Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр, FIR-фильтр) - один из видов линейных электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа. Нерекурсивные фильтры. При нулевых значениях коэффициентов a m уравнение (2.1.2) переходит в уравнение линейной дискретной свертки функции x(k) с оператором b n:
С ними можно реализовать линейную фазу и, следовательно, постоянную групповую задержку без дополнительных усилий. Аналогично, порядок, необходимый для соответствия схеме допуска, не может быть определен. Это приводит к подходу «попытка и неудача», при котором процесс проектирования выполняется рекурсивно. На каждом проходе порядок увеличивается и проверяется, выполняется ли схема допуска. По завершении рекурсия прерывается. Также нет известных преобразований, посредством которых один низкий проход переходит в фильтр другого типа, для.
y(k) = b n x(k-n). (2.1.3)
Значения выходных отсчетов свертки (2.1.3) для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такой фильтр называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название "окна" фильтра. Окно фильтра составляет N+1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т.е. причинно обусловленным текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и выходной сигнал не может опережать входного. Каузальный фильтр может быть реализован физически в реальном масштабе времени. При k Каждая проблема дизайна должна быть исправлена. Рассчитайте низкие оценки, высокие оценки, полосы пропускания и фильтры с полосой пропускания. Однако это может занять некоторое время, поскольку процесс проектирования повторяется рекурсивно, пока не будет найден правильный порядок. Метод окна вычисляет импульсный отклик. Для этой цели используются функции, при которых коэффициенты могут быть вычислены непосредственно. Тем не менее, только линейная фаза может быть реализована таким образом. Вычисленная импульсная характеристика ограничена по длине. Если импульсный отклик отключен, говорят о ограничении прямоугольным окном. Это приводит к перерегулированию на краях фильтра. Эти перерегулирования становятся меньше с увеличением расстояния до фланга. Увеличение порядка не уменьшает амплитуды перерегулирования. При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности снимается. В программном распоряжении фильтра могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входной последовательности отсчетов относительно текущей точки вычислений k, при этом уравнение (2.1.3) будет иметь вид: y(k) = b n x(k-n). (2.1.4) При N" = N фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, в отличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемого сигнала. Используя другую функцию окна, которая не отключает импульсный отклик, но все равно уменьшает коэффициенты по краям к нулю. Таким образом, перерегулирование значительно сокращается. Это покупается менее крутым флангом. В функциях некоторых оконных функций показаны. На следующих рисунках показаны диапазоны частот фильтров различного порядка. Можно видеть, что по мере увеличения порядка выбросы не исчезают, а концентрируются только в меньшей области вокруг фланга. Окно Ханнинга уменьшает перерегулирование. Ясно, но фланг менее крутой. Так как реакция НЦФ на единичный входной импульс (а равно и на любой произвольный входной сигнал) всегда конечна и ограничена размером окна фильтра, такие фильтры называют также фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных. Преимущество здесь заключается в том, что могут быть реализованы произвольные частоты и фазы. Порядок фильтров играет второстепенную роль. Вычисленные здесь коэффициенты образуют только приближение фактической импульсной характеристики. Однако требуемое время вычислений резко возрастает. Здесь также встречается проблема перерегулирования по краям фильтра. Используя оконные функции, эти переходные процессы могут быть уменьшены за счет менее крутого склона. Метод Ремез создает коэффициенты фильтра, известные как равночастотные фильтры. Фильтры, разработанные в соответствии с этим методом, оптимальны с точки зрения оптимального завершения схемы допуска в полосе пропускания и полосы пропускания. Это приводит к равномерной пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задержки. Кроме того, эти фильтры часто требуют более низкого порядка для соответствия схеме допуска, чем вышеупомянутые методы проектирования. Задание:
