Решение.
Для решения задачи рассмотрим физическую систему «тело – гравитационное поле Земли». Тело будем считать материальной точкой, а гравитационное поле Земли - однородным. Выделенная физическая система является незамкнутой, т.к. во время движения тела взаимодействует с воздухом.
Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, то изменение полной механической энергии системы равняется работе силы сопротивления воздуха, т.е. ∆ E = A c .
Нулевой
уровень потенциальной энергии выберем на поверхности Земли. Единственной
внешней силой в отношении системы «тело – Земля» является сила сопротивления
воздуха, направленная вертикально вверх. Начальная энергия системы
E 1
, конечная
E 2
.
Работа
силы сопротивления
A.
Т.к.
угол между силой сопротивления и перемещением равен 180° , то косинус равен -1,
поэтому
A
= -
F c h
. Приравняем
A.
Рассматриваемую незамкнутую физическую систему можно также описать теоремой от изменении кинетической энергии системы взаимодействующих между собой объектов, согласно которой изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной внешними и внутренними силами при ее переходе из начального состояния в конечное. Если не учитывать выталкивающую силу, действующую на тело со стороны воздуха, а внутренней – сила тяжести. Следовательно ∆ E к = A 1 + A 2 , где A 1 = mgh – работа силы тяжести, A 2 = F c hcos 180° = - F c h – работа силы сопротивления; ∆ E = E 2 – E 1 .
3.5. Законы сохранения и изменения энергии
3.5.1. Закон изменения полной механической энергии
Изменение полной механической энергии системы тел происходит при совершении работы силами, действующими как между телами системы, так и со стороны внешних тел.
Изменение механической энергии ∆E системы тел определяется законом изменения полной механической энергии :
∆E = E 2 − E 1 = A внеш + A тр(сопр) ,
где E 1 - полная механическая энергия начального состояния системы; E 2 - полная механическая энергия конечного состояния системы; A внеш - работа, совершаемая над телами системы внешними силами; A тр(сопр) - работа, совершаемая силами трения (сопротивления), действующими внутри системы.
Пример 30. На некоторой высоте покоящееся тело имеет потенциальную энергию, равную 56 Дж. К моменту падения на Землю тело имеет кинетическую энергию, равную 44 Дж. Определить работу сил сопротивления воздуха.
Решение. На рисунке показаны два положения тела: на некоторой высоте (первое) и к моменту падения на Землю (второе). Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на поверхности Земли.
Полная механическая энергия тела относительно поверхности Земли определяется суммой потенциальной и кинетической энергии:
- на некоторой высоте
E 1 = W p 1 + W k 1 ;
- к моменту падения на Землю
E 2 = W p 2 + W k 2 ,
где W p 1 = 56 Дж - потенциальная энергия тела на некоторой высоте; W k 1 = 0 - кинетическая энергия покоящегося на некоторой высоте тела; W p 2 = 0 Дж - потенциальная энергия тела к моменту падения на Землю; W k 2 = 44 Дж - кинетическая энергия тела к моменту падения на Землю.
Работу сил сопротивления воздуха найдем из закона изменения полной механической энергии тела:
где E 1 = W p 1 - полная механическая энергия тела на некоторой высоте; E 2 = W k 2 - полная механическая энергия тела к моменту падения на Землю; A внеш = 0 - работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A сопр - работа сил сопротивления воздуха.
Искомая работа сил сопротивления воздуха, таким образом, определяется выражением
A сопр = W k 2 − W p 1 .
Произведем вычисление:
A сопр = 44 − 56 = −12 Дж.
Работа сил сопротивления воздуха является отрицательной величиной.
Пример 31. Две пружины с коэффициентами жесткости 1,0 кН/м и 2,0 кН/м соединены параллельно. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть систему пружин на 20 см?
Решение. На рисунке показаны две пружины с разными коэффициентами жесткости, соединенные параллельно.
Внешняя сила F → , растягивающая пружины, зависит от величины деформации составной пружины, поэтому расчет работы указанной силы по формуле для вычисления работы постоянной силы неправомерен.
