направлении с заданной скоростью.На какой минимальной дистанции необходимо держаться второму автомобилю, чтобы обезопасить себя от попадания камней, вырывающихся из-под колес первого автомобиля. Под каким углом к горизонту в системе отсчета, связанной с землей вылетают самые опасные камни? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: , - вперед по ходу движения.

Задача № 4. Критическое для тела человека кратковременное ускорение (при котором есть шанс избежать серьезных травм) равно . Каким должен быть минимальный тормозной путь, если начальная скорость автомобиля равнялась 100км/ч?

Задача № 5. (№1.23 из сборника задач ).Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону , где - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Кинематика изучает механическое движение тел без рассмотрения причин, вызывающих это движение. Большинство задач на кинематику связано с равнопеременным прямолинейным движением. Равномерное прямолинейное движение можно рассматривать как частный случай равнопеременного движения при выполнении условия .

Простейшим видом криволинейного движения является равномерное движение точки по окружности. Более сложным является криволинейное движение тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту. Такое движение можно рассматривать как результат двух одновременных прямолинейных движений по осям, одна из которых параллельна, а вторая перпендикулярна поверхности Земли.

Материальная точка – это тело, формой и размерами которого можно пренебречь при решении данной задачи.

Система отсчета – это система координат, снабженная часами и связанная с совокупностью тел (материальных точек), относительно которой рассматривается движение других тел (материальных точек).

Множество точек пространства, через которые прошла материальная точка при движении относительно выбранной системы отсчета, называется траекторией материальной точки.

Путь – это расстояние S, пройденное точкой вдоль траектории в направлении движения за рассматриваемый промежуток времени.

Перемещение – это вектор , соединяющий положения движущейся точки в начале и в конце некоторого промежутка времени. Вектор перемещения направлен вдоль хорды траектории точки.

Уравнение движения вдоль координатной оси:

.

Скорость точки – векторная физическая величина, характеризующая направление и быстроту движения точки.

Средняя скорость – это векторная величина, равная отношению приращения радиуса-вектора точки Δrв промежутке времени отtдоt+Δtк продолжительности этого промежутка Δt:

Мгновенная скорость:
.

Это скорость в данный момент времени или данной точки траектории.

Ускорение – это векторная физическая величина, равная первой производной по времени tот скорости υ точки, характеризующая быстроту изменения скорости:

.

В случае равнопеременного движения зависимости пути и скорости от времени имеют следующий вид:

,
,

где – начальная скорость движения тела.

При движении тела в одной системе координат относительно другой скорость тела будет определяться векторным сложением скоростей тела и систем:

.

– вектор скорости движения тела в неподвижной системе отсчета,
– вектор скорости движущейся системы отсчета,– вектор скорости тела в движущейся системе отсчета.

При ускоренном криволинейном движении вектор ускорения будет лежать в плоскости криволинейной траектории. В этом случае векторудобно разложить на две составляющие вдоль двух основных направлений – касательной к траекториии главной нормали(см. рис.1.1). Тогда
,

где
– тангенциальное ускорение,
– нормальное ускорение,R– радиус кривизны траектории.

При вращательном равномерном движении значения угловой скорости ω и ускорения ε будут зависеть от углового перемещения φ:

,
.

Средняя угловая скорость
,

где Т – период вращения, ν – частота вращения (
, гдеN– число оборотов за времяt).

Уравнения углового перемещения и угловой скорости для равнопеременного вращательного движения будут иметь вид:

,
,

где φ 0 и ω 0 – начальные угловые перемещение и скорость, соответственно.

Между линейными и угловыми величинами существует следующая связь:

,
,
,
,

где R– расстояние от оси вращения.

Кинематика - раздел механики, в котором движение изучается без исследования причин его вызвавших.

Основные задачи кинематики: а) Описание с помощью математических формул, графиков, таблиц совершаемого телом движения; б) определения кинематических величин характеризующих движение тела - кинематических характеристик: пройденный путь, перемещение, скорость, ускорение.

Системой отсчета это абсолютно твердое тело, с которым жестко связана система координат, снабженная часами и используемая для определения положения в пространстве исследуемых тел и частиц в различные моменты времени.

Материальная точка - это тело, размерами которого в рассматриваемой ситуации можно пренебречь.

Рассмотрим движение материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат, поместив начало координаты в некую неподвижную точку О.

Траектория - непрерывная линия, которую описывает движущееся тело (рассматриваемое как материальная точка) по отношению к выбранной системе отсчета.

В зависимости от формы траектории движения: а) прямолинейное б) криволинейное, (частный случай – вращательное движение)

Длина участка траектории, пройденной точкой за время t, называется длиной пути (путь) S. S – величина скалярная.

Путь - расстояние пройденное телом (материальной точкой) вдоль траектории. Уравнение пути: S = f(t) S≥0;

Радиус вектор это вектор, начало которого находится в начале координат выбранной системы отсчета, а конец в точке, характеризующей положение рассматриваемого тела в данный момент времени.

Перемещение - вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Он проведен от начальной точки к конечной.

Скоростью движения - называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту (стремительность) и направление движения.

Средняя скорость – скорость движения точки усредненная в некотором интервале времени, определяется отношением перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.

Мгновенная скорость - скорость в данный момент времени (в данной точке траектории). Мгновенная скорость равна отношению бесконечно малого перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.

Ускорение - физическая величина, характеризующая скорость (быстроту) изменения скорости.

Относительность движения. Скорость тела во второй системе отсчета равна геометрической сумме скорости тела в первой системе отсчетаи скорости первой системы отсчета относительно второй.

Виды движения:

По характеру траектории точек тела: а) поступательное движение - движение, при котором любая прямая, проведенная через тело, остается параллельной сама себе (все точки тела описывают одинаковые траектории); б) не поступательное, частный случай - вращательное движение - движение при котором все точки тела движутся по окружностям различного радиуса, но с одинаковой угловой скоростью.

По характеру движения тела как материальной точки: а) прямолинейное - тело движется вдоль одной прямой; б) криволинейное - тело движется по траектории отличной от прямой; частный случай - движение по окружности.

По характеру изменения скорости: а) равномерное движение - движение с постоянной скоростью; б) неравномерное движение - частный случай - равноускоренной движение.