Изучить основные положения цепей о КИХ-фильтрах. Выполнить предварительный расчет, письменно ответить на вопросы для самопроверки. Провести предварительный расчет. Собрать схему 1, включающую в себя импульсный источник напряжения, трехзвенный КИХ-фильтр. Построить АЧХ четырехзвенного КИХ-фильтра. (Изменить формулу H(z)) Недостатком является высокое вычислительное усилие. Однако этот метод проектирования обеспечивает большую гибкость. По мере увеличения порядка пульсация становится меньше. Этот метод проектирования создает только оконную функцию и передает ее вызывающей процедуре. Количество коэффициентов оконной функции - это пройденный порядок плюс один. Известно более 200 функций окна. Наиболее часто используемые функции окна предлагаются нашим драйвером. На приведенном ниже рисунке показаны различные функции окна. В зависимости от задачи и граничных условий пользователь должен решить, какой тип фильтра следует использовать. Построить АЧХ пятизвенного КИХ-фильтра. (Изменить формулу H(z)) Сравинить графики, полученные в предварительном расчете с графиками, полученными в программе Micro-Cap. Сделать вывод. Предварительный Расчет:
Эксперимент:
Соберем схему 1, включающую в себя импульсный источник напряжения, трехзвенный КИХ-фильтр. Для этой цели преимущества и недостатки двух типов фильтров должны быть сопоставлены друг с другом. Следующая таблица должна помочь вам. Резюме Использование фильтров имеет первостепенное значение, поскольку они используются в радиосистемах, для устранения помех, нежелательного шума, предельной пропускной способности, настройки сигнала, эквалайзеров, обработки цифровых сигналов, улучшения качества электроэнергии в системе, кондиционирования и передачи аналоговых сигналов, среди многих других приложений. Поэтому важно правильно понять работу и характеристики фильтров, проблему, которая будет рассмотрена в этой работе. Сначала мы проанализируем классические линейные фильтры, характеризующиеся их откликом по амплитуде, а затем линейные фильтры, характеризуемые их частотным откликом, вместе с их передаточными функциями, коэффициентом качества и расчетными критериями, чтобы позднее ввести возможности использования нелинейных фильтров на основе нелинейные колебательные цепи, такие как Чуа, Лоренц и Чен. Построить АЧХ трехзвенного КИХ-фильтра. Построить АЧХ четырехзвенного КИХ-фильтра. Построить АЧХ трехзвенного КИХ-фильтра. Ключевые слова: линейный фильтр, нелинейный фильтр, осцилляторы, коэффициент качества, передаточная функция. Аннотация Использование фильтров важно, потому что оно используется в радио, для устранения помех и нежелательных шумов, ограничения полосы пропускания, сигналов настройки, эквалайзеров, цифровых сигналов обработки, улучшения качества энергии в системе, кондиционирования и передачи аналогового сигнала среди многие другие приложения. Поэтому важно понимать фильтр и его характеристики, которые будут описаны в этой статье. Ключевые слова: линейные фильтры, нелинейные фильтры, осцилляторы, коэффициент качества, функция переноса. Фильтр может быть определен как любое устройство, которое определенным образом модифицирует сигнал, который проходит через него. Существуют различные классификации фильтров. Когда сигнал представляет собой электрическую величину, он называется электрическим фильтром, и мы будем иметь дело с этой статьей. Вывод:
В данной лабораторной работе с помощью программы Micro-Cap были получены основные временные и частотные характеристики фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров). Для схемы 1, включающую в себя импульсный источник напряжения, КИХ-фильтр были получены АЧХ фильтра, с разным количеством звеньев. Кривые, полученные экспериментально оказались равны кривым, которые были получены в предварительном расчете. Другая классификация - это линейные и нелинейные фильтры. Нелинейные фильтры имеют много применений, особенно для устранения неустойчивого шума. Например, фильтр среды используется для устранения пиков шума, который влияет только на небольшой процент образцов, возможно, для очень больших количеств. Фактически, все радиоприемники используют нелинейные фильтры для преобразования сигналов с килогерца в гигагерц в диапазоне частот звука; и вся цифровая обработка сигналов обычно использует нелинейные фильтры для преобразования аналоговых сигналов в двоичные. В начало
Цифровые фильтры
(Лекция)
По
виду импульсной характеристики цифровые фильтры делятся на два больших класса: ·
Однако нелинейные фильтры сложнее использовать и проектировать, чем линейные, поскольку в них нельзя использовать самые мощные математические инструменты анализа сигналов. Таким образом, линейные фильтры часто используются для устранения шума и искажений, создаваемых нелинейными процессами, просто потому, что надлежащий нелинейный фильтр будет слишком сложным для проектирования и сборки. По этой причине необходимо глубже понять поведение линейных фильтров, их функций, приложений и характеристик и, таким образом, начать с этих оснований для проектирования нелинейных фильтров.