Для расчета работы воспользуемся законом изменения полной механической энергии системы:
E 2 − E 1 = A внеш + A сопр,
где E 1 - полная механическая энергия составной пружины в недеформированном состоянии; E 2 - полная механическая энергия деформированной пружины; A внеш - работа внешней силы (искомая величина); A сопр = 0 - работа сил сопротивления.
Полная механическая энергия составной пружины представляет собой потенциальную энергию ее деформации:
- для недеформированной пружины
E 1 = W p 1 = 0,
- для растянутой пружины
E 2 = W p 2 = k общ (Δ l) 2 2 ,
где k общ - общий коэффицент жесткости составной пружины; ∆l - величина растяжения пружины.
Общий коэффициент жесткости двух пружин, соединенных параллельно, есть сумма
k общ = k 1 + k 2 ,
где k 1 - коэффициент жесткости первой пружины; k 2 - коэффициент жесткости второй пружины.
Работу внешней силы найдем из закона изменения полной механической энергии тела:
A внеш = E 2 − E 1 ,
подставив в данное выражение формулы, определяющие E 1 и E 2 , а также выражение для общего коэффициента жесткости составной пружины:
A внеш = k общ (Δ l) 2 2 − 0 = (k 1 + k 2) (Δ l) 2 2 .
Выполним расчет:
A внеш = (1,0 + 2,0) ⋅ 10 3 ⋅ (20 ⋅ 10 − 2) 2 2 = 60 Дж.
Пример 32. Пуля массой 10,0 г, летящая со скоростью 800 м/с, попадает в стену. Модуль силы сопротивления движению пули в стене постоянен и составляет 8,00 кН. Определить, на какое расстояние пуля углубится в стену.
Решение. На рисунке показаны два положения пули: при ее подлете к стене (первое) и к моменту остановки (застревания) пули в стене (второе).
Полная механическая энергия пули является кинетической энергией ее движения:
- при подлете пули к стене
E 1 = W k 1 = m v 1 2 2 ;
- к моменту остановки (застревания) пули в стене
E 2 = W k 2 = m v 2 2 2 ,
где W k 1 - кинетическая энергия пули при подлете к стене; W k 2 - кинетическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; m - масса пули; v 1 - модуль скорости пули при подлете к стене; v 2 = 0 - величина скорости пули к моменту остановки (застревания) в стене.
Расстояние, на которое пуля углубится в стену, найдем из закона изменения полной механической энергии пули:
E 2 − E 1 = A внеш + A сопр,
где E 1 = m v 1 2 2 - полная механическая энергия пули при подлете к стене; E 2 = 0 - полная механическая энергия пули к моменту ее остановки (застревания) в стене; A внеш = 0 - работа внешних сил (внешние силы отсутствуют); A сопр - работа сил сопротивления.
Работа сил сопротивления определяется произведением:
A сопр = F сопр l cos α ,
где F сопр - модуль силы сопротивления движению пули; l - расстояние, на которое углубится пуля в стену; α = 180° - угол между направлениями силы сопротивления и направлением движения пули.
Таким образом, закон изменения полной механической энергии пули в явном виде выглядит следующим образом:
− m v 1 2 2 = F сопр l cos 180 ° .
Искомое расстояние определяется отношением
l = − m v 1 2 2 F сопр cos 180 ° = m v 1 2 2 F сопр
l = 10,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 800 2 2 ⋅ 8,00 ⋅ 10 3 = 0,40 м = 400 мм.
При движении любого предмета по поверхности или в воздухе возникают силы, препятствующие этому. Их называют силами сопротивления или трения. В этой статье мы расскажем, как найти силу сопротивления, и рассмотрим факторы, влияющие на нее.