КИХ - фильтры характеризуются выражением:
· Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры, рекурсивные фильтры) используют один или более своих выходов в качестве входа, то есть образуют обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.
В частности, если шум не перекрывает вход в частотной области, он может быть полностью разделен линейными полосовыми фильтрами. С другой стороны, для практически любых других видов шума потребуется некоторый тип нелинейного фильтра для максимального восстановления сигнала.
В разделе 2 мы увидим характеристики, которые определяют линейный фильтр, его отклик по амплитуде, его частотную характеристику, передаточную функцию различных конфигураций и, наконец, мы проанализируем важные аспекты, такие как коэффициент качества и критерии проектирования.
БИХ - фильтры характеризуются выражением:
Отличие КИХ – фильтров от БИХ – фильтров заключается в том, что у КИХ – фильтроввыходная реакция зависит от входных сигналов, а у БИХ – фильтров выходная реакция зависит от текущего значения.
Импульсная характеристика – это реакция схемы на единичный сигнал.
Е диничный сигнал определяется следующим образом:
В разделе 3 мы увидим, что нелинейные фильтры в первую очередь основаны на системе Чуа, которая является хаотичной системой, из которой можно получить поведение типа фильтра, а вторая получается из более сложной системы Лоренца чем система Чуа. Фильтр считается линейным, если можно применить принцип суперпозиции.
Мы можем классифицировать линейные фильтры на основе их функции передачи по их ответу в амплитуде и частоте. Если вход в определенный момент равен нулю, выход будет равен нулю через мгновение позже, чем задержки, включенные фильтром. С помощью такого типа фильтров вы особенно заинтересованы в звуковых приложениях.
- Они могут быть реализованы только в дискретное время.
- Они могут быть описаны как взвешенная сумма входов с определенной задержкой.
- Таким образом, будет только реакция на конечное время.
Таким образом, единичный сигнал только в одной точке равен единице – в точке начала координат.
Задержанный е диничный сигнал определяется следующим образом:
Таким образом, задержанный единичный сигнал задерживает на k периодов дискретизации.
Поэтому этот фильтр реализуется с помощью дифференциальных уравнений, которые позволяют рассчитывать рекурсивные выходные образцы. Эти фильтры имеют выход, даже если вход равен нулю, если начальные условия отличны от нуля. Он позволяет пропускать частоты ниже частоты среза, при этом значительно уменьшая частоты выше указанного разреза, он имеет идеальную характеристическую функцию, которая проиллюстрирована кривой, показанной на рисунке. Это комбинация фильтра нижних частот и фильтра высоких частот, область между двумя частотами отсечки называется полосой пропускания. Комбинируя фильтр нижних частот и фильтр высоких частот, область за пределами полосы пропускания известна как полоса пропускания, которая пропускает как высокие, так и низкие частоты, но ослабляет любой сигнал, который имеет частоту между двумя частотами отсечки.
- Энергия фильтра будет распадаться со временем, но она не станет нулевой.
- Следовательно, импульсная характеристика продолжается бесконечно.
- Он имеет идеальную характерную особенность, которая показана кривой на рисунке.
- Это позволяет пропускать все частоты, способные изменять свою фазу.
Сигналы и спектры
Дуальность (двойственность) представления сигналов.
Все сигналы можно представить во временной или частотной плоскости.
Причем,частотных плоскостей – несколько.
|
Временная плоскость. Фильтр такого типа может быть сконструирован с использованием одного конденсатора и одного резистора, как показано на рисунке. Передаточная функция этой схемы фильтра нижних частот. Это достигается путем инвертирования положения конденсатора и сопротивления, как показано на рисунке. Передаточная функция этой схемы пассивного фильтра с высоким пассивом. Существует несколько схем, которые классифицируются как «полосовые» фильтры. Рассмотрим простую схему на рис. 7, в которой вывод осуществляется через сопротивление. Передаточная функция этой схемы легко найти, которая. Использование активного элемента, такого как операционный усилитель, при проектировании фильтров, значительно перевешивает недостатки пассивных фильтров. Аналогичным образом, эти схемы могут демонстрировать поведение, подобное поведению индукторов, через стратегическое расположение конденсаторов. |
Преобразования. |
Частотная плоскость. |
|
Для просмотра сигнала во временной плоскости существует прибор:
Представим, что здесь есть достаточно длинный синусоидальный сигнал (в 1 сек. 1000 раз повторилась синусоида):
Возьмем сигнал с частотой, в два раза больше:
Сложим эти сигналы. Получим не синусоиду, а искаженный сигнал:
|
Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость производятся с помощью преобразований Фурье. |
Для просмотра сигнала в частотной плоскости существует прибор:
Частота циклическая или круговая ( f ). Частотная плоскость покажет засечку:
Величина засечки пропорциональна амплитуде синусоиды, а частота: f 1 = Для второго сигнала частотная область покажет другую засечку:
Во временной областисуммарного сигнала появится2 засечки:
|
Оба представления сигнала равноценны и пользуются либо первым, либо другим представлением, в зависимости от того, какой удобней.
Преобразования из временной плоскости в частотную плоскость может производиться различными путями. Например: с помощью преобразований Лапласа или с помощью преобразований Фурье.
Три формы записи рядов Фурье.
Существует три формы записи рядов Фурье:
· Синус - косинусная форма.
· Вещественная форма.
· Комплексная форма.
1.) В синус - косинусной форме ряд Фурье имеет вид:
Входящие в формулу кратные частоты kω 1 называются гармониками ; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k ; частота ω k = kω 1 называется k -й гармоникой сигнала.
Это выражение говорит о следующем:что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармоник, где:
Где
T – период повторений этой функции;
ω - круговая частота.
, где
t – текущее время;
T – период.
При разложении по Фурье самое главное – это периодичность. За счет неё происходит дискретизация по частоте, начинается некотороеколичество гармоник.
Для того, чтобы установить возможность тригонометрического разложения для заданной периодичной функции, нужно исходить из определенного набора коэффициентов. Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.
Три формулы Эйлера для определения коэффициентов:
; 
; 
Формулы Эйлера не нуждаются ни в каких доказательствах. Эти формулы точные при бесконечном количестве гармоник. Ряд Фурье – усеченный ряд, т.к. нет бесконечного количества гармоник. Коэффициент усеченного ряда вычисляется по тем же формулам, что и для полного ряда. В этом случае, средняя квадратичная ошибка – минимальна.
Мощность гармоник падает с увеличением их номера. Если добавить/отбросить некоторые гармонические составляющие, то перерасчет остальных членов (других гармоник) не требуется.
Практически все функции являются четными или нечетными:
|
ЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ |
НЕЧЁТНАЯ ФУНКЦИЯ |
|
Характеризуется уравнением: Например, функция Cos :
у которой: t = −t Четная функция симметрична относительно оси ординат. Если функция четная, то все синусные коэффициенты b k будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. |
Характеризуется уравнением: Например, функция Sin :
Нечетная функция симметрична относительно центра. Если функция нечетная, то все косинусные коэффициенты a k будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только синусные слагаемые. |
2.) Вещественная форма записи ряда Фурье.
Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (т.е. для каждой гармоники с частотой kω 1) в формуле фигурирует два слагаемых – синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:
, где
;
Если S (t ) является четной функцией, фазы φ могут принимать только значения 0 и π , а если S (t ) - функция нечетная, то возможные значениядля фазы φ равны + π /2.
3.) Комплексная форма записи ряда Фурье.
Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера e jθ = Cosθ + jSinθ ):
Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:
А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое a 0 /2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:
Формула расчета коэффициентов C k ряда Фурье:
Если S (t ) является четной функцией, коэффициенты ряда C k будут чисто вещественными , а если S (t ) - функция нечетная , коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми .
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром , а совокупность их фаз – фазовым спектром .
Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов C k ряда Фурье:
Re (C k ) – спектр амплитуд.
Спектр прямоугольных сигналов.
Рассмотрим сигнал в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой A , длительностью τ и периодом повторения T . Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса.
Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые a k , равные:
Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр – отношение периода к длительности импульсов – называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g : g =T /τ. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin (x )/x :
Примечание: В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называемая коэффициентом заполнения (duty cycle ) и равная τ /T .
При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при x → 0Sin (x )/x →1, то
Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:
Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin (x )/x .
График функции Sin (x )/x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси – в номерах гармоник и в частотах.
На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.
Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin (π k / g ) = 0, если n ≠ 0). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.
Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2π /T . Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2π /τ , т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона – чем короче сигнал, тем шире его спектр.
Вывод : для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная τ и T можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать мощность.
Методы анализа линейных систем с постоянными коэффициентами.
Задача в постановке:
Имеется линейная система (не зависит от амплитуды сигнала):
Необходимо записать дифференциальное уравнение для этой системы.
Это типичная задача электротехники. Имеется мощный способ решения данной задачи во временной области.
В общем виде:
Порядок уравнения зависит от числа реактивных элементов.
Может быть записано в виде системы уравнений первой степени.
Пример :
U R = IR
U C =
I = C
U R + U C = X(t)
RC + U C = X (t )
U C – является Y выхода, поэтому: RC + U ВЫХ. = X (t )
Дальнейшее решение сводится к решению сначала однородного уравнения, а затем неоднородного.
Это решение немного упрощается при переводе из временной плоскости в другую плоскость комплексной переменной. Перевод из временной плоскости в комплексную плоскость производится прямым преобразованием Лапласа.
RCY " + Y = X (t )
Вычисляется разностное уравнение.
Прямое преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию S (p ) комплексного переменного (изображение ) с функцией s (x ) действительного переменного (оригинал ).
Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат. Аналогичный результат достигается при решении линейных разностных уравнений при использовании аппарата Z - преобразования.
Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле: 
, где- комплексная
переменная,
где σ
-
затухание.
Пример :
Реакция системы на поданную на вход дельта-функцию называется импульсной характеристикой системы.
Реакция системы на поданную на вход функцию единичного скачка называется переходной характеристикой .
Производная по времени какой-то функции - есть умножение этой функции на p :
А интеграл по времени какой-то функции - есть деление этой функции на p :
В соответствии с этим, выражение:RCY " + Y = X (t ) запишется так: RCPY + Y = X (p )
Разрешая относительно Y , получим: Y (RCP + 1)= X (p )
Коэффициент передачи этого уравнения: 
В плоскости комплексного переменного, это:
Здесь XP – взяли в качестве тестовой единичной функции. Значит это импульсная характеристика в P –области.
В числителе нет переменных. Корни числителя называются нулями функции передачи.
В точках нулей функция передачи равна нулю, а в точках полюсов функция передачи стремится к бесконечности.
Комплексная частота в плоскости комплексного переменного – это самый простой способ проверки устойчивости системы. Система называется устойчивой , если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях. Линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы её функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.
Преобразование Фурье.
Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную .
Преобразование Фурье дает основание для получения частотной и фазовой характеристик (хотим получить огибающую спектра). Преобразование Фурье – это частный случайпреобразования Лапласа при σ = 0.
Например:
Получим частотную и фазовую характеристики для рассмотренной выше простой цепочки, у которой коэффициент передачи:
Преобразование Фурье отличается от преобразования Лапласа тем, что у него: p = jω , поэтому наше выражение примет следующий вид:
Частотная характеристика – это зависимость модуля коэффициента передачи от частоты.
Умножим числитель и знаменатель этой дроби на комплексное число (1-jωRC ) (предполагая, что значение дроби от этого не изменится):
Отсюда, модуль коэффициента передачи определяется выражением:
При нуле - модуль коэффициента передачи равен единице, а с увеличением частоты он начинает падать:
При двух значениях ФЧХ будет иметь вид:
Таким образом, для анализа какой-либо системы необходимо построить все характеристики.
Дискретное преобразование Лапласа.
Все рассмотренное ранее - относилось к непрерывным функциям. Если в непрерывную функцию вместо t подставить kT и вместо интеграла подставить сумму, то будет преобразование Лапласа.
Преобразование Лапласа применяется в сфере систем
компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть
применено для решётчатых функций.
Решётчатая функция – это функция, значения которой
определены только в дискретные моменты времени
kT
, где
k
-
целое число, а
T
- период дискретизации.
Дискретное преобразование Лапласа даёт возможность записать коэффициент
передачи. Различают
D
-преобразование и
Z
-преобразование.
D – преобразование :
Z – преобразование:
Z-преобразование трансформирует полуплоскость в некоторую другую плоскость Z.Z-преобразование - это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:
Умножение на Z −1 – это сдвиг на один период дискретизации.
Возьмем исходное выражение, с которого мы начинали:
Отсюда вычислительная процедура рисуется следующим образом:
Согласно свойствам z-преобразования, задержка дискретной последовательности на один такт соответствует умножению ее z-преобразования на z −1.Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на структурной схеме как «z −1».
Количество используемых предыдущих отсчетов называется порядком фильтра .
Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты bk и суммируются, формируя выходной отсчет y(n).
Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными . При подаче на вход единичного импульса, он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты b 0 , b 1 , b 2 … и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).
Структурная схема программного обеспечения для КИХ- фильтра:
Программа:
ORDFIL EQU 40; фильтр сорокового порядка.
BUFFER M , ORDFIL ; проверка возможности создания циклического буфера.
COEFFS :DS b 0, b 1, b 3
DSb4, b5, b6
…………………
DS b 37, _VVOD EQU Y : FFC 0; определяем порты ввода.
PORT _VIVOD EQU Y : FFC 1; определяем порты вывода.
ORG P : 0; организация P -памяти.
RESET :JMP START ; безусловный переход на метку START .
P :100; программа начнется с сотой ячейки.
START :MOVE BUF _X , R 0; начальный адрес X вводим в R 0.
MOVE # ORDFIL ─1, M 0 ;перех.к мод.ариф.(зап.число на 1мен.,чем поряд.этого буф.)
MOVE # COEFFS , R 4; организация цикл.буфера для коэффиц. в Y -памяти.
MOVE # M 0, M 4 ; т.к.длина должна совпадать, то перес. из M 0 в M 4.
CLRA ; обнулим аккумулятор.
REP #ORDFIL ; повторить цепочечную операцию.
MOVE A , X : (R 4) +; испол.автоинкремент и все ячейки буф.обнуляем.
LOOP : MOVEP Y : PORT _VVOD , X ─ (R 0) ;побайт.пересылка показаний(послед.умн.на b 0 ).
REP #ORDFIL ─1; повт. цепочечную операцию(39раз умн.без округления)
MAC X 0,Y 0,A X :(R 0)+, X 0Y :(R 4)+, Y 0 ;умн.X 0наY 0, рез.в ак; подг.сл.опер.