Для определения силы сопротивления необходимо воспользоваться третьим законом Ньютона. Эта величина численно равна силе, которую нужно приложить, чтобы заставить равномерно двигаться предмет по ровной горизонтальной поверхности. Это можно сделать при помощи динамометра. Сила сопротивления вычисляется по формуле F=μ*m*g. Согласно этой формуле, искомая величина прямо пропорциональна массе тела. Стоит учесть, что для правильного подсчета необходимо выбрать μ – коэффициент, зависящий от материала, из которого изготовлена опора. Принимают во внимание и материал предмета. Этот коэффициент выбирается по таблице. Для расчета используется постоянная g, которая равна 9,8 м/с2. Как рассчитать сопротивление, если тело движется не прямолинейно, а по наклонной плоскости? Для этого в первоначальную формулу нужно ввести cos угла. Именно от угла наклона зависит трение и сопротивление поверхности тел к движению. Формула для определения трения по наклонной плоскости будет иметь такой вид: F=μ*m*g*cos(α). Если тело движется на высоте, то на него действует сила трения воздуха, которая зависит от скорости движения предмета. Искомую величину можно рассчитать по формуле F=v*α. Где v – скорость движения предмета, а α – коэффициент сопротивления среды. Эта формула подходит исключительно для тел, которые передвигаются с небольшой скоростью. Для определения силы сопротивления реактивных самолетов и других высокоскоростных агрегатов применяют другую – F=v2*β. Для расчета силы трения высокоскоростных тел используют квадрат скорости и коэффициент β, который рассчитывается для каждого предмета отдельно. При движении предмета в газе или жидкости при расчете силы трения необходимо учитывать плотность среды, а также массу и объем тела. Сопротивление движению существенно снижает скорость поездов и автомобилей. Причем на движущие предметы действует два вида сил – постоянные и временные. Общая сила трения представлена суммой двух величин. Для снижения сопротивления и повышения скорости машины конструкторы и инженеры изобретают разнообразные материалы со скользящей поверхностью, от которой воздух отталкивается. Именно поэтому передняя часть скоростных поездов имеет обтекаемую форму. Рыбы очень быстро движутся в воде благодаря обтекаемому телу, покрытому слизью, которая снижает трение. Не всегда сила сопротивления отрицательно сказывается на движении машин. Чтобы вытащить автомобиль из грязи, необходимо под колеса насыпать песок или щебень. Благодаря увеличению трения авто отлично справляется с болотистой почвой и грязью.Сопротивление движения в воздухе используется во время прыжков с парашютом. В результате возникающего трения между куполом и воздухом скорость движения парашютиста снижается, что позволяет без ущерба для жизни заниматься парашютным спортом.
Все составляющие сопротивления воздуха трудно определяются аналитически. Поэтому в практике нашла применение эмпирическая формула, имеющая для диапазона скоростей движения, характерного для реального автомобиля, следующий вид:
где с х – безразмерный коэффициент обтекаемости воздухом , зависящий от формы тела; ρ в – плотность воздуха ρ в = 1,202…1,225 кг/м 3 ; А – площадь миделева сечения (площадь поперечной проекции) автомобиля, м 2 ; V – скорость автомобиля, м/с.
В литературе встречается коэффициент сопротивления воздуха k в :
F в = k в А V 2 , где k в =с х ρ в /2 , –коэффициент сопротивления воздуха, Нс 2 /м 4 .
…и фактор обтекаемости q в : q в = k в · А.
Если вместо с х подставить с z , то получим аэродинамическую подъемную силу.
Площадь миделева сечения для авто:
А=0,9 · В max · Н ,
где В max – наибольшая колея автомобиля, м; Н – высота автомобиля, м.
Сила приложена в метацентре, при этом создаются моменты.
Скорость сопротивления потока воздуха с учетом ветра:
, где β – угол между направлениями движения автомобиля и ветра.
С х некоторых автомобилей
ВАЗ 2101…07 |
Оpel astra Sedan | |||
ВАЗ 2108…15 | ||||
Land Rover Free Lander | ||||
ВАЗ 2102…04 | ||||
ВАЗ 2121…214 | ||||
грузовик | ||||
грузовик с прицепом |
Сила сопротивления подъему
F п = G а sin α.