MACRX0,Y0,A
MOVEP A , Y : PORT _VIVOD ; побайтная пересылка содерж. аккумулятора.
JMP LOOP ; безусловный переход на метку LOOP .
Порядок проектирования цифровых фильтров.
Порядок проектирования цифровых фильтров прежде всего связан с типом фильтра по линии частотных характеристик. Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты. Имеется четыре типа:
1.) Фильтры нижних частот (ФНЧ; английский термин – low - pass filter ), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты среза ω 0.
2.) Фильтры верхних частот (ФВЧ; английский термин – high - pass filter ), пропускающие частоты, большие некоторой частоты среза ω 0.
3.) Полосовые фильтры (ПФ; английский термин – band - pass filter ), пропускающие частоты в некотором диапазоне ω 1…. ω 2 (они могут также характеризоваться средней частотой ω 0 = (ω 1 + ω 2 ω = ω 2 – ω 1 ).
4.) Режекторные фильтры (другие возможные названия – заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр; английский термин – band - stop filter ), пропускающие на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне ω 1…. ω 2 (они также могут характеризоваться средней частотой ω 0 = (ω 1 + ω 2 )/2 и шириной полосы пропускания Δ ω = ω 2 – ω 1 ).
Идеальная форма АЧХ фильтров этих четырех типов:
Однако, такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ.
Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа , представляющего собойФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с.
1.) Фильтр Баттерворта:
Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта (Butterworth filter ) не имеет нулей, а её полюсы равномерно расположены на s -плоскости в левой половине окружности единичного радиуса.Для фильтра Баттерворта частота среза определяется по уровню 1/ . Фильтр Баттерворта обеспечивает максимально плоскую вершину в полосе пропускания. |
|
2.) Фильтр Чебышева первого рода:
Функция передачи фильтра Чебышева первого рода (Chebyshev type I filter ) также не имеет нулей, а её полюсы расположены в левой половине эллипса на s -плоскости. Для фильтра Чебышева первого рода частота среза определяется по уровню пульсаций в полосе пропускания.По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка, фильтр Чебышева обеспечивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. |
|
3.) Фильтр Чебышева второго рода:
|
Функция передачи фильтра Чебышева второго рода (Chebyshev type II filter ), в отличие от предыдущих случаев, имеет и нули, и полюсы. Фильтры Чебышева второго рода называют ещё инверсными фильтрами Чебышева (inverse Chebyshev filter ). Частотой среза фильтра Чебышева второго родасчитается не конец полосы пропускания, а начало полосы задерживания . Коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте равен 1, на частоте среза – заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω → ∞ коэффициент передачи равен нулю при нечетном порядке фильтра и уровню пульсаций – при четном. При ω = 0 АЧХ фильтра Чебышева второго рода является максимально плоской. |
|
4.) Эллиптические фильтры:
|
Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра; английские термины – elliptic filter , Cauer filter ) в некотором смысле объединяют в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ эллиптического фильтра имеет пульсации заданной величины, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого удается обеспечить максимально возможную (при фиксированном порядке фильтра) крутизну ската АЧХ, т.е. переходной зоны между полосами пропускания и задержания. Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полюсы, так и нули. Нули, как и в случае фильтра Чебышева второго рода, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей функции передачи равно максимальному четному числу, не превосходящему порядка фильтра. |
|
Функции MATLAB для расчета фильтров Баттерворта, Чебышева первого и второго рода, а также эллиптических фильтров, позволяют рассчитывать как аналоговые, так и дискретные фильтры. Функции расчета фильтров требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза.
Порядок фильтра зависит:
- от допустимой неравномерности в полосе пропускания
- от величины зоны неопределенности. (Чем меньше зона неопределенности, тем круче спад частотной характеристики).
Для КИХ-фильтров порядок составляет несколько десятков или сотен, а для БИХ-фильтров порядок не превышает несколько единиц.
Пиктограммы дают возможность посмотреть все коэффициенты. Проектирование фильтра производится на одном окне.