В дорожной практике величину уклона обычно оценивают величиной подъема полотна дороги, отнесенную к величине горизонтальной проекции дороги, т.е. тангенсом угла, и обозначают i , выражая полученное значение в процентах. При относительно небольшой величине уклона допустимо в расчетных формулах при определении силы сопротивления подъему использовать не sin α., а величину i в относительных значениях. При больших значениях величины уклона замена sin α величиной тангенса (i /100) недопустима.
Сила сопротивления разгону
При разгоне автомобиля происходит разгон поступательно движущейся массы авто и разгон вращающихся масс, увеличивающих сопротивление разгону. Это увеличение можно учесть в расчетах, если считать, что массы автомобиля движутся поступательно, но использовать некую эквивалентную массу m э, несколько большей m a (в классической механике это выражается уравнением Кенига)
Используем метод Н.Е. Жуковского, приравняв кинетическую энергии поступательно движущейся эквивалентной массы сумме энергий:
,
где J д – момент инерции маховика двигателя и связанных с ним деталей, Н·с 2 ·м (кг·м 2); ω д – угловая скорость двигателя, рад/с; J к –момент инерции одного колеса.
Так как ω к = V а / r k , ω д = V а · i кп · i o / r k , r k = r k 0 ,
то получим
.
Момент инерции J узлов трансмиссии автомобилей, кг· м 2
Автомобиль |
Маховик с коленвалом J д |
Ведомые колеса (2 колеса с тормозными барабанами), J к1 |
Ведущие колеса (2 колеса с тормозными барабанами и с полуосями) J к2 |
Произведем замену: m э = m а · δ,
Если автомобиль
загружен не полностью:
.
Если автомобиль идет накатом: δ = 1 + δ 2
Сила сопротивления разгону автомобиля (инерции): F и = m э · а а = δ · m а · а а .
В первом приближении можно принять: δ = 1,04+0,04 i кп 2
Каждый велосипедист, мотоциклист, шофер, машинист, летчик или капитан корабля знает, что у его машины есть предельная скорость; превысить которую не удается никакими усилиями. Можно сколько угодно нажимать на педаль газа, но «выжать» из машины лишний километр в час невозможно. Вся развиваемая скорость идет на преодоление сил сопротивления движению .
Преодоление различного трения
Например, автомобиль имеет двигатель мощностью в пятьдесят лошадиных сил. Когда водитель нажимает газ до отказа, коленчатый вал двигателя начинает делать три тысячи шестьсот оборотов в минуту. Поршни как сумасшедшие мечутся вверх и вниз, подскакивают клапаны, вертятся шестеренки, а автомобиль движется хотя и очень быстро, но совершенно равномерно, и вся сила тяги двигателя уходит на преодоление сил сопротивления движению, в частности преодоление различного трения . Вот, например, как распределяется сила тяги двигателя между его «противниками» - разными видами при скорости автомобиля сто километров в час:- на преодоление трения в подшипниках и между шестеренками расходуется около шестнадцати процентов силы тяги мотора,
- на преодоление трения качения колес по дороге - примерно двадцать четыре процента,
- на преодоление сопротивления воздуха расходуется шестьдесят процентов силы тяги автомобиля.
Сопротивление воздуха
При рассмотрении сил сопротивления движению, таких как:- трение скольжения с увеличением скорости немного уменьшается,
- трение качения изменяется очень незначительно,
- сопротивление воздуха , совершенно незаметное при медленном движении, становится грозной тормозящей силой, когда скорость возрастает.
Сопротивлением воздуха заинтересовались артиллеристы
Сопротивлением воздуха прежде всего заинтересовались артиллеристы . Они старались понять, почему пушечные снаряды не так далеко летят, как им хотелось бы. Расчеты показали, что, если бы на Земле не было воздуха, снаряд семидесятишестимиллиметровой пушки пролетел бы не менее двадцати трех с половиной километров , а в действительности он падает всего лишь в семи километрах от пушки . Из-за сопротивления воздуха теряется шестнадцать с половиной километров дальности . Обидно, но ничего не поделаешь! Артиллеристы улучшали пушки и снаряды, руководствуясь главным образом догадкой и смекалкой. Что происходит со снарядом в воздухе, сначала было неизвестно. Хотелось бы посмотреть на летящий снаряд и увидеть, как он рассекает воздух, но снаряд летит очень быстро, глаз не может уловить его движения, а воздух и подавно невидим. Желание казалось несбыточным, но выручила фотография. При свете электрической искры удалось заснять летящую пулю. Искра сверкнула и на мгновение осветила пулю, пролетавшую перед объективом фотоаппарата. Ее блеска оказалось достаточно, чтобы получить моментальный снимок не только пули, но и воздуха, рассекаемого ею. На фотографии были видны темные полосы, расходящиеся от пули в стороны. Благодаря фотоснимкам стало ясно, что происходит, когда снаряд летит в воздухе. При медленном движении предмета частицы воздуха спокойно расступаются перед ним и почти не мешают ему, но при быстром - картина меняется, частицы воздуха уже не успевают разлетаться в стороны. Снаряд летит и, как поршень насоса, гонит впереди себя воздух и уплотняет его. Чем выше скорость, тем сильнее сжатие и уплотнение. Для того чтобы снаряд двигался быстрее, лучше пробивал уплотненный воздух, его головную часть делают заостренной.Полоса завихренного воздуха
На фотоснимке летящей пули было видно, что-у нее позади возникает полоса завихренного воздуха . На образование вихрей тоже тратится часть энергии пули или снаряда. Поэтому у снарядов и пуль стали делать донную часть скошенной, это уменьшило силу сопротивления движению в воздухе. Благодаря скошенному дну дальность полета снаряда семидесятишестимиллиметровой пушки достигла одиннадцати - двенадцати километров .Трение частиц воздуха
При полете в воздухе на скорости движения сказывается также трение частиц воздуха о стенки летящего предмета. Это трение невелико, но оно все же существует и нагревает поверхность. Поэтому приходится красить самолеты глянцевитой краской и покрывать их особым авиационным лаком. Таким образом, силы сопротивления движению в воздухе всем движущимся предметам возникают вследствие трех различных явлений:- уплотнения воздуха впереди,
- образования завихрений позади,
- небольшого трения воздуха о боковую поверхность предмета.
Сопротивление движению со стороны воды
Предметы, движущиеся в воде - рыбы, подводные лодки, самоходные мины - торпеды и проч., - встречают большое сопротивление движению со стороны воды . С увеличением скорости силы сопротивления воды растут еще быстрее, чем в воздухе. Поэтому и значение обтекаемой формы возрастает. Достаточно взглянуть на форму тела щуки. Она должна гоняться за мелкими рыбешками, поэтому для нее важно, чтобы вода оказывала минимальное сопротивление ее движению.Форму рыбы придают самоходным торпедам, которые должны быстро поражать неприятельские суда, не давая им возможности уклониться от удара. Когда моторная лодка мчится по водной глади или торпедные катера идут в атаку, видно, как острый нос корабля или лодки режет волны, обращая их в белоснежную пену, а за кормой кипит бурун и остается полоса вспененной воды. Сопротивление воды напоминает сопротивление воздуха - вправо и влево от корабля бегут волны, а позади образуются завихрения - пенистые буруны; сказывается также и трение между водой и погруженной частью корабля. Разница между движением в воздухе и движением в воде состоит только в том, что вода - жидкость несжимаемая и перед кораблем не возникает уплотненной «подушки», которую приходится пробивать. Зато плотность воды почти в тысячу раз больше плотности воздуха . Вязкость воды тоже значительна. Вода не так-то уж охотно и легко расступается перед кораблем, поэтому сопротивление движению, которое она оказывает предметам, весьма велико. Попробуйте, например, нырнув под воду, похлопать там в ладоши. Это не удастся - вода не позволит. Скорости морских кораблей значительно уступают скоростям воздушных кораблей. Наиболее быстроходные из морских судов - торпедные катера развивают скорость в пятьдесят узлов, а глиссеры, скользящие по поверхности воды, - до ста двадцати узлов. (Узел - морская мера скорости; один узел составляет 1852 метра в час